江蘇省宿遷市2025屆高三年級上冊第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

江蘇省宿遷市2025屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合M={%|-2<x<1},N=[-2,-1,0,1},則MnN=()

A.{-1,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,-2,0,1)

2.命題'勺x6R,x2+x+1<0”的否定為()

A.mx€R,久2+久+i2oB.3x?/?,x2+x+1>0

C.VxG/?,x2+x+1>0D.Vxg/?,x2+x+1>0

3.若a>0,b>O,a+26=3,貝哈+輔最小值為()

A.9B.18C.24D.27

4.已知函數(shù)/(%)的值域為[—2,3],則函數(shù)/Q—2)的值域為()

A.[-4,1]B.[0,5]C.[-4,1]U[0,5]D.[-2,3]

5.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為/型，比如：當(dāng)久一0時，亍的極限即為號型.兩個無窮小

之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分

子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.=lim^e=lim^-=1,貝!|lim譽E=

()

A.0B.1C,1D.2

6.2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明

了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動.在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于

某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究

過這個何題，并得到小于數(shù)字久的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為兀(久)的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計

10000以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為()(素數(shù)即質(zhì)數(shù)，Ige=0.43,計算結(jié)果取整數(shù))

A.1079B,1075C.434D,2500

7.已知f(x)=口號尤?亭:?1，若方程/(X)=儂meR)有四個不同的實數(shù)根卬久2，久3，乂4，貝帆?久2

,刀3,久4的取值范圍是()

A.(3,4)B.(2,4)C.[0,4)D.[3,4)

8"(x)是在[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，設(shè)4n=貝lj()

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A.AnW^2nB.AnWAn+mC.224rl3^2nD.2An<An+m.

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/(久)=比3+會2-4比，貝!]()

A.x=2是f(x)的極小值點B./Q)有兩個極值點

Cj(x)的極小值為1Dj(x)在[0,2]上的最大值為2

10.下列命題正確的有()

A.函數(shù)/(2乃定義域為[一2,2],則/(/)的定義域為[-2,2]

B.函數(shù)/'(久)=In?/+1+%)是奇函數(shù)

C.已知函數(shù)/'(%)=|坨刈一/(：存在兩個零點X1，久2，則萬62=k

D,函數(shù)/(K)=x+?在(0,+8)上為增函數(shù)

11.已知x>0,y>0,2%+y=1,貝!|()

X

A.4+2y的最小值為2也B.log2x+Zog2y的最大值為一3

C.y—x—xy的最小值為一1D.^+用的最小值為:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.VxGR,函數(shù)/(%)=x3+ax2+3ax+4沒有極值的充要條件為.

13.已知函數(shù)/(%)=lg(x2-ax+12)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)Q的取值范圍是.

n

14.設(shè)集合S=(xER\x=n,nGN+,x>0}則集合S中最小的元素是,集合S中最大的元素是

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知集合P={x|2x2—3%+l40},Q={x|(%—a)(%—a—1)<0].

(1)若a=l,求PCQ；

(2)若%€產(chǎn)是％EQ的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=ax2+bx+18,/(%)>0的解集為(一3,2).

(1)求/(%)的解析式；

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(2)當(dāng)x>—1時，求y="七，的最大值.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—71BCD中，底面48CD為梯形，AB//DC,AB=2BC=2CD=2,4ABD=60°,

PB1AD,PB=PD=1.

(1)求點P到平面4BCD的距離；

(2)在棱PC上是否存在點F,使得平面DBF與平面P8C夾角的余弦值為《?若存在，求出點F的位置;若不存

在，請說明理由.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(久)=2久，若點P(x(),yo)在y=/(x)的圖象上運動，貝。點Q(yo+1,2孫+1)在y=。(比)的圖象上運

動

(1)求口＞)=/(無)+/(—久)的最小值，及相應(yīng)的x值

(2)求函數(shù)y=g(久)的解析式，指出其定義域D,判斷并證明GQ)=/(%)+g(x)在。上的單調(diào)性

(3)在函數(shù)y=/。)和y=g(x)的圖象上是否分別存在點4B關(guān)于直線y=x-1對稱，若存在，求出點

48的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

19.(本小題12分)

帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)n,函數(shù)

/(X)在無=。處的|m,初階帕德近似定義為：

R(x)=7：黑二:北％且滿足：/(0)=R(0)，f(o)=R(0),廣(0)=R"(0),…,f(m+文0)=

R(m+n)(0).

(注：f"(X)=[f(%)1,/(4)(X)=/⑸⑺=[/(4)(X)r，…，⑺(X)為fST)(X)

的導(dǎo)數(shù))

777v

已知/(%)=ln(x+1)在久=0處的[L1]階帕德近似為9(%)=1+nx-

(1)求實數(shù)租，九的值；

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(2)證明：當(dāng)x20時,/(%)Ng(x);

(3)設(shè)a為實數(shù)，討論方程/(久)-加0)=0的解的個數(shù).

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參考答案

l.c

2.C

3.X

4.D

5.D

6.B

7.0

8.4

9.BD

IQ.AB

11.ABD

12,0<a<9

13.[6,7)

14.1；那

-1

15.解:(1)P={x\2x2-3x+1<0}={x\-<x<1},

當(dāng)a=1時，Q={%|(x-l)(%-2)<0}={%|1<%<2},

則PnQ={l}；

(2)va<a+1,?,.Q={x|(x—a)(x—a—1)<0}={x|a<%<a+1},

???％eP是xeQ的充分條件，??.PQQ,

11

???a-2'0<a<

1<a+1,2

即實數(shù)a的取值范圍是靖］.

16.解：（1）因為函數(shù)/（%）=a/+力％+18,/（%）＞。的解集為（-3,2）,

那么方程a/+力％+18=。的兩個根是一3,2,且aVO,

b

-3+2=—1-afa=—3

由韋達定理有，1臺￡=_3,

-3x2=-6

a

所以/(%)=-3x2—3%+18.

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(2)y=二一3久2?3=_3.x(x+?+1=—3、+^-)=-3[(x+1)+^—-1],

x+1%+1x+1V%+1>L'7%+1J

由%>-1,則％+1>0,

根據(jù)基本不等式有：%+1+^>2,當(dāng)且僅當(dāng)x+l=+，即x=0時取等號，

???當(dāng)％=0時，Vmax=-3.

17.解：(1)由題設(shè)，知AB"DC,所以=NBDC=60°.

又BC=CD=1,所以△BCD為等邊三角形，所以BD=BC=1.

在△4BD中，AB=2,BD=1,

fff\^AD2=AB2+BD2-2ABXBDXcos^ABD,

即=22+12-2x2x1xcos60°=3,則4。=邪.

所以+B￡)2=482,即4。1BD.

又PB1AD,PBCBD=B,PBu平面PBD,BDu平面PBD,

所以AD1平面PBD.

因為ADu平面48CD,

所以平面PBD1平面力BCD.

如圖1,設(shè)。為BD的中點，連接PO,

因為PB=PD,所以P。1BD.

又因為平面PBD_L平面4BCD,平面PBDC平面48CD=BD,POu平面PB。,

所以P。，平面ABCD,所以P。的長度，即為點P到平面4BCD的距離.

在RtaPOB中，PB=1,BO=1,所以P。="爐一8。2=史,

即點P到平面4BCD的距離為圣

(2)如圖2,連接OC,則OC1BD,

又P。1平面ABCD,OCu平面ABCD,

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所以P。10C,所以P。，BD,0c兩兩互相垂直.

以。為原點，OB,0C,0P所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

1*12

貝何《,。,0）,C（0段0）,。（一梟,0）,P（0,0,乎）,

乙N乙L

所以元=(0察-9，赤=(1,0,0),前=(一鴻0),麗=(-3,*).

若PC上存在點尸滿足題意，不妨設(shè)而=APC,

則9(0,爭,貝_初,0<2<1,

所以加=(一.紈忠(1一初.

設(shè)帚=(x,y,z)是平面BDF的法向量，

m-BF^--x+走+史(l-4)z=0,

則一—2272I)

m?DB=x=0,

解得y=^-zf不妨取z=A,則y=A-l,

則平面BDF的一個法向量為薪=(0,4-1,4).

同理，設(shè)元=是平面PBC的法向量,

^

一

一1

B-%+z-

尸--151

20,

一

貝HIn0

JB-1--

uC

--%1+2y1

ln2

、

解得久1=4%=,不妨取yi=zi=l,則久1=通,

所以平面PBC的一個法向量為元=

.m-n._.0+（A—1）x1+A1

所以|cos<m,n>|hmllnl1=1）2+并*熊1

化簡整理得9"94+2=0,解得4=1或2=|.

即而=次或而=|PC.

故在PC的三等分點處存在點尸，可使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為卷.

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18.解：(1)尸(x)=/(x)+/(-%)^2x+2-x>2yj2x-2-x^2,當(dāng)且僅當(dāng)2，=2-，即x=0時，等號成立,

即F(x)的最小值為2,對應(yīng)的x為0.

(2)設(shè)y=g(x)圖象上點Q(x,y),由題：9jji，所以1°=色

LY乙八0T±[yQ=x—1

點PQo,yo)在y=/(X)的圖象上運動，則丫0=2"。，

所以=2%-,y-2log2Qx-l)+1,由比一1>0得其定義域為(1,+8)

所以。(久)=2/0。2(久-1)+1，定義域為(1,+8)

X

GQ)=/(%)+g(x)=2+2log2(：x-l)+1在定義域內(nèi)為增函數(shù)，證明如下：

任取1〈久1<冷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有：

2*1-2*<。，log?。1—1)—log2也2—1)<0，

G(xi)-G3)=(2，i+2log2(xx-Y)+1)-(2^+2log2[x2-Y)+1)

=(2、-2叼+2(32(刈-1)-/。92(>2-1))<0，

即G(%I)<G(X2)

所以G(x)=f(x)+g(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).

(3)假設(shè)函數(shù)y=f(久)和y=g(久)的圖象上分別存在點4B關(guān)于直線y=%-1對稱，

設(shè)其坐標(biāo)4(犯n),B(a,b),則有：

tn=2mfm=-2

_1

b=220g2(。-1)+1n

u=一1解得：

m—aa

ri+b_m+a_]一4

22、b=-3

故在函數(shù)y=/(均和丫=9(嗎的圖象上分別存在點4(-2,今,喏,-3)關(guān)于直線丫=%-1對稱.

4,4

19.解：⑴由/(%)=ln(x+1),g(x)=77^,有/(。)=g(。)，

可知/'(%)=JP,"(")=一(%+1產(chǎn)g'(x)=(1+、汽)2,g"(%)=(1+九%產(chǎn)

由題意，f(0)=g'(0),r(0)=g〃(0),

所以｛?2需=一1，所以7n=L71=1-

(2)由(1)知，5(%)=后，

令⑴⑶=/(久)-。(久)=ln(x+1)=77。20)，

14比2

則”(久)=7TT-(X+2)2=(X+1)0+2)2>°，

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所以0(x)在其定義域(-1,+8)內(nèi)為增函數(shù)，

又9(0)=f(0)-g(0)=0,

?1?%20時，(p(x)=/(X)-g(X)2"(0)=0;得證.

(3)/i(x)=/(%)-3(%)的定義域是(—1，+°°)，

_12a____%2+(4—2d)(x+1)

n⑺=x+l-(%+2)2=(%+1)(%+2)2?

①當(dāng)a42時，￥(%)>0,所以h(%)在(-1,+8)上單調(diào)遞增,且八(0)=0,

所以以%)在(-1,+8)上存在1個零點；

②當(dāng)a>2時，令t(x)=x2+(4—2a)(%+1)=