湖北省十堰市鄖陽(yáng)區(qū)2024屆高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市鄖陽(yáng)區(qū)2024屆高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B.3.展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗A〖解析〗若要產(chǎn)生這一項(xiàng)，則當(dāng)在中取1時(shí)，再在中取2個(gè)、取4個(gè)1，當(dāng)在中取時(shí)，再在中取3個(gè)、取3個(gè)1，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A.4.已知是等比數(shù)列，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列an的公比為，因?yàn)?，所以，得到，所以，由，得到，所以，故選：C.5.某單位設(shè)置了a，b，c三檔工資，已知甲、乙、丙三人工資各不相同，且甲的工資比c檔高，乙的工資比b檔高，丙領(lǐng)取的不是b檔工資，則甲、乙、丙領(lǐng)取的工資檔次依次為（）A.a，b，c B.b，a，c C.a，c，b D.b，c，a〖答案〗B〖解析〗由丙領(lǐng)取的不是b檔工資，乙的工資比b檔高，可得只有甲領(lǐng)取的是b檔工資；又由甲的工資比c檔高和乙的工資比b檔高推出乙只能領(lǐng)取檔工資；而從甲、乙、丙三人工資各不相同可推出丙只能領(lǐng)取c檔工資；所以甲、乙、丙領(lǐng)取的工資檔次依次為b，a，c.故選：B.6.三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為9，最短的棱長(zhǎng)為3，則該三棱錐的最大體積為（）A. B. C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槠矫?，平面，所以，，故，因?yàn)椋?，故，則該三棱錐的最長(zhǎng)的棱為，故，最短的棱為或，當(dāng)最短的棱為，即時(shí)，由勾股定理得，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故三棱錐體積為，當(dāng)最短的棱為，即時(shí)，設(shè)，則，則，故，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)最短的棱為，即時(shí)，設(shè)，則，則，故，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上，該三棱錐的最大體積為18.故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，且，，則C的離心率為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗如圖所示，根據(jù)雙曲線的定義，，，在中，由余弦定理得,即，又因，所以，所以，即.在中，由余弦定理得，，且,所以，化解得，即，，，所以，即，則故離心率.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.為偶函數(shù)C.有最小值 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗C〖解析〗由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，令，則，得，時(shí)，恒成立，無(wú)法確定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數(shù)，B不確定；由于的對(duì)稱軸為與的位置關(guān)系不確定，故在上不一定單調(diào)遞增，D也不確定，由于表示開(kāi)口向上的拋物線，故函數(shù)必有最小值，C正確，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，易知，故A正確；對(duì)于D，易知，故D正確；對(duì)于B、C，易知可取，則,，所以，，故B正確；C錯(cuò)誤；故選：ABD.10.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（）A. B.面積的最大值為C. D.邊上的高的最大值為〖答案〗AD〖解析〗在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，解得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則（）A.曲線在處的切線斜率為B.方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)根C.曲線上任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率均小于D.在上單調(diào)遞減〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，，則，故，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于為周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故的圖象大致如圖示：結(jié)合圖象可知，當(dāng)x增大到一定數(shù)值滿足后，大于的數(shù)將有無(wú)數(shù)個(gè)滿足，B正確；對(duì)于C，設(shè)為y=fx上任意一點(diǎn)，則，由于，故，由于時(shí)，，故曲線y=fx上任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率在時(shí)才取到正值，則時(shí)，取正值時(shí)，，取負(fù)值時(shí)，顯然成立；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，由于取等號(hào)條件和取等號(hào)條件不一致，故，C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，則，則；設(shè)，，故在1,+∞上單調(diào)遞減，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)列滿足，若，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為_(kāi)_____．〖答案〗210〖解析〗數(shù)列滿足，若，，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以1，2為首項(xiàng)，公差均為2的等差數(shù)列所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為.13.在正四棱柱中，，，M，N分別是，中點(diǎn)，則平面MNC1截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)檎睦庵校?，，M，N分別是，的中點(diǎn)，所以MN=AM2+AN因?yàn)椤祝?，故，，在上取點(diǎn)，連接，則，同理可知，所以四邊形為平行四邊形，故四點(diǎn)共面，則平面MNC1截該四棱柱所得的截面為五邊形，，同理，故截面周長(zhǎng)為.14.已知拋物線與圓相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，則r的取值范圍為_(kāi)_____，四邊形面積的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗聯(lián)立，由題意知該方程有兩個(gè)不等正根，即，所以；如圖所示，由圖形的對(duì)稱性，不妨設(shè)，易知四邊形為等腰梯形，其面積為，又點(diǎn)在拋物線上則有：，而，所以，，則，令，則，令，易得時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，即，則，時(shí)取得等號(hào).四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.近年來(lái)，我國(guó)眾多新能源汽車(chē)制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤(rùn)穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(rùn)（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，解：（1）由散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，知適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為99.25億元．16.如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，．（1）求三棱臺(tái)的高；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求．解：（1）作于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，即為三棱臺(tái)高，又因?yàn)槠矫?，所以，連接，因?yàn)椋?，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，，，所以，，所以三棱臺(tái)的高為；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，在面內(nèi)，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，，化簡(jiǎn)得，解得，或（舍去，因?yàn)椋瑒t，所以），所以．17.已知函數(shù)，其中且．（1）若是偶函數(shù)，求a的值；（2）若時(shí)，，求a的取值范圍．解：（1）由題意，，即，解得，或（舍），經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，是偶函數(shù)，所以a的值為；（2）當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)且時(shí)，，，又已證，故此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)f'x在上單調(diào)遞增，且，故存在，使得當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減，所以，存在，使得，此時(shí)不合題意．綜上所述，且．18.已知點(diǎn)在橢圓上，到的兩焦點(diǎn)的距離之和為．（1）求的方程；（2）過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作的兩條切線分別交于另外兩點(diǎn)．（?。┊?dāng)為的頂點(diǎn)時(shí)，求直線在軸上的截距（結(jié)果用含有的式子表示）；（ⅱ）是否存在，使得直線總與相切．若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意，得．又在上，得，從而，故E的方程為．（2）（?。┊?dāng)為的頂點(diǎn)時(shí)，，不妨設(shè)在第一象限，直線的方程為，聯(lián)立的方程為，可得．由，得．聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，可得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由對(duì)稱性知，故直線在軸上的截距為．（ⅱ）要使（2）中的直線與相切，必有，即，解得或（舍去）．設(shè)Px1,y1，Qx2,y直線方程為，即．聯(lián)立橢圓方程可得，由可得，即．同理可得．因?yàn)橹本€同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以的直線方程為．聯(lián)立橢圓方程可得，于是