河南省普高2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考測(cè)評(píng)（六）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省普高2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考測(cè)評(píng)（六）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知非空集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榧鲜欠强占?，所以，解得或，即?shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3.國(guó)內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該制造企業(yè)內(nèi)的某車間有兩條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個(gè)鋰電池．質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知樣本中高能量密度鋰電池有35個(gè)，則估計(jì)低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（）．A.325個(gè) B.300個(gè) C.225個(gè) D.175個(gè)〖答案〗C〖解析〗根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知低能量密度鋰電池的產(chǎn)量為（個(gè)）．故選：C.4.3名同學(xué)從人工智能、密碼學(xué)與算法、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息安全四門課程中任選一門學(xué)習(xí)，則僅有計(jì)算機(jī)科學(xué)未被選中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗除了計(jì)算機(jī)科學(xué)外，每門課程有一名同學(xué)選擇，故概率為.故選：B.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，．設(shè)p：是增函數(shù)，q：是增函數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若，則，可知在定義域上并不是增函數(shù)，故p不是q的充分條件；若，易得是增函數(shù)，此時(shí)在定義域上并不是增函數(shù)，故p不是q的必要條件．綜上可知，p是q的既不充分也不必要條件．故選：D．6.設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，則的外接圓的面積．故選：A．7.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象的對(duì)稱軸可以為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)任意，有，取，可得，即．故，令，，可得的圖象的對(duì)稱軸為，．故選：D．8.已知橢圓C：的下頂點(diǎn)為A，斜率不為0的直線與C交于B，D兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為E，若，則（）A.點(diǎn)E在定直線上 B.點(diǎn)E在定直線上C.點(diǎn)E在定直線上 D.點(diǎn)E在定直線上〖答案〗A〖解析〗由題意知,設(shè)直線l的方程為,設(shè),聯(lián)立消去得,所以，所以所以的中點(diǎn)，因?yàn)?所以，即,整理得,所以E在定直線上，故選:A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，是兩個(gè)不同平面，m，n是兩條不同直線，則下列命題為假命題的是（）．A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，那么D.如果，，那么m與所成的角和n與所成的角的大小不相等〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，可運(yùn)用長(zhǎng)方體，舉反例說明其錯(cuò)誤，如圖，不妨設(shè)為直線m，為直線n，平面為，平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立，故A為假命題；對(duì)于B，設(shè)過直線n的某一個(gè)平面與平面相交于直線l，則，由知，從而，故B為真命題；對(duì)于C，如果，，則，故C為真命題；對(duì)于D，如果，，那么m與所成的角和n與所成的角相等，故D為假命題．故選：AD．10.設(shè)F為雙曲線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓心為，半徑為2的圓交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則（）A.C的離心率為 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)椋瑒t，所以C的離心率為，故A正確；對(duì)于B，設(shè)Ax1,聯(lián)立，消去x可得，則，解得；，，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)F為右焦點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)或2時(shí)取等號(hào)，所以．顯然當(dāng)F為左焦點(diǎn)時(shí)，，所以，故D正確．故選：ACD．11.定義無窮有界級(jí)數(shù)，且零項(xiàng)級(jí)數(shù)，則（）A. B.C D.，〖答案〗BCD〖解析〗由，可得，所以，同理，所以，，其中第項(xiàng)為，，即可得，因?yàn)椋?，得，令，得，令，得，同理可得，即可得選項(xiàng)BC正確，A錯(cuò)誤，由上述前9項(xiàng)的值可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，除之外，其余均為0，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.__________．〖答案〗〖解析〗，又，所以，所以.13.已知曲線與直線相切，則______．〖答案〗2〖解析〗由，求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則，整理得，令，求導(dǎo)得，由，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)在內(nèi)，又，于是方程的解為，所以.14.在三棱錐中，，，則三棱錐體積的最大值為_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，設(shè)，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，連接，則，所以，因?yàn)椋渣c(diǎn)與在的同側(cè)，則四邊形為梯形，記，則則三棱錐體積為，因?yàn)?，所以，故，則，設(shè)，則，令，則，即時(shí)，取得最大值，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，解得，所以．（2）設(shè)，所以，所以，兩式相減得，，所以，所以．16.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為C上一點(diǎn)．（1）求直線的斜率；（2）經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）將代入拋物線方程可得，解得，故F1,0．所以．（2）由題意，直線的斜率存在且不為0（若直線斜率不存在，則原點(diǎn)O到直線l的距離為1，矛盾），所以設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，顯然，設(shè)Ax1,y1，B，所以以線段為直徑的圓的圓心、半徑分別為，．因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離為，所以，解得，所以圓心、半徑分別為，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．17.某校甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣班要進(jìn)行擴(kuò)招，經(jīng)過數(shù)學(xué)興趣班的海報(bào)宣傳，共有4名數(shù)學(xué)愛好者a，b，c，d報(bào)名參加（字母編號(hào)的排列是按照?qǐng)?bào)名的先后順序而定）．現(xiàn)通過一個(gè)小游戲進(jìn)行分班，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個(gè)，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報(bào)名先后順序，先由第一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱子中；接著由下一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至4名數(shù)學(xué)愛好者均摸球完畢．?dāng)?shù)學(xué)愛好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被分至乙班．（1）求a，b，c三名數(shù)學(xué)愛好者均被分至同一個(gè)興趣班的概率；（2）記甲、乙兩個(gè)興趣班最終擴(kuò)招人數(shù)分別為e，f，記，求．解：（1）a，b，c三人均被分至同一個(gè)興趣班，即三人同被分至甲班或乙班，記事件“a被分至甲班”，事件“b被分至甲班”，事件“c被分至甲班”，當(dāng)a即將摸球時(shí)，箱子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則a被分至甲班即a摸出紅球的概率為；當(dāng)a被分至甲班，b即將摸球時(shí)，箱子中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則b被分至甲班即b摸出紅球的概率為；當(dāng)a，b均被分至甲班，c即將摸球時(shí)，箱子中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則c被分至甲班即c摸出紅球的概率為；所以，，同理可知，數(shù)學(xué)愛好者a，b，c均被分至乙班的概率也為，所以a，b，c三人均被分至同一個(gè)興趣班的概率為．（2）由題意，X的可能取值為4，2，0，為4名數(shù)學(xué)愛好者被分至同一班，則，為4名數(shù)學(xué)愛好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一班，設(shè)第名數(shù)學(xué)愛好者被單獨(dú)分至另一班，則，，，，所以，為4名數(shù)學(xué)愛好者中各有2名被分至甲班和乙班，則，所以．18.設(shè)函數(shù)，是否存在正整數(shù)a，使得，？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：由題意可得，且，當(dāng)時(shí)，，舍去．當(dāng)時(shí)，，故，令，則，又，對(duì)于，有，即在上單調(diào)遞增，所以，故恒成立，所以，即在上單調(diào)遞增，又，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，符合題意．當(dāng)時(shí)，令，則，，所以，舍去．綜上，存在正整數(shù)a，使得，，a的值為2.19.在空間〖解析〗幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知空間中某單葉雙曲面的方程為，雙曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線過C上一點(diǎn)，且以為方向向量.（1）指出平面截曲面所得交線是什么曲線，并說明理由；（2）證明：直線在曲面上；（3）若過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.（1）解：根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面的方程為，已知曲面的方程為，當(dāng)時(shí)，平面截曲面所得交線上的點(diǎn)滿足，即，也即在平面上到原點(diǎn)距離為定值1，從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓.（2）證明：設(shè)直線上任意一點(diǎn)，由，均為直線的方