兩條直線的位置關(guān)系（八大題型）講義（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

第02講兩條直線的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定..................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：三種距離..............................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定...................................................7

題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題.................................................9

題型三：有關(guān)距離的最值問題....................................................13

題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..........................................................23

題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱..........................................................25

題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..........................................................27

題型七：線關(guān)于線對(duì)稱..........................................................29

題型八：直線系方程............................................................31

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................32

05課本典例?高考素材............................................................33

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................36

易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤........................................36

答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù)..........................................37

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)

（1）兩條直線的平行與

2022年上海卷第7題，5分定，考查內(nèi)容'頻率、題型難度均變化不大，備

垂直

2020年III卷第8題，5分考時(shí)應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公

（2）兩直線的交點(diǎn)與距

2020年上海卷第7題，5分式'對(duì)稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)

離問題

系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個(gè)考點(diǎn).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式'點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

《：4%+4丁+￡=0A^B2—&B]=0且

A4+4與二。

/2:4%+B2y+C2=0BXC2-B2CJ7^0

4：y=%+優(yōu)（斜率存在）

4：y=kx+b

22ky=k2,brw.或左i?&=-1或左與左2中有一個(gè)為

L:x=x,X=X,X=X,XW%20,另一個(gè)不存在.

,‘（斜率不存在）l21

l2:x=x2

【診斷自測(cè)】（多選題）已知兩條直々玄4，的方程分另|J為3x+4y+12=0與依+8y—11=0,下列結(jié)論正確

的是（）

7

A.若"%，則。=6B.若"〃2,則兩條平行直線之間的距離為一

4

32

C.若4，/2，則。=§D.若aw6,則直線4，6一定相交

【答案】AD

【解析】?jī)蓷l直線第4的方程分別為3元+分+12=0與辦+8y-11=0,它們不重合，

若/"〃2，貝!]4a=3x8,得。=6,檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；

若4/〃2，由A選項(xiàng)可知，4：6x+8j-ll=0,直線4的方程可化為6x+8y+24=0,

|11+24|7

故兩條平行直線之間的距離為,二%,故B選項(xiàng)不正確；

V36+642

32

若/一4，貝Ij3a+4x8=。，得1=,故C選項(xiàng)不正確；

由A選項(xiàng)知，當(dāng)。=6時(shí)，lx//l2,所以若aw6,則直線4，4一定相交，故D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

知識(shí)點(diǎn)2：三種距離

1、兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)耳（玉,%￡（三,女）的距離公式為I片￡1=依-%）2+（乂-%）2-

特別地，原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)P（x,y）的距離|OP|=Jd+y2.

2、點(diǎn)到直線的距離

|引0+5%+CI

點(diǎn)片（%,為）到直線l:Ax+By+C=0的距離d

VA2+B2

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)好（%,%）到/的距離”=|機(jī)-飛|；若直線為/：y=n,則點(diǎn)弓（尤。,％）到

/的距離

3、兩條平行線間的距離

已知44是兩條平行線，求乙4間距離的方法：

U）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

（2）設(shè)《：Ar+Bv+G=0"。：衿+為+G=。，則（與4之間的距離d=隼羊工

'VA2+B2

注：兩平行直線方程中，x,y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式/5）=而=2+3+口土直/+3+生型函數(shù)求解,首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性

求解.

【診斷自測(cè)】（多選題）已知點(diǎn)”（1,4）到直線/:如+廣1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)加等于（）

A.0B-7C.3D.2

【答案】AB

|m+4-l|、3

【解析】依題意二3,即4m2-3m=0,解得〃z=0或帆="

yjm2+1

故選：AB.

解題方法總結(jié)

1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)尸（為，必）關(guān)于點(diǎn)。（%,%）的對(duì)稱點(diǎn)為P（%，y2）＞則根

X+x

x=-9------

據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有02

可得對(duì)稱點(diǎn)P'(x2,%)的坐標(biāo)為(2x0-X],2%-%)

2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

點(diǎn)P(%i,%)關(guān)于直線/:Ax+5y+C=0對(duì)稱的點(diǎn)為P?，%)，連接PP，交/于反點(diǎn)，貝卜垂直平分

kl-kpp,=—1

PP'，所以FP_L/，且A/為pp中點(diǎn)，又因?yàn)榧釉谥本€/上，故可得＜^r±+^rAV±+AV'出

A2+JB2+C=0

3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求

出直線方程;

法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對(duì)稱

求直線4：dx+》y+c=O，關(guān)于直線4：公+ey+/=0(兩直線不平行)的對(duì)稱直線/

第一步：聯(lián)立心L算出交點(diǎn)P5，%)

第二步：在《上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))Qa,%),利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)

Q\X2,y2)

第三步：利用兩點(diǎn)式寫出《方程

5、常見的一些特殊的對(duì)稱

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線》=龍的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x),關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=Z?的對(duì)稱點(diǎn)為(無，2b—y)■

點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,6)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a—x,2b—y)■

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=左的對(duì)稱點(diǎn)為(左-y,k—x)＞關(guān)于直線x-y=左的對(duì)稱點(diǎn)為(左+y,x—k)-

6、過定點(diǎn)直線系

過已知點(diǎn)尸(%,%)的直線系方程y-%=々(x-X。)(左為參數(shù)).

7、斜率為定值直線系

斜率為左的直線系方程y=Ax+6(6是參數(shù)).

8、平行直線系

與己知直線Ar+3y+C=0平行的直線系方程Ax+3y+；l=0(刃為參數(shù)).

9、垂直直線系

與已知直線Ax+3y+C=0垂直的直線系方程3x-Ay+X=0（2為參數(shù)）.

10、過兩直線交點(diǎn)的直線系

過直線4：A1x+Bxy+G=0與I2：4x+B.,y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程：

\x+Bxy+C1+A（A,x+B2y+C2）=0為參數(shù)）.

題型洞察

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定

【典例14】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題）已知兩條直線

lx:ox+4y—1=0,/2:x+ay+2=0,則"a=2”是"http:///1'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)“〃2時(shí)，：=2*一，則。=±2,

1a2

所以““=2”是的充分不必要條件.

故選：A

21

【典例1-2］已知a>0,b>0,直線（a-l）x+y-l=0和x+2緲+1=0垂直，則一+：的最小值為（）

ab

A.16B.8C.4D.2

【答案】B

【解析】a>0,b>0,直線4:（。一1）%+y—l=0,Z2:x+2by+l=0,4±Z2?

??.（a—l）xl+lx2J=0,即Q+2Z?=1.

rn.i212a+4ba+2b_4ba__Uba..也口所比n1口4生口卡一

貝1］一+—=------+------=2+—+—+2>4+2/--------=4+4=8o,當(dāng)且僅當(dāng)a=2Z?=工時(shí)，等號(hào)成乂,

ababab\ab2

故±2+*1的最小值為8,

ab

故選：B.

【方法技巧】

【解題方法總結(jié)】

判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)

Z］:Alx+Bly+Cl=0（A，4不全為0）,l2:A,x+B2y+C2=0（4.B?不全為0）,貝U：

當(dāng)4與-44—0時(shí)，直線4,相交；

當(dāng)時(shí)，44直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；

當(dāng)44-a生=0時(shí)，44直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶.

【變式1-1】直線3x-6+2”+左+5=0與直線履+（2%-3）y+2=0相交，則實(shí)數(shù)左的值為（）

A.左-1或左片9B.左#1或人力一9

C.左二1且左片9D.左二1且*:N—9

【答案】D

【解析］由直線3無一/+2）y+k+5=0與直線丘+（2左一3）y+2=0相交，得3（2左一3）—左［一（%+2）］彳0,

即（k+9）（Z—1）#0,解得左片1且左w—9,

所以實(shí)數(shù)上的值為左片1且左片一9.

故選：D

【變式1-21點(diǎn)尸（％,X）,。（々，%）為直線點(diǎn)-y+2=0上不同的兩點(diǎn)，則直線4：%、=1與直線

:x?x-y2y=1的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.重合D.不確定

【答案】A

【解析】由點(diǎn)P（外,％）,。（々,%）為直線點(diǎn)-y+2=。上不同的兩點(diǎn)，

則直線4：為x-%y=1與直線4：%無-%，=i的斜率存在時(shí)一定為‘■，逗，

H%

可以把這兩個(gè)斜率看成直線上兩點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率的倒數(shù)，

由已知可得人”片自2,則立二三，即兩直線不可能平行與重合，則只能相交；

X%

若直線4:x/-=1與直線/2：x/-=1的斜率有一個(gè)不存在，則另一個(gè)斜率必存在，也能判定兩直線

相交；

故選：A.

【變式1-3］（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）已知直線乙：-根氏+'-1=。，直線乙：（2m-3）x+y-3=0,

則加=一3是/J%的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

f—^^2——3

【解析】因?yàn)?〃4=<,c=相=1或〃?=一3,

|-1w-3

所以〃?=一3是乙〃6的充分不必要條件.

故選:A.

【變式1-4]（2024?高三?上海寶山?開學(xué)考試）已知集合4=｛（%刈尤+畋+2”0卜

3=｛（x,y）|以+ay-1=0｝,則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在aeR,使得A=0

B.當(dāng)q=_]時(shí)，A（~>B=,—

C.當(dāng)A3=0時(shí)，a=\

D.對(duì)任意的aeR,都有Aw3

【答案】D

【解析】對(duì)于A,尤+沖+2a=0表示過定點(diǎn)（0,-2）,且斜率不為0的直線,

二集合A表示直線x+Q+2a=0上所有的點(diǎn)，.〔Aw。，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)”=—1時(shí)，A={(x,y)|x-y-2=0},3={(x,y)|-x-y—1=。},

1

x=—

J__3

由Ar,B=，錯(cuò)誤;

3'-2，-2B

y=-2

對(duì)于C,當(dāng)6=0時(shí)，a=0,滿足AB=0；

當(dāng)即awO時(shí)，直線x+ay+2〃=0與以+@一1=0平行,

a—a2“r&

>解得：a=l；

-1/2a-2

綜上所述：當(dāng)48=0時(shí)，。=0或々=1,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若A=B,貝iJarO且直線x+ay+2a=0與ox+分一1=0重合,

：.\a~a2，方程組無解，；.Aw3，D正確.

[-1=2/

故選：D.

題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題

【典例2-1]（2024?高三?江蘇蘇州?開學(xué)考試）已知直線4：x+y+C=O與直線4：Ax+8y+C=。交于

（LD,則原點(diǎn)到直線）距離的最大值為（）

A.2B.J2C.—D.1

2

【答案】B

【解析】因?yàn)閮芍本€交于(1,1),

貝！]1+1+C=O,即C=—2,且A+8+C=0,貝ljA+B=2；

|C|22

由原點(diǎn)到直線4的距離d=

VA2+B2卜+僅_町p(A2-2A+2)

由A2—2A+2=(A—1)2+1?1,

則14近，當(dāng)且僅當(dāng)A=1時(shí)，d取最大值也，止匕時(shí)3=1.

即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.

故選：B.

-4工+2的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（

【典例2?2】若直線,=1+2k+1與直線y

2

5J2j_5_￡2]_

A.B.C.D.

2,25?22，-25?2

【答案】A

2—4k

y=x+2k+lx=--------

32—4k24+5

【解析】1與n<即交點(diǎn)為

y=——x+22左+53'3

2y=--------

3

生竺>0

351

因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以=>——<x<—.

2>022

3

故選：A

【方法技巧】

兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計(jì)算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu).

【變式2-1】已知點(diǎn)A（2,l）,8（3,4）,C（-2,-l）,則ABC的面積為.

【答案】5

【解析】設(shè)A3邊上的高為心則//就是點(diǎn)C到所在直線的距離.

易知\AB\=^/（3-2）2+（4-1）2=M.

由兩點(diǎn)式可得AB邊所在直線的方程為蕓=言，即35=。.

|3x(-2)-(-l)-5|

點(diǎn)到直線3x-y-5=0的距離仁

^32+(-iy

所以ABC的面積為％,=3/卜回*/2=3*癡*4歷=5.

故答案為：5

【變式2-2］已知平面上點(diǎn)P(3,3)和直線/:2y+3=0,點(diǎn)尸到直線/的距離為％則d=_.

【答案】19/4.5

□

【解析】依題意，直線/：'=-；,而點(diǎn)P(3,3),

3Q

所以d=3-(-5)=5.

9

故答案為：—

【變式2?3】已知直線/:(加+l)x-y-3帆-2=0,則點(diǎn)尸(T-1)到直線/的距離的最大值為.

【答案】2百

［解析］直線/:(m+l)x-j-3m-2=0,即x—y—2+m(x-3)=0,

［x—y—2=0

由;c，解得x=3,y=l,所以直線/恒過定點(diǎn)43,1),

x—3=0

最大值為|AP1=J(3+1)2+(1+1)2=2A/5,

所以點(diǎn)P(-l,-l)到直線l的距離的最大值為2行，

故答案為：2小

【變式2-4】已知點(diǎn)A(-1,2),B(1,4),若直線/過點(diǎn)2,—3),且4、B到直線/的距離相等，則直線/的

方程為—.

【答案】X—y—1=0或3x-y+3=O

【解析】依題意，A8到直線/的距離相等.

A5的中點(diǎn)為(0,3),

當(dāng)/過(0,3)以及M(-2,-3)時(shí)，

—3—3

直線/的方程為y=—^7；x+3=3x+3,3x-y+3=O.

-2—0

直線A3的斜率為一二=1,

當(dāng)直線/過”(-2,-3)并與AB平行時(shí)，

直線/的方程為>+3=lx(x+2),x—y—1=0.

綜上所述，直線/的方程為左一，一1=0或3x-y+3=o.

故答案為：X-y-1=0或3x-y+3=0

【變式2-5】4：x-y+3=O,與直線小2》+〃沙-2=。平行，則直線4與/2的距離為.

【答案】272

【解析】因?yàn)椤啊?，所以lx〃?=(-l)x2,解得〃?=-2,

lx:x-y+3=0,/2:x-y-l=0,

由兩平行直線的距離公式可得：d=2近,

故答案為：2五

【變式2-6】若恰有兩組的實(shí)數(shù)對(duì)(A5)滿足關(guān)系式卷震=金等?則符合題意的’的值

為.

【答案】當(dāng)2

【解析】?音可以看成點(diǎn)“(2,1)到直線/:Ax+5y+3=0的距離4，

二3可以看成點(diǎn)N(5,-2)到直線/：Ax+By+3^0的距離d2,

由已知可得，t>0,I：Ax+By+3=0不過原點(diǎn)，

|2A+3+3|_|5A—23+31

又由恰有兩組的實(shí)數(shù)對(duì)(AB)滿足關(guān)系式

A/A2+B2A/A2+B2

所以可以看成有且僅有兩條直線滿足4=4,直線肱V方程：x+y-3=0,

所以滿足題意的直線/：

第一條是線段MV的垂直平分線，當(dāng)/：及+By+3=。是跖V的垂直平分線時(shí)，

因?yàn)閨政V|=3&,所以4=4=:"叫=乎，符合題意；

第二條只能取自與直線MV平行的兩條直線中的一條，且此時(shí)另一條直線過原點(diǎn),

此時(shí)第二條直線的方程為X+y-6=0,

所以此時(shí)4=4=述，即/=述，符合題意；

1222

2

故答案為：述.

2

【變式2-7］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知直線4i=2x和4：y=^+l與無軸圍成的三角形是等腰三角形,

則上的取值不可能為（）

A.-2B.--C.D.

322

【答案】D

【解析】令直線4,的傾斜角分別為a,。，貝Utana=2,tane=3

當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在無軸上時(shí)，0=7i-a,k=tan（Tr-a）=-tantz=-2；

當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線4上時(shí)，6=葭或。=方+1，

ca

2tan一/T

因?yàn)閠ane=----------=2,且tan^〉。，解得tan>="一,

1-tan2^222

2

匚匚2,八a。5—1-p.k=tan0=tanCL\1—1—v5

所以k=tan。=tan—=--------，或122廠，。-2；

221ytan—

2

rm7八c2tanc2x24

當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線4上時(shí)，O=2a,貝Uk=tan6=tan2a=------------=-------=——.

l-tan2a1-223

故選：D.

題型三：有關(guān)距離的最值問題

【典例3-1】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問

題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn),當(dāng)/(x)=VX2-2X+10+>/X2-10A+29取得最小值時(shí)，

實(shí)數(shù)x的值為（）

13qD.4

A.—B.3C.

55

【答案】C

【解析】/(x)=Vx2-2x+10+&-10X+29=必-5>+4+J(x-iy+9，

表示平面上點(diǎn)M(x,0)與點(diǎn)A(5,2),8(1,-3)的距離和，

7.1-3

連接AB,與x軸交于”(x,0),此時(shí)直線A3方程為y=尤-1)-3,

5—1

17

令y=o,貝=w

______________17

,)(無)的最〃、值為J(5-l)2+(2+3)2=如,止匕時(shí)x=不

故選：C.

【典例3-2】設(shè)/(元,y)=Jx2+y2+J(x+2)2+y2+y/(2-x)2+(y+3)2+Jx2+(y+4)2，其中

-2<%42,-44好0.則/(尤4)的最小值為()

A.8B.9C.6+713D.4+36

【答案】B

【解析】設(shè)A(-2,0),8(2,-3),C(0,-4),P(x,y),則解羽］表示:z=\OP\+\P^+\PB\+\PC\,

心B則直線”的方程為y=—(x+2),令x=0,則好一。，

—2—2442

所以直線A3與》軸相交于點(diǎn)兄

所以|OP|+|PC46>C=4,|B4|+|PB閆裕|=5,

所以z±9,當(dāng)點(diǎn)尸為乙時(shí)，等號(hào)成立，故/(x,y)的最小值為9.

故選：B.

【方法技巧】

數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【變式3-1］已知。，b,C,。為四個(gè)實(shí)數(shù)，且。一人=一2,c—d=0,a+b=c+d,則

歸+3-4)2+&2+(］一5)2的最小值為()

A.歷—夜B.述C.2

D.5

22

【答案】D

k—?k+Dk

【解析】設(shè)a+b=c+d=k,則〃=于*=三,0=4=',

所以y/a2+(Z?-4)2+&2+(d-5)2=[(左一4『+4]+[(k-5)2+251

=—"("4)2+4+J("5)2+25

而J(iy+4+J(Z-5『+25可看做x軸上動(dòng)點(diǎn)P(k,0)與兩定點(diǎn)M(4-2),N(5,5)的距離和，如圖,

由圖可知當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到々時(shí)，|PN|+|PM|最小，最小值為|"N|=J(5—41+(5+2)2=5五,

所以亞+(1)2+也2+3一5)2的最小值為￥X5?=5.

故選：D

【變式3-2］已知(加,九)為直線無+>-1=0上的一點(diǎn)，則+川+J(%+2)2+/的最小值為()

A.V1OB.26C.4D.372

【答案】A

【解析】如圖，+4+J(加+2)2+〃2為點(diǎn)p(m,n)到原點(diǎn)。和到點(diǎn)4(-2,0)的距離之和,

ab,八

—+——1=0,

22/曰:二即WU).

即1Poi+|叫設(shè)。(0,0)關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱的點(diǎn)為8(9),則<7得

四,

a

易得|PO|=|「牛當(dāng)A,P,3三點(diǎn)共線時(shí)，|PO|+|PA|取到最小值，且最小值為IPOI+IPA1=1AB1=716.

故選：A.

【變式3-3】J10x2-6x+l+J10d+4x+4的最小值為()

A.3B.2V2C.辿D.

55

【答案】D

【解析】由題意知，

，10$-6x+l+J10f+4x+4=y/ldd(x.+(0一前+J(x+版+(0-1)2],

3113

設(shè)P(x,0),M(―,—),N(-—,—),

則Ja-Q+（0力+自+>+（0-|）2的幾何意義為|PM|+|PN|的值,

如圖，作點(diǎn)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)”（高4）,連接MVT,

與尤軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)尸，此時(shí)|P"|+|PN|取得最小值，為|M0[.

即小木+（0-3/4）2+（0-|）2的最小值為唱，

所以A/10X2-6x+l+VlOx2+4X+4的最小值為^-

故選：D

【變式3-4]已知實(shí)數(shù)占,乙，豆，%，滿足/+才=4,君+貨=9,XjX2+y,y2=0,貝lj

忖+K—9|+后+%-4的最小值是.

【答案】18-V26/-V26+18

【解析】依題意，方程x；+y；=4、￡+貨=9分別表示以原點(diǎn)。為圓心，2、3為半徑的圓,

令5（占,%）,4（尤2，基）,即點(diǎn)昆A分別在f+V=4、x2+y2=91.,如圖，

顯然。8=（七,乂）,。4二（冗2，%），OB-OA=xYx2+yxy2=0,即有O5_LQ4，

IAB|=7lOA|2+|OB|2=V13，取線段AB中點(diǎn)尸，連接。尸，則[0尸|=；|A2|=羋,

因此點(diǎn)尸在以原點(diǎn)為圓心，巫為半徑的圓上，

2

而|刃+M-丹+\x2+y2-9\=回'蒙呼+民菱外,

即忖+%-9|+,+%-9|表示點(diǎn)A,B到直線l:x+y-9=0的距離和的也倍,

過A,8分別作直線/的垂線，垂足分別為M,N,過P作PD垂直于直線/于點(diǎn)。，

于是AM//PD/ABN,\AM\+\BN\=2\PD\,

上+%-9|+"+%-9|=應(yīng)(|41/|+|乳|)=2啦|20,原點(diǎn)O到直線/的距離人五

9V13

顯然|尸d-\OP\=,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)O,P,。共線，且點(diǎn)尸在線段OD上時(shí)取等號(hào),

722

所以（|七+乂一9|+民+y2-9\)min=2j2\PD\nin=18-莊.

故答案為：18-莊

【變式3-5】已知點(diǎn)RQ分別在直線4：x+y+2=O與直線/2：x+y-l=0上，且PQM，點(diǎn)4（-3,-3）,

3(3,0),則|"|+|PQ|+|QB|的最小值為

3M+30

【答案】

2

【解析】易知“4,作出圖象如下，過3點(diǎn)作直線則尸。/〃,

Vi

直線/:y=x-3,過尸作直線PC//QB,與直線/交于點(diǎn)C,易知四邊形PCBQ為平行四邊形,

故PC=,且B到直線4的距離等于C到\的距離,

設(shè)C(/,-3),則)+，.+2|=史"31

解得，=5或，=-萬（舍），所以c

A/2

而+|PQ|+|QB|=|"|+|尸0|+|尸C,且|尸Q|=心鉀3_3A/2

（定值）,

近一2

顯然|4尸|+1尸①|(zhì)AC|=J13-1[+[一3+|J=平

故只需求出IAPI+IPCI的最小值即可,

故|"|+|PQ|+\QB\的最小值為3廂+3加

故答案為:3M+3母

2

【變式3?6］（多選題）已知兩點(diǎn)A（-5,-1）,川0,4）點(diǎn)尸是直線/：y=2x-1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正

確的是（）

A.存在尸（1,1）使附+煙最小B.存在P［,O］使|M+|哨最小

C.存在尸（5,9）使|網(wǎng)-「到最小D.存在P（O,-l）使歸山-|尸邳最小

【答案】ABD

〃+4_m+0]

-----=2x---------1

79m=4

【解析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)3關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為C（"2,〃），所以，、2,所以所以

〃一4入y

------x2=-l

,m-0

C(4,2),

所以|酬+歸8閆4。，當(dāng)且僅當(dāng)尸為AC與/交點(diǎn)時(shí)滿足題意,

-1-212

又因?yàn)锳C:y—2=—--(A:—4),BpAC:y=—x+—f

-5-4v733

f12r1

所以133,所以",所以尸(U),故A正確；

y=2x-lU

對(duì)于B：設(shè)P（x,2x-1）,所以|PA「+|?=（x+5）2+（2x-l+iy+f+（2x-l-4）2,

所以|P4「+|P砰=1。當(dāng)且僅當(dāng)x=1?時(shí)|PA「+|P砰有最小值,

此時(shí)2x-l=0,所以尸故B正確；

對(duì)于C：如下圖，根據(jù)A5與/的位置關(guān)系可判斷出|網(wǎng)-忙卻有最大值，無最小值，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：因?yàn)閮?|-|「耳20,取等號(hào)時(shí)|P4|=|PB|,即尸為AB垂直平分線與/的交點(diǎn)，

-1+41(-5+0、

y--------------------7—x-----------

因?yàn)榇怪逼椒志€方程為24-(-1)(2),即產(chǎn)T-1,

0-(-5)

所以It；；[;所以所以P(0，T)，故D正確；

故選：ABD.

【變式3-7](多選題)已知直線，：x-2y+8=0和三點(diǎn)A(2,0),B(-2T),C(2,5),過點(diǎn)C的直線4與X軸、y

軸的正半軸交于M,N兩點(diǎn).下列結(jié)論正確的是()

A.尸在直線/上，則|PA|+|P目的最小值為4四

B.直線/上一點(diǎn)尸。2,10)使|閘_|網(wǎng)最大

uumuULiu

C.當(dāng)iavn?|CN|最小時(shí)4的方程是x+y-7=0

UULUUUUU

D.當(dāng)「OM|ON|最小時(shí)」的方程是5x+尸15=0

【答案】BC

【解析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)3關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為9(九"),

?+4

--------x-=-i

則加+22,，解得B'3836

-2+m-2x^^+8=0

、22

:.\PA\+\PB\=|PA|+|尸＞\AB'\=

當(dāng)A,3',尸三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.A錯(cuò)誤;

B'

對(duì)于B：||因-|尸川〈恒用，當(dāng)A,3,尸三點(diǎn)共線時(shí)取最大值,

4

又L：丫=](x-2),即x-y-2=0,

x—y—2=0

聯(lián)立x.2y+8=。,解得I2"l。,

即直線/上一點(diǎn)尸（12,10）使歸網(wǎng)-|叫最大，B正確;

對(duì)于C：設(shè)4=-2)+5,Z<0,

當(dāng)x=。時(shí)，＞=一2%+5,當(dāng)、=。時(shí)，x=--+2,

k

當(dāng)且僅當(dāng)，=/,即左=—1時(shí)等號(hào)成立，

止匕時(shí)4：y=—(%—2)+5,即元+y—7=0,C正確；

uuumunr/5、23

對(duì)于D：||?|ON|=——+2(—2左+5)=20+—+4(-)1)>20+2—x4(—左)=40,

\k)—k\—k

755

當(dāng)且僅當(dāng)q=4（d）,即左=時(shí)等號(hào)成立，

—k2

此時(shí)4：＞=-1（尤-2）+5,即5x+2y-20=0,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【變式3-8］已知點(diǎn)M（玉,％）在直線（：y=x+2，點(diǎn)N（%2，%）在直線‘2：V=1上，且"N_L/］，

&+（%-盯+4%-5）2+及的最小值為（）

A.述B.C.V41-V2D.5

22

【答案】D

【解析】由已知擊：+（%-4）2表示點(diǎn)M（x“i）到點(diǎn)4（0,4）的距離，

22

7（x2-5）+y2表示點(diǎn)可（叼/2）到點(diǎn)3（5,0）的距離，

所以Jx；+（x-41+J&-5『+為=|以4MN2|,

過點(diǎn)A作AC，4,垂足為C,

因?yàn)橹本€4的方程為x-y+2=0,A（0,4）,

所以|AC|==聾=0,

71+1

又直線4：y=x+2與直線4：y=x平行，MNId、,

所以|削|=盥1=應(yīng)，所以肱V//ACJ肱V|=M。，

所以四邊形AAWC為平行四邊形，所以|AM|=|OV|,

所以業(yè)+（%_4『+一5）2+￡=|CNj+1N3|,

又|CN|+|Nfi|2|CB|,當(dāng)且僅當(dāng)C,N,B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)點(diǎn)N為線段CB與直線6的交點(diǎn)時(shí)，

222

1Jxl+（yl-4）+7（%2-5）+yf取最小值，最小值為|C3|，

因?yàn)檫^點(diǎn)A（0,4）與直線人垂直的直線的方程為y=-x+4,

(y=—x+4x=l

聯(lián)立可得

[y=x+2y=3

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,3）,所以|CB|=J（5_1）2+（0-3）2,

所以J"?-"?+&「5）2+￡的最小值為5,

故選：D.

【變式3-9]過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+切=0和過定點(diǎn)5的動(dòng)直線區(qū)-y-2k+1=0交于點(diǎn)M,則|幽+|阿|的

最大值是()

A.2忘B.3C.VlOD.V15

【答案】C

【解析】由題意知X+6=0過定點(diǎn)4(0,0),

動(dòng)直線丘-。-2%+1=0即%(x-2)-y+l=0過定點(diǎn)8(2,1),

對(duì)于直線X+6=0和動(dòng)直線"一》一2左+1=0滿足lx左+Zx(—1)=0,

故兩直線垂直，

因此點(diǎn)M