人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題3.3 冪函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講及檢測(cè)（原卷版）

第第頁(yè)專題3.3冪函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講1．冪函數(shù)的概念(1)冪函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的特征：①xα的系數(shù)為1；

②xα的底數(shù)是自變量；

③xα的指數(shù)為常數(shù).

只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù).2．常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα是減函數(shù)．3．一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)一般冪函數(shù)的圖象：①當(dāng)α=1時(shí)，y=x的圖象是一條直線.

②當(dāng)α=0時(shí)，y=SKIPIF1<0=1(x≠0)的圖象是一條不包括點(diǎn)(0,1)的直線.

③當(dāng)α為其他值時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的圖象如下表：(2)一般冪函數(shù)的性質(zhì)：通過分析冪函數(shù)的圖象特征，可以得到冪函數(shù)的以下性質(zhì)：

①所有的冪函數(shù)在(0,+SKIPIF1<0)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1).

②α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+SKIPIF1<0)上是增函數(shù).

③α<0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0,+SKIPIF1<0)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+SKIPIF1<0時(shí)，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

④任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限.

⑤任何兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn).除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩個(gè)冪函數(shù)的公共點(diǎn).4．對(duì)勾函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與性質(zhì)參考冪函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)SKIPIF1<0的性質(zhì).(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無限接近.(2)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0；

(3)函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)?-SKIPIF1<0,-2]∪[2,+SKIPIF1<0).

(4)奇偶性：SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù).

(5)單調(diào)性：由函數(shù)SKIPIF1<0的圖象可知，函數(shù)SKIPIF1<0在(-SKIPIF1<0,-1)，(1,+SKIPIF1<0)上單調(diào)遞增，在(-1,0)，(0,1)上單調(diào)遞減.【題型1冪函數(shù)的概念、解析式】【方法點(diǎn)撥】(1)判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：①指數(shù)為常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1.(2)對(duì)于冪函數(shù)過已知的某一點(diǎn)，求冪函數(shù)解析式問題：先設(shè)出冪函數(shù)的解析式y(tǒng)＝xα(α為常數(shù))，再將已知點(diǎn)代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】現(xiàn)有下列函數(shù)：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)(3，3)，則fA．﹣2 B．1 C．2 D．4【變式1-2】下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x【變式1-3】若冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，316)，則函數(shù)A．f(x)=x43 B．f(x)=x13 C【題型2冪函數(shù)的定義域、值域】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)冪函數(shù)的解析式，可以將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化成根式形式，依據(jù)根式有意義求定義域，再根據(jù)定義域來求冪函數(shù)的值域.【例2】下列函數(shù)中，值域是R的冪函數(shù)是（）A．y=x13 B．y=(13)x 【變式2-1】已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)(2，2)，則fA．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【變式2-2】已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(diǎn)(2，12)，則函數(shù)A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）【變式2-3】若冪函數(shù)y=(m2?2m?2)x?m2+m+3的定義域?yàn)閧xA．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【題型3冪函數(shù)的圖象】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)一般冪函數(shù)的圖象特征，對(duì)所給的冪函數(shù)解析式或圖象進(jìn)行分析，即可得解；溫馨提示：①若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).

②無論SKIPIF1<0為何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，且一定經(jīng)過第一象限，一定不經(jīng)過第四

象限.【例3】?jī)绾瘮?shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a【變式3-1】如圖，①②③④對(duì)應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖像，其中①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y=【變式3-2】?jī)绾瘮?shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），則冪函數(shù)y＝f（x）的圖象是（）A．B． C．D．【變式3-3】如圖是冪函數(shù)y＝xα的部分圖像，已知α分別取13、3、﹣3、?13這四個(gè)值，則與曲線C1、C2、C3、C4A．3，13，?13，﹣3 B．﹣3，?13C．?13，3，﹣3，13 D．3，13，【題型4比較冪值的大小】【方法點(diǎn)撥】(1)直接法：當(dāng)冪指數(shù)相同時(shí)，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較.

(2)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不同時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小.

(3)中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同時(shí)，不能運(yùn)用單調(diào)性比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值，從而達(dá)到比較大小的目的.【例4】設(shè)a=(34)12，b=(A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【變式4-1】已知冪函數(shù)y＝xa的圖象過點(diǎn)(3，19)，則下列兩函數(shù)的大小關(guān)系為：（x2﹣2x+4）a（）（A．≤ B．≥ C．＜ D．＞【變式4-2】若a=(2)25，b=325，A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a(chǎn)＞b＞d＞c【變式4-3】三個(gè)數(shù)a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【題型5利用冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】①根據(jù)所給函數(shù)解析式是冪函數(shù)，可列式求出參數(shù)的值；②結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性，進(jìn)行分析，得出滿足條件的參數(shù)值.【例5】已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣4m﹣4）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【變式5-1】若函數(shù)y=(m2?3m+3)xm2+2m?4為冪函數(shù)，且在（A．0 B．1或2 C．1 D．2【變式5-2】已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m?2在（0，+∞）上是減函數(shù)，則f（A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【變式5-3】?jī)绾瘮?shù)f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2【題型6利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【方法點(diǎn)撥】利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，判斷自變量或冪指數(shù)的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或冪指數(shù)的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用.【例6】已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（13，9），且f（a+1）＜f（2），則aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【變式6-1】已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實(shí)數(shù)a的范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【變式6-2】已知冪函數(shù)f（x）＝xα（α∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(12，4)，且f（a+1）＜f（A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣4，2）【變式6-3】已知f（x）=(m2?2m?7)xm?23是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足f（a﹣A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）專題3.3冪函數(shù)-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖像過點(diǎn)(2，22)，則A．?14 B．14 C．﹣4 2．已知冪函數(shù)f（x）＝k?xα（k∈R，α∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，12)A．12 B．1 C．32 D3．已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（4）＝（）A．2 B．16 C．12 D．4．“m2+4m＝0”是“冪函數(shù)f(x)=(m3?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣36．已知a=243，b=A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．函數(shù)y＝x，y＝x2和y=1①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果③如果1a＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；④如果a其中正確的是（）A．①④ B．① C．①② D．①③④8．已知冪函數(shù)y＝f（x）圖象過點(diǎn)(2，A．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減 B．f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) C．f（x）的值域?yàn)閇0，+∞） D．f（x）圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)二．多選題9．已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm，則（）A．m＝3 B．定義域?yàn)閇0，+∞） C．（﹣1.5）m＜（﹣1.4）m D．f(2)10．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象如圖所示，則a值可能為（）A．13 B．12 C．15 11．已知冪函數(shù)f(x)=(m+9A．f(?32)=1B．f（x）的定義域是R C．f（x）是偶函數(shù) D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]12．已知函數(shù)f(x)=(m2?m?1)xm2+m?3是冪函數(shù)，對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x1)?f(x2)x1A．a(chǎn)+b＞0，ab＜0 B．a(chǎn)+b＜0，ab＞0 C．a(chǎn)+b＜0，ab＜0 D．a(chǎn)+b＞0，ab＞0三．填空題13．已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，14），則f（7）＝14．已知冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3）=33，則該冪函數(shù)的定義域?yàn)?5．當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，冪函數(shù)y=(m2?m?1)xm2?2m?316．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）?xm+1為奇函數(shù)，則不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0的解集為．四．解答題17．已知冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）xm18．已知冪函數(shù)y＝f（x）經(jīng)過點(diǎn)（4，18（1）求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；（2）若f（a+2）＜f（3﹣2a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．已知函數(shù)y=x（1）求定義域；（2）判斷奇偶性；（3）已知該函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，試補(bǔ)全圖象，