山東省德州市2024-2025學年高三年級上冊開學考試 數(shù)學試題

高三數(shù)學試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1一2頁，第II卷3—4頁，

共150分,測試時間120分鐘

注意事項：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.

第I卷選擇題（共58分）

一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合要求的.）

1.已知集合Z={x|/-3工<0},集合5={吊21]},則Zc3=（）

A.（O,3）B,[0,3）C.（0,+oo）D,[0,+oo）

1010

2.己知一組數(shù)據(jù)&,B）（I,z；,10且7eZ）的回歸直線方程為f=7x+a,若X玉=70,Zv,.=500,則a的

i=li=l

值為（）

A.-lB.OC.lD.2

3.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{%}中，a2a5=16,則log2a3+log2a4=（）

A.2B.3C.4D.5

4.為積極落實“雙減”政策，豐富學生的課外活動，某校開設了舞蹈、攝影等5門課程，分別安排在周一到

周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（）

A.48B.36C.24D.12

5.已知橢圓C：W+j?=15>0）,則“。=3”是“橢圓C的離心率為述”的（）

a~3

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知正三棱臺ABC-451G的體積為一,4B=4,AXB{=2,則AXA與平面ABC所成角的正切值為

（）

1

A.-B.lC.2D.3

2

3

7.已知cos(a+(a-^)=—e,則tana+tan/的值為（)

4

A11V15V15秒

jfx..DR.-----Cc.----LJ.-yj]3

324

8.已知點/為直線3x+4y—7=0上一動點，點8（4,0）,且尸滿足/+,2+工一2=0,則

3|4?|+忸尸|的最小值為()

671321

A.—B.-C.—D.—

5555

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)

9.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(1,掰)(加eR),且z.i(i為虛數(shù)單位)的實部為2,則()

A.復數(shù)z的虛部為—2i

B.復數(shù)亍對應的點在第一象限

C.復數(shù)z的模長為5

D.若復數(shù)4滿足閡=1,則匕-z()|的最大值為布+1

10.已知函數(shù)/(x)=/sin(0x+0)(其中/>0,°〉0,帆|〈兀)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)/(x)的圖象

向右平移四個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象.則()

6

A.g=2

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間-工工上單調遞增

_63

C.若g(xj-g(x2)=4,貝?。輡再一馬|的最小值為兀

D.直線y=l與沖/⑴,方”X”等的圖象所有交點的橫坐標之和為包

3

11.設函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且滿足/(x-1)為奇函數(shù)，/(x+1)為偶函數(shù)，當時,

/(x)=l-|x|,則()

A./(2025)=0

8/(力在［2,4］上單調遞增

Cj=/(x—5)為奇函數(shù)

D.方程/(x)=lgx僅有5個不同實數(shù)解

第II卷非選擇題(共92分)

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知向量1=(—2,6),3=(1,x),若萬〃B，則x的值為.

13.已知三棱錐尸―Z8C,若24,。叢尸。兩兩垂直，且PA=2PB=4,PC<,則三棱錐尸―/8C外

接球的表面積為.

14.編號為1,2,3,4的四個小球，有放回地取三次，每次取一個，記加表示前兩個球號碼的平均數(shù)，記〃表

示三個球號碼的平均數(shù)，則加與〃之差的絕對值不超過0.2的概率是.

四、解答題(本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.(本小題滿分13分)

在一次體育賽事的志愿者選拔面試工作中，隨機抽取了200名候選者的面試成績并分成五組：第一組

［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所示的頻率分

布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(1)利用該頻率分布直方圖，估計這200名候選者面試成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值作代表)；

(2)從成績在第四、五組的志愿者中，按分層抽樣方法抽取10人，再從這10人中任選3人，在選出的3

人來自不同組的情況下，求恰有2人來自第四組的概率.

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)〃x)=lnx+ox2-(a+2)x.

(1)當0<%2時，討論函數(shù)/(x)的單調性；

(2)若對Vxe(O,+e),都有/(x)-礦(x),,0成立，求實數(shù)。的取值范圍.

17.(本小題滿分15分)

如圖，在以4氏。,。,區(qū)尸為頂點的五面體中，四邊形4BCD與四邊形CDEE均為等腰梯形,

AB//CD,EF//CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=?AE=272.

（1）證明：平面48CD，平面CDEE；

（2）若M為線段C。上一點，且CW=1,求二面角Z-EM-3的余弦值.

18.（本小題滿分17分）

已知雙曲線E焦點在x軸上，離心率為J萬，且過點（、/萬,4）,直線4與雙曲線E交于兩點，乙的斜

率存在且不為0,直線。與雙曲線E交于A0兩點.

（1）若兒W的中點為笈，直線明，4W的斜率分別為左，左2，。為坐標原點，求左?總；

1TPTN

（2）若直線4與直線/,的交點T在直線x=—上，且直線人與直線4的斜率和為0,證明：\|M\=—,

2\TM\TQ

19.（本小題滿分17分）

若有窮數(shù)列｛%｝滿足:0,,%＜生＜…「1&（左eZ,左.3）,若對任意的i,J（L,i?j?左），叫+%與%-q至

少有一個是數(shù)列｛%｝中的項，則稱數(shù)列｛%｝為「數(shù)列.

（1）判斷數(shù)列0,2,4,8是否為「數(shù)列，并說明理由；

（2）設數(shù)列｛%｝為「數(shù)列.

①求證：怎—％一定為｛4｝中的項；

②求證：2（%+a2T---卜ak-\+&）=kctk；

（3）若數(shù)列｛4｝為「數(shù)列，且｛%｝不是等差數(shù)列，求項數(shù)上的所有可能取值.

高三數(shù)學試題參考答案

一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合要求的.）

l.A2.C3.C4.A5.A6.C7.B8.D

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得。分.）

9.BD10.ABD11.ACD

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

3

12,-313.25兀14.-

8

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.解：（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7,

所以（0.045+0.020+a）x10=0.7,解得a=0.005，

所以前兩組的頻率之和為1—0.7=0.3,即（a+b）xl0=0.3,解得6=0.025

估計平均數(shù)為50x0.05+60x0.25+70x0.45+80x0.2+90x0.05=69.5

（2）成績在第四、五兩組志愿者分別有40人、10人，

按分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為8,第五組志愿者人數(shù)為2,

記事件Z為“選出三人來自不同組”，記事件8為“恰有2人來自第四組”，

；；；；

則?(/)=CC+CC

C：。

「

尸⑶=等2rl

eio

\（/嘰c沮_7

P（B卜p⑷-C氾+c；c「.

7

所以已知選出的3人來自不同組的情況下，恰有2人來自第四組的概率為一.

8

16.解：（1）/（x）的定義域為（0,+力）,

/,⑴=：+2"_（°+2）=2分一（：+2.+1=（211依山

①當0<a<2時，—>—,

a2

當X￡/J時，/（%）>O,/（X）在U上單調遞增，

當x￡（—|時，/'（X）<0J（x）在,|上單調遞減，

a）a）

當6時，/'(x)〉OJ(x)在上單調遞增；

②當a=2時，!」,/'(》1.0恒成立，故/(x)在(0,+力)上單調遞增；

a2

綜上所述，當0＜。＜2時，/(x)在和上單調遞增，在(；,一)上單調遞減

當a=2時，/(x)在(0,+巧上單調遞增；

(2)對Vxe(O,+8),都有/(x)-礦(X),,0成立,

即對Vxe(0,+8),a..1nx21恒成立，

X

(、

等價于對Vxe(O,+“),a..——.

\X/max

令g(x)=11KJ%〉0),g，(x)=3—?nx,

XX

C3A

當0<x<￡時，g'(x)>°，g(x)在0，e2上單調遞增,

I)

(3、

當次〉￡時，g'(x)<°，g(x)在*+8上單調遞減,

(3\

e2

(3、MT1

e2

則g(x)?g=/3、2=*，可得a..7y.

vJzze2e

e2

I)

綜上，實數(shù)a的取值范圍是［姿,+/J.

17.解：(1)證明：在平面CDEE內(nèi)，過E做￡。垂直于C。交C。于點O,

由CDEE為等腰梯形，且。。=2￡/=4,則。。=1,

又OE=M，所以OE=dDE?-OD?=2,

連接Z0,由△40。三AE。。，可知NO_LCQ且N0=2,

所以在三角形Q4E中，AE2=0E2+0A2>

從而0E10A,

又OE：LCD,0AcCD=0,所以平面48CD,

OEu平面CDEF,所以平面ABCD1平面CDEF

（2）解：由（1）知，平面平面CDEE,以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則2(0,0,2),E(2,0,0),M(0,2,0),8(022),

AE=(2,0,-2),W=(-2,2,0),W=(0,0,2),

設平面的法向量為五=(x,J,z),

n-AE=Q2x-2z=0

則《_.，即＜

ii-EM=0—2x+2y=0

取Z=l，則力=(1,1,1),

同理，平面BEM的一個法向量為玩=（2,2,0）,

m-n2V6

所以cos（方㈤

\m\-\n\V63

/7

由圖可以看出二面角Z-EN-8為銳角，故二面角/-EN-8的余弦值為

3

工=后

a

18.解：(1)設雙曲線方程為:■—3■=1(。>0,6>0),則<(()—記=L

“'022

6Z—1

解得5/

6=4

所以小工=1，

16

設M（七,%），凡馬,%）,理工0，%）

因為M,N兩點都在雙曲線f—2=1上，

16

，2

M-----1

所16

所以，，，

小為7

116

22

2

兩式作差得X；_%2二4腎,

整理得X。（%—%）=%（：；也）,

,為（凹-必）1A

則左?左2=（；=16;

XAX1-X2）

-〃=KU，M(XQI),N(X2/2)

（2）設設直線"N的方程為y-

了一〃=《尸J

聯(lián)立《，

/y-1

[16

化簡得（16—左2）/+（公一2左〃）》一；/—〃2+kn-16=0,

A=16（4n2-4fo?-3Jl2+64）,

-^-k2-n2+kn-16

2

則k-2kn4______________

Xi+%=———記肉"2=16-k2

故|7M|=J1+左2x「；，|力v|

(1+燈(12+2

\TM\-\TN\=[\+k2^x--x--

x2|^2-16|

由kpQ+kMN—0，所以kp0一k,

(1+(-左)2)(12+(1+/乂12+〃2

從而吠/w吁同

.-.\TM\.\TN\=\TP\.\TQ\,即信

19解：(1)數(shù)列0,2,4,8不為「數(shù)列,

因為8+2=10,8—2=6,10和6均不是數(shù)列0,2,4,8中的項，

所以數(shù)列0,2,4,8不為「數(shù)列.

(2)①記數(shù)列｛4｝的各項組成的集合為Z,又0,,%<%:,,<久