人教版八年級數(shù)學 14.3因式分解（學習、上課課件）

14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.1提公因式法逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式知識點正方形的定義知1－講11.

定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.積中各因式都是整式，且相同因式的積要寫成冪的形式知1－講2.整式乘法與因式分解的關系(1)整式乘法與因式分解是兩種互逆的變形.即：多項式整式的積.(2)可以利用整式乘法檢驗因式分解的結果的正確性.因式分解整式乘法知1－講特別解讀1.因式分解的對象是多項式，結果是整式的積.2.因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變.3.因式分解必須分解到每個多項式的因式不能再分解為止.知1－練例1

知1－練解題秘方：緊扣因式分解的定義進行識別.答案：D

知1－練1－1.[中考·常德]下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是(

)A.a(m＋n)＝am＋anB.a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2C.10x2－5x＝5x(2x－1)D.x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6xC知1－練

例2知1－練解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關系進行判斷.答案：B解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項B.2－1.[中考·永州]下列因式分解正確的是()A.ax＋ay＝a(x＋y)＋1B.3a＋3b＝3(a＋b)C.a2＋4a＋4＝(a＋4)2D.a2＋b＝a(a＋b)B知1－練知1－練例3仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知把二次三項式x2－4x＋m分解因式后有一個因式是x＋3，求其另一個因式及m的值.知1－練

知1－練解題秘方：利用因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結果利用整式乘法算出，并與已知多項式比較，從而解決問題.知1－練問題：(1)若二次三項式x2－5x＋6可分解為(x－2)(x＋a)，則a＝_________；(2)若二次三項式2x2＋bx－5可分解為(2x－1)(x＋5)，則b＝________；－39知1－練(3)仿照以上方法解答下面的問題：已知把二次三項式2x2＋5x－k分解因式后有一個因式為2x－3，求其另一個因式及k的值.知1－練

展開后對應項的系數(shù)相等知1－練3－1.[中考·濱州]把多項式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，則a，b的值分別是()A.

a＝2，b＝3B.

a＝－2，b＝－3C.

a＝－2，b＝3D.

a＝2，b＝－3B3－2.[中考·菏澤]若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)對x恒成立，則n＝_________.4知1－練3－3.已知二次三項式2x2＋3x－k分解因式后有一個因式是x－5，求另一個因式及k的值.知1－練知2－講知識點公因式21.

定義：一個多項式中各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式.知2－講特別解讀1.公因式必須是多項式中每一項都含有的因式.只在某個或某些項中含有而其他項中沒有的因式不能成為公因式的一部分.2.公因式可以是單項式或多項式，還可以是多項式的冪的形式.3.要善于發(fā)現(xiàn)隱蔽的公因式，如(a－b)與(b－a)是一對相反數(shù)，它們可以變形為相同的因式.知2－講2.確定公因式需五看看系數(shù)：若各項系數(shù)都是整數(shù)，應提取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；看字母：公因式的字母是各項相同的字母；看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；知2－講看整體：若多項式的各項中含有的相同因式是多項式時，應將其看成整體，不要拆開；看首項符號：若多項式中首項符號是“－”號，則公因式的符號一般為負.小括號不要輕易地去掉知2－練例4指出下列多項式各項的公因式：(1)3a2y－3ay＋6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.解題秘方：緊扣公因式的定義求解.知2－練解：(1)中各項的公因式為3y；(2)中各項的公因式為4xy2；(3)中各項的公因式為(x－y)2；(4)中各項的公因式為－9a2b.知2－練4－1.多項式8a3b2＋12ab3c各項的公因式是()A.abc B.ab2C.4ab2 D.4ab2cC知2－練4－2.

[中考·永州]2a2與4ab的公因式為_______.4－3.4x(m－n)＋8y(n－m)2各項的公因式是________.2a4(m－n)知3－講知識點用提公因式法分解因式31.定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).知3－講2.

提公因式法的一般步驟知3－講特別解讀1.提公因式法實質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個多項式分解成兩個因式的積的形式，其中的一個因式是各項的公因式，另一個因式是多項式除以這個公因式所得的商.知3－講特別提醒：(1)多項式第一項系數(shù)為負時，一般提出負號，且各項都變號；(2)公因式的提取要徹底，分解因式的另一個因式中，不能有相同項和公因式.知3－練例5將下列各式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.(3)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；(4)5m(y－x)2－10(x－y)3.解題秘方：(1)(2)緊扣提公因式法的步驟分解因式，(3)(4)根據(jù)(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n－1＝－(b－a)2n－1(n為正整數(shù))進行變形后再分解.知3－練(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.解：6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz)；－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)＝－4ab(a2b－3a＋1).確定公因式首項系數(shù)為負數(shù)，一般提出負號，括號內(nèi)各項要變號4ab與公因式相同，提取公因式后，此項為“1”，此處容易漏掉“1”這一項而導致錯誤(3)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；(4)5m(y－x)2－10(x－y)3.知3－練解：3a(a－2b)＋6b(2b－a)＝3(a－2b)(a－2b)＝3(a－2b)2；利用互為相反數(shù)湊公因式看作一個整體寫成冪的形式5m(y－x)2－10(x－y)3＝5m(x－y)2－10(x－y)3＝5(x－y)2[m－2(x－y)]＝5(x－y)2(m－2x＋2y).知3－練解法提醒：當各項含有相同(或互為相反數(shù))的因式時，應把它作為一個整體看成公因式中的因式，相同的直接提，互為相反數(shù)的變成相同的再提.知3－練5－1.下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2－y B.x2－2xC.

x2＋y2 D.

x2－xy＋y2B知3－練

D知3－練5－3.將多項式(m－n)3－m(m－n)2－n(n－m)2因式分解，結果為(

)A.2(m－n)3B.2m(m－n)2C.－2n(m－n)2D.2(n－m)3C知3－練5－4.分解因式：(1)3x3－9x2－3x；(2)－15a－10ab＋5abc；解：原式＝3x·x2－3x·3x－3x·1＝3x(x2－3x－1)；原式＝－(15a＋10ab－5abc)＝－(5a·3＋5a·2b－5a·bc)＝－5a(3＋2b－bc)；知3－練(3)x(x－y)－y(y－x)；(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋2b)2.提公因式法因式分解提公因式法公因式概念互逆變形檢驗整式乘法14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.2公式法逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式知識點用平方差公式分解因式知1－講11.平方差公式法：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).a，b可以是單項式，也可以是多項式知1－講2.平方差公式的特點(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是這兩個數(shù)的和，另一個二項式是這兩個數(shù)的差.知1－講3.運用平方差公式分解因式的步驟一判：判斷是不是平方差，若負平方項在前面，則利用加法的交換律把負平方項交換放在后面；二定：確定公式中的a和b，除a和b是單獨一個數(shù)或字母外，其余情況都必須用括號括起來，表示一個整體；三套：套用平方差公式進行分解；四整理：將每個因式去括號，合并同類項化成最簡形式.知1－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積的條件后，結果寫成這兩個數(shù)的平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項式，可以分解成兩個數(shù)的和乘這兩個數(shù)的差的形式.3.能用平方差公式分解因式的多項式的特點：系數(shù)是平方，指數(shù)要成雙，減號在中央.知1－練例1

解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運用平方差公式分解因式.知1－練

解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；

看成一個整體要分解到不能再分解為止知1－練解：16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b).(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.分別看成一個整體知1－練1－1.下列多項式中，能運用平方差公式分解因式的是(

)A.a2＋b2 B.2a－b2C.a2－b2 D.－a2－b2C知1－練1－2.

[期末·重慶合川區(qū)]因式分解：4(m－n)2－(m＋n)2＝_______________.(3m－n)(m－3n)知1－練1－3.分解因式：(1)a2b2－16；(2)100x2－9y2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)；原式＝(10x＋3y)(10x－3y)；知1－練(3)a4－1；(4)49x2－(5x－2)2.解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)；原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)．知2－講知識點用完全平方公式分解因式21.完全平方式：形如a2±2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式.能用完全平方公式分解因式的多項式的特點：首平方，尾平方，積的2倍在中央知2－講完全平方式的條件：(1)多項式是二次三項式；(2)首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“＋”，也可以是“－”.知2－講2.完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.知2－講3.

公式法分解因式如果把乘法公式的等號兩邊交換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用這些公式把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.包括用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2

分解因式知2－講4.因式分解的一般步驟(1)當多項式有公因式時，先提取公因式；當多項式?jīng)]有公因式時(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)當不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時，可根據(jù)多項式的特點，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)當乘積中每一個因式都不能再分解時，因式分解就結束了.知2－講特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆用的形式.2.結果是和的平方還是差的平方由乘積項的符號確定，乘積項的符號可以是“＋”，也可以是“－”，而兩個平方項的符號必須相同，否則就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式進行因式分解.3.用完全平方公式分解因式時，若多項式各項有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.知2－練例2已知9a2＋ka＋16是一個完全平方式，則k的值是__________.解題秘方：根據(jù)平方項確定乘積項，進而確定字母的值.解：∵9a2＝(±3a)2，16＝±42，9a2＋ka＋16是一個完全平方式，∴ka＝±2×3a·4＝±24a.∴

k＝±24.有和的完全平方式和差的完全平方式兩種形式±24知2－練2－1.若x2＋2(m－3)x＋16是關于x的完全平方式，則m＝________．－1或7知2－練

解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”和“b”，再運用完全平方公式分解因式.例3(1)x2－14x＋49；(2)－6ab－9a2－b2；知2－練解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；－6ab－9a2－b2＝－(9a2＋6ab＋b2)＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]＝－(3a＋b)2；(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.

知2－練完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結果要徹底.

知2－練

A知2－練3－2.多項式x2－4x＋4因式分解的結果是(

)A.x(x－4)＋4B.(x＋2)(x－2)C.(x＋2)2D.(x－2)2D知2－練3－3.分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；(2)9－12a＋4a2；(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2；原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.知2－練分解因式：(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解題秘方：先觀察有沒有公因式，若有，要先提取公因式，然后通過觀察項數(shù)確定能用哪個公式分解因式.例4知2－練(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；解：

－3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；x4－8x2＋16＝[(x＋2)