2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(2024年7月)

選擇題(共10小題)

1.設(shè)函數(shù)/(無)是奇函數(shù)了(無)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)7(%)-/(%)<0,

則使得了(尤)>0成立的光的取值范圍是()

A.(…，-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(--1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

2.若x=-2是函數(shù)/(x)=(/+辦-1)的極值點(diǎn)，則/(%)的極小值為()

A.-1B.-21C.D.1

3.若函數(shù)/(x)=x-3in2x+asiiix在(-8,+oo)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[-1,-1]C.[-11,-1]D.[-1,-11]

4.設(shè)函數(shù)/(x)="(2x-l)-ax+a,其中a<l,若存在唯一的整數(shù)xo使得/(尤o)<0,則a的取值范

圍是()

5.設(shè)函數(shù)/⑴=/+(a-1)W+辦.若無)為奇函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程

為()

A.y=-2xB.y=-xC.y~~2xD.y~~x

已知f(x)=alnx+^x2(a>0)若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)xi,

6.fxi,都有----------->2怛成山

Xi-X2

則〃的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,+8)C.(0,1)D.[1,4-oo)

7.已知。為函數(shù)/(%)=/-12%的極小值點(diǎn)，貝IJ4=()

A.-4B.-2C.4D.2

21

8.已知曲線y=r卷-3/加的一條切線的斜率為5,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

A.3B.2C.1D.

2

9.函數(shù)/(%)=0?+"2+5+1的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()

A.a>0,6c0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0

10.設(shè)aWO,若x=a為函數(shù)/(x)=a(尤-a)2(x-b)的極大值點(diǎn)，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2'D.ab>a1

二.填空題(共5小題)

11.若直線是曲線y=加什2的切線，也是曲線(x+1)的切線，則b=.

12.已知函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x,則7(x)的最小值是.

13.曲線y=3(?+x)/在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

14.已知函數(shù)/Ct)"-2X+/->其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若/(a-1)夕2/)W0.則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

15.曲線y=W+%在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.

三.解答題(共5小題)

1

16.已知函數(shù)/(元)=--x+alnx.

(1)討論了(工)的單調(diào)性；

(2)若/(無)存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,證明：""1)一""2)<a-2.

X1-X2

17.已知函數(shù)/(%)=(x+1)Inx-a(x-1).

(I)當(dāng)〃=4時(shí)，求曲線y=/(x)在(L/(D)處的切線方程；

(II)若當(dāng)尤(1,+8)時(shí)，f(x)>0,求〃的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=aex-Inx-1.

(1)設(shè)x=2是/G)的極值點(diǎn)，求〃，并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)心1時(shí),/(%)20?

19.設(shè)函數(shù)/(x)=

(1)討論/G)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x20時(shí)，f(x)Wox+1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(x)=(%-2)e^+a(x-1)2.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.設(shè)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)/(x)(xGR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，xf'(x)-f(x)<0,

則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(--1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】A

【分析】由已知當(dāng)尤>0時(shí)總有;^(尤)-/(x)<0成立，可判斷函數(shù)g(x)=壁為減函數(shù)，由已

知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g(x)為(-8,o)u(0,+8)上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g

(x)在(0,+8)上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g(x)的圖象，而不等式/(x)>0等價(jià)于(x)>0,

數(shù)形結(jié)合解不等式組即可.

【解答】解：設(shè)g(x)=寫，

則g(x)的導(dǎo)數(shù)為：g'(x)=支尸(?尸,

:當(dāng)尤>0時(shí)總有對(duì)7(無)</(x)成立，

即當(dāng)尤>0時(shí)，g'(x)恒小于0,

當(dāng)尤>0時(shí)，函數(shù)g(無)=寫為減函數(shù)，

又,：g(-無)==3=g(x),

d—X—xXd

.,?函數(shù)g(無)為定義域上的偶函數(shù)

又飛(-1)=笛2=0,

二函數(shù)g(無)的圖象性質(zhì)類似如圖：

數(shù)形結(jié)合可得，不等式/(%)>0ox?g(x)>0

(x>0dx<0

或〈，

Lg(x)>015(%)<0

?0<x<1或xV-1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合

題.

2.若x=-2是函數(shù)f(x)=(/+ox-1)，一1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()

A.-1B.-C.5e-3D.1

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】A

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)，求出。，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極小值即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)=(f+ax-l)/I

可得(x)=(2x+a)e=l+C^+ax-1)1,

天=-2是函數(shù)/(彳)=(W+or-1)/一1的極值點(diǎn)，

可得：f(-2)=(-4+a)e~3+(4-2a-1)e~3=0,即-4+a+(3-2a)=0.

解得a=-1.

可得，(無)=(2x-1)(/-x-1)

=(7+尤-2)/I函數(shù)的極值點(diǎn)為：x=-2,x=l,

當(dāng)x<-2或x>l時(shí)，(無)>0函數(shù)是增函數(shù)，無6(-2,1)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，

x=l時(shí)，函數(shù)取得極小值：/(1)=(I2-1-1)

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查計(jì)算能力.

3.若函數(shù)無)=x-/in2x+asin_r在(-+°°)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

1111

A.[-1,1]B.[-1,-]C.[-1,-]D.[-1,-1]

【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】C

【分析】求出尤)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得了'(x)20恒成立，設(shè)/=cosx(-1WfWl),即有5-4尸+3加

20,對(duì)/討論，分f=0,0<fWl,分離參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可

得到所求范圍.

17

【解答】解：函數(shù)/(x)=x—wsin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為/(x)=1--^cos2x+acosx,

由題意可得/(x)20恒成立，

即為1—gCOsZx+acosx》。，

54

即有———cos^x+acos%2。，

33

設(shè)t=cosx(-1WW1),即有5-4於+3成20,

當(dāng)/=0時(shí)，不等式顯然成立；

當(dāng)0V/W1時(shí),3g4/一|,

由4—微在(0,1]遞增，可得r=l時(shí)，取得最大值-1,

可得3a2-1,即a>—:；

當(dāng)-1WY0時(shí),3aW4一,

由4/-|在[-1,0)遞增，可得f=-1時(shí)，取得最小值1,

可得3〃W1,即

綜上可得a的范圍是1].

另解：設(shè)kcosx(-1WW1),即有5-4金+3〃三0,

由題意可得5-4+3〃，0,且5-4-3〃，0,

解得a的范圍是[4,1].

J3

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和換元法,

考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題.

4.設(shè)函數(shù)/(x)=炭(2%-1)-ax+a,其中若存在唯一的整數(shù)刈使得/(刈)<0,則〃的取值范

圍是()

33

-)D.[——，1)

42e

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點(diǎn).

【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】D

【分析】設(shè)g(x)="(2x-1),y=ox-〃，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)xo使得g(xo)在直線y=ox

的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得-〃>g(0)=-1且8(-1)=-3/12-〃-〃，

解關(guān)于〃的不等式組可得.

【解答】解：設(shè)g(x)="(2%-1),y=ax-a,

由題意知存在唯一的整數(shù)xo使得g(xo)在直線-4的下方，

?「g'(x)(2x-1)+2/=厘(2x+l),

二.當(dāng)％<—*時(shí)，g'(%)V0，當(dāng)x>—*時(shí)，g'(X)>0,

i1

，當(dāng)工=一2時(shí)，g(x)取最小值-2e2,

當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=-1,當(dāng)x=l時(shí)，g(1)=e>0,

直線恒過定點(diǎn)(1,0)且斜率為〃，

故-a>g(0)=-1且g(-l)=-3el》-。-。，解得一<a<\

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.

5.設(shè)函數(shù)/（無）=/+（fl-1）/+以.若/（無）為奇函數(shù)，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程

為（）

A.y=-2xB.y=-xC.y—?2xD.y--x

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出。，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率然后求解切線方程.

【解答】解：函數(shù)/（X）=/+（47-1）x1+ax,若/（X）為奇函數(shù)，/（-X）=_f（尤），

-x3+（67-1）x2-ax--（x3+（67-1）f+ox）=-f-（。-1）f-ax.

所以：（a-l））=-（（7-1）X2

可得0=1,所以函數(shù)=/+x,可得，（尤）=3x2+1,

曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,0）處的切線的斜率為：1,

則曲線＞=/（無）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為：y=x.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的切線方程的求法，考查計(jì)算能力.

6.已知無）=。加什%2（。＞0）,若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)尤1,尤2,都有八支1）一”久2）＞2恒成立,

2%i-x2

則a的取值范圍是（）

A.（0,1]B.（1,+8）C.（0,1）D.[1,+8）

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計(jì)算題；壓軸題；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】先將條件“對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)無1,X2,都有“久1）一”犯）＞2恒成立”轉(zhuǎn)換成于（XI）-

2XI＞/（X2）-2X2,構(gòu)造函數(shù)/Z（X）=/（無）-2尤，根據(jù)增減性求出導(dǎo)函數(shù)，即可求出。的范圍.

【解答】解：對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)XI,尤2,都有1（久1）二〃一）＞2恒成立,假設(shè)尤1＞尤2,

Xi-%2

f（XI）-f（X2）＞2x1-2x2,即/（XI）-2x1＞/（X2）-2%2對(duì)于任意Xl＞X2＞0成立，

令h（x）=f（x）-2x,h（x）在（0,+8）為增函數(shù)，

：.K(x)=(+x-220在(0,+8)上恒成立,

a…0

一+%-220,則〃2(2%-A)max=1

X

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,

屬于基礎(chǔ)題.

7.已知°為函數(shù)尤）=/-12%的極小值點(diǎn)，則a=（）

A.-4B.-2C.4D.2

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】D

【分析】可求導(dǎo)數(shù)得到/（無）=3/-12,可通過判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f（x）的極小值點(diǎn)，從而得

出a的值.

【解答】解：/（無）=3/-12；

，x<-2時(shí)，f（x）>0,-2<x<2時(shí)，/（x）<0,尤>2時(shí)，f（x）>0；

；.x=2是無）的極小值點(diǎn)；

又。為了（無）的極小值點(diǎn)；

??cr==2.

故選：D,

【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)極小值點(diǎn)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法及過程，要熟悉二次函數(shù)

的圖象.

21

8.已知曲線丁r=卷-3歷X的一條切線的斜率為5,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

1

A.3B.2C.1D.-

2

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義.

【答案】A

【分析】根據(jù)斜率，對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)，解出橫坐標(biāo)，要注意自變量的取值區(qū)間.

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（刈，3）

r21

曲線y=五一3的一條切線的斜率為a，

???=學(xué)一3解得的=3或刈=一2（舍去，不符合題意），即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)來說，要考慮它的定義域.比如，該

題的定義域?yàn)閧x>0}.

9.函數(shù)無)=依3+灰2+。天+］的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()

A.。>0,Z?<0,c>0,d>0B.〃>0,Z?<0,c<0,d>0

C.tz<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,/?>0,c>0,J<0

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】開放型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用排除法進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：f(0)=d>Q,排除D,

當(dāng)X—+8時(shí)，y—+8,二々〉。，排除C,

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)=3ax1+2bx+c,

則/(x)=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根，

2hr

則且-，(。>

Xl+%2=-3a5>a0X1X2=Q>00),

.,.Z?<0,c>0,

方法2：f(x)=3OX2+2Z?X+C,

由圖象知當(dāng)xVxi時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)xiVxVX2時(shí)函數(shù)遞減，則/G)對(duì)應(yīng)的圖象開口向上，

則〃>0,且％1+%2=—丁X)且X1X2=丁>0,(。>0),

：.b<0,c>0,

方法3：f(0)=d>0,排除￡),

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，(x)—3a^+2bx+c,

則，(0)=c>0,排除B,C,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)函數(shù)圖象的信息，結(jié)合函數(shù)的極值及/(0)的符號(hào)

是解決本題的關(guān)鍵.

10.設(shè)aWO,若為函數(shù)/(x)—a(%-〃)2(x-Z?)的極大值點(diǎn)，貝!J()

,9

A.a<bB.a>bC.ab<~aD.ab>a

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】分a>0及。<0,結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意，通過圖象發(fā)現(xiàn)。，6的大小關(guān)系，進(jìn)而得出答

案.

【解答】解：令/(無)=0,解得尤=?；蛴?b,即無=。及x=6是/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)/(X)的大致圖象如下圖

所示，

則O〈a〈b；

當(dāng)。<。時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/(尤)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)/(x)的大致圖象如下圖

所示，

則b<a<0；

綜上，ab>(T.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

11.若直線>=丘+6是曲線y=阮什2的切線，也是曲線y=/w(x+1)的切線，則b=1-歷2.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】1-歷2.

【分析】先設(shè)切點(diǎn)，然后利用切點(diǎn)來尋找切線斜率的聯(lián)系，以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，綜合聯(lián)立求解即可

【解答】解：設(shè)y=fcr+b與y=/nx+2和y=/w(x+1)的切點(diǎn)分別為(xi,kxi+b)、(X2,kx2+b)；

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得仁家壺，得處=皿+1

再由切點(diǎn)也在各自的曲線上，可得伊=熏W

ikx2+b=Zn(x2+1)

rk=2

聯(lián)立上述式子解得3；

〔犯=-2

從而to+/?=Znxi+2得出b—\-ln2.

法二：函數(shù)尸阮什2的導(dǎo)函數(shù)為=p函數(shù)尸歷(x+1)的導(dǎo)函數(shù)為y'=備，

設(shè)曲線y=/nx+2和曲線y=/〃(x+1)上的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n,

則該切線方程可以寫為y=五(x-m)+lnm+2,

也可以寫為>=元釘(x-〃)+ln(九+1),

4=—(7nm=-

整理后對(duì)比得］而一帝n,解得］

［Jnm+1=ln(n+1)-n=--

所以b=l-/〃2.

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了方程思想，對(duì)學(xué)生綜合計(jì)算能力有一定要求，中檔題

12.已知函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x,則/(x)的最小值是一^^.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；三角函數(shù)的最值.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；三角函數(shù)的求值.

【答案】一孥.

【分析】由題意可得T=2TT是/(x)的一個(gè)周期，問題轉(zhuǎn)化為/(x)在［0,2TT)上的最小值，求導(dǎo)數(shù)計(jì)

算極值和端點(diǎn)值，比較可得.

【解答】解：由題意可得T=2ir是/(x)=2sinx+sin2x的一個(gè)周期，

故只需考慮，(x)=2sinx+sin2x在［0,2K)上的值域，

先來求該函數(shù)在［0,2TT)上的極值點(diǎn)，

求導(dǎo)數(shù)可得/(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2COS2X-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),

i

令，(x)=0可解得cosx=a或cos%=-1,

可得此時(shí)％=百，互或—;

.1.y=2siiw+sin2x的最小值只能在點(diǎn)x=梟豆或三和邊界點(diǎn)x=0中取到，

計(jì)算可得了(-)=孥，/(7t)=0,f(—)=—孥，f(0)=0,

??.函數(shù)的最小值為-竽，

故答案為：-竽.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題.

13.曲線y=3(/+x)/在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程.

【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】對(duì)y=3(f+x)/求導(dǎo)，可將x=0代入導(dǎo)函數(shù)，求得斜率，即可得到切線方程.

【解答】解：,.3=3(f+x)

；.y=3/(/+3x+l),

當(dāng)x—0時(shí)，y'=3,

；.y=3(x2+無)產(chǎn)在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率左=3,

切線方程為：y=3尤.

故答案為：y=3x.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)上某點(diǎn)的切線方程，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為斜率是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)

題.

14.已知函數(shù)/(x)=尤3-2尤+/-3，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若/Q-l)+f(2a2)W0.則實(shí)數(shù)°的

1

取值范圍是「1，3.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】求出f(X)的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得/(x)在R上遞增；再由奇偶性

的定義，可得了(無)為奇函數(shù)，原不等式即為2/W1-a,運(yùn)用二次不等式的解法即可得到所求范圍.

【解答】解：函數(shù)/(x)=2-2無的導(dǎo)數(shù)為：

f'(x)=3/-2+N+妥——2+2Iex?=0,

可得/(無)在R上遞增；

又/'(-x)+f(x)=(-x)3+2x+ex--Ix+e^-=0,

可得了(尤)為奇函數(shù)，

則/(a-1)+f(2/)WO,

即有/(2a2)W(a-1)

由/'(-Ca-1))=-f(a-1),

f(2a2)W/(1-a),

即有2a2W1-a,

1

解得-IWaS],

1

故答案為：[-1,-].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和定義法，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用

和二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15.曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為x-v+l=O.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求解切線方程即可.

【解答】解：曲線y=/+g可得y=2x—J,

切線的斜率為：左=2-1=1.

切線方程為：y-2=x-1,即：x-y+l=O.

故答案為：x->1=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

三.解答題（共5小題）

16.已知函數(shù)/（x）=—x+alnx.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若/（無）存在兩個(gè)極值點(diǎn)尤1,X2,證明：<?-2.

xr-x2

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

（2）將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/（X）=-4-1+?=-%2-7+1>

X乙xX乙

設(shè)g（X）=/-1,

當(dāng)aWO時(shí)，g（無）>0恒成立，即,（無）<0恒成立，此時(shí)函數(shù)/（%）在（0,+8）上是減函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí)，判別式A—a2-4,

①當(dāng)0<aW2時(shí)，AWO,即g（x）20,即/（無）W0恒成立，此時(shí)函數(shù)/（無）在（0,+8）上是減

函數(shù)，

②當(dāng)a>2時(shí)，%,/（尤），f（x）的變化如下表：

Xa-Va2-4a-Va2-4a-Va2-4a+Va2-4a+Va2-4

(0---------)(--------,---------(，+

22222

a+Va2-4oo)

2

f'（X）-0+0-

f(x)遞減遞增遞減

綜上當(dāng)時(shí)，f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

當(dāng)a>2時(shí)，在(0,J)和(a+Vq2-4,+8)上是減函數(shù)，

22

a—Va2—4a+Va2—4

則(--------，---------)上是增函數(shù).

22

(2)由(1)知〃>2,不妨設(shè)X1〈X2,則0Vxi〈lVx2,XLX2=1,

則/(xi)-f(x2)=(x2-xi)(H-----)+a(bm-bm)=2(%2-xi)+〃Clnxi-lnx2),

xlx2

.1/(xi)-/(x2)c?a(Znx-Znx)

則m=—2H----------1--------2--，

x±-x2巧_%2

則問題轉(zhuǎn)為證明處1二”這VI即可，

Xr-x2

即證明lnx\-lnx2>x\-X2,

1i

則Inxi-In—>x\-----,

xr

1

BPlnxi+lnxi>xi-----，

X1

i

即證2歷xi>xi-----在(0,1)上恒成立，

X1

1

設(shè)/?(x)=2lnx-x+^,(0<x<l),其中力(1)=0,

求導(dǎo)得〃⑴=2-1—=一.它+1=—魚簍<o.

X**X乙

則/7(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，

1

：'h⑴>h⑴，即2仆x+L

1

故21nx>x—，

x

口，(右)一/(第2)1c寸一

則-----------<a-2成乂.

Xi-%2

,11

(2)另解：注意到/(嚏)=x---alnx=-f(x),

1

即/(x)+f(-)=0,

不妨設(shè)X\<X2,

、1

由韋達(dá)定理得XLX2=1,Xl+X2=a>l,得0<%l〈lVx2,xi=—，

x2

1

可得了(%2)+/(一)=0,即/(XI)4/(X2)=0,

要證"3'2)Va-2,只要證,J、衛(wèi)Vaf

Xl-%2Xr-X2

即證2alnx2-0X2+—<0,(X2>1),

x2

ax

構(gòu)造函數(shù)力(x)=2alnx-ax+-,(x>l),h'(x)=^<Q>

xx乙

:?h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

：?h(x)<h(1)=0,

.??2〃/〃x-<0成立，BP2alnx2-axi+—<0,(X2>1)成立.

日"01)-/(久2),.十一

即-----------<a-2成工.

Xr-x2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)與不等式的綜合，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

用是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，難度較大.

17.已知函數(shù)/(x)=(尤+1)Inx-a(x-1).

(I)當(dāng)。=4時(shí)，求曲線y=/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

(II)若當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，f(x)>0,求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(/)當(dāng)。=4時(shí)，求出曲線y=f(x)在(1,/(D)處的切線的斜率，即可求出切線方程；

(〃)先求出，(x)>f'(1)=2-a,再結(jié)合條件，分類討論，即可求。的取值范圍.

【解答】解：⑺當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=(x+1)Inx-4(x-1).

f(1)=0,即點(diǎn)為(1,0),

1

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)—lnx+(%+1),--4,

則，(1)=加1+2-4=2-4=-2,

即函數(shù)的切線斜率左=f(1)=-2,

則曲線y=/(x)在(1,0)處的切線方程為y=-2(x-1)=-2x+2；

(〃)(x)=(x+1)Inx-a(x-1),

.1

.'.f(x)=H---\-lnx-a,

Jx

"(x)=9，

Vx>l,：.f"(x)>0,

：.f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

：.f'(x)>f(1)=2-a.

①aW2,f'(x)>f'(1)20,

：.f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

：.f(x)>/(1)=0,滿足題意；

②a>2,存在xo€(1,+8),f(xo)=0,函數(shù)/'(x)在(1,xo)上單調(diào)遞減，在(無o,+°°)上單

調(diào)遞增，

由/(I)=0,可得存在xoE(1,+8),f(xo)<0,不合題意.

綜上所述，〃W2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考

查參數(shù)范圍的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度.

18.已知函數(shù)/(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)％=2是/(x)的極值點(diǎn)，求〃，并求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)aN的寸，/(無)20.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)推導(dǎo)出尤〉0,(x)由x=2是/(X)的極值點(diǎn)，解得。=5，從而"X)=表產(chǎn)

-lnx-1,進(jìn)而/(x)=^ex-p由此能求出了(無)的單調(diào)區(qū)間.

(2)法一：當(dāng)a>工時(shí)，f(x)>--Inx-1,設(shè)g(x)=--Inx-1,x>0,則gz(x)=-——,由此

利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)。2：時(shí)，f(x)》0.

法二：f(x)三0,即aN伍:qI,x>0,令g(x)=x>0,則g'(久)=彳,利用導(dǎo)數(shù)性

質(zhì)得g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，g(x)Wg(1)=1,由此能證明當(dāng)寸，

f(x)20.

法三：當(dāng)〃之?時(shí)，f(x)>--Inx-1,即只需證明~一"％-1之0,再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

eJee

研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【解答】解：(1);?函數(shù)/(%)=ae)c-Inx-\.

.*.x>0,f(x)=aeK——,

Jx

,?"=2是/(%)的極值點(diǎn)，

**?f'(2)—ci^—?1=0,解得°?，

zZe乙

i11

(x)=^^/-/依-1,:?f(x)—彳

當(dāng)0VxV2時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0,

：.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+8).

(2)證法一：當(dāng)a>、時(shí)，f(x)>3—Inx-1,

設(shè)g(x)=3—Inx-1,x>0,則g，(%)=:一

pX1

由g/(%)="一]=。，得了=1，

當(dāng)OVxVl時(shí)，g'(x)<0,

當(dāng)x>l時(shí),gf(x)>0,

???%=1是g(x)的最小值點(diǎn)，

故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)2g(1)=0,

當(dāng)a>工時(shí)，f(x)=aex-lnx-120.

證法二：)?函數(shù)/(x)—a^-Inx-1,/./(x)20,即〃之>[Lx>0,

1

令g(x)=x>0,則g/(%)=^~—,x>0,.'.gr(1)=0,

,1

當(dāng)OVxVl時(shí)，一―1>0,-lnx>0,g'(x)>0,

x

1

當(dāng)x>l時(shí)，―一1V0,-lnx<Og'(x)<0,

xf

：.g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，

1

g(冗)Wg⑴="，

1

a>.,?〃2g(x).

i

???當(dāng)〃之？時(shí)，/(x)20.

1xex

證法三：當(dāng)一時(shí)，f(x)>P-----Inx—1,即只需證明——Inx—1>0,

eeQ

ex

由于——Inx—1>0,

e

則"2elnexox/2exlnex^xe^2elnexlnex,

令g(x)=xe,c,

則g(%)(x+1)>0,即g(x)為增函數(shù),

又易證x^lnex=lnx+l,

故g(x)2gQlnex),即成立，

故當(dāng)QN：時(shí)，f(x)20.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力，是中

檔題.

19.設(shè)函數(shù)/數(shù))=(1-/)?/.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)尤20時(shí)，f(x)Wax+1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】(1)/(%)在(-8,-1-V2),(-1+V2,+8)上單調(diào)遞減，在(-1一夜，-1+V2)上

單調(diào)遞增；

(2)a的取值范圍是［1,+8).

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)化簡/(%)=(1-x)(1+x)F.f(x)Wax+1,下面對(duì)a的范圍進(jìn)行討論：

①當(dāng)a'l時(shí)，②當(dāng)0<a<l時(shí)，設(shè)函數(shù)g(無)=/-x-1,則g'(無)=，-1>0(尤>0),推出結(jié)論；

③當(dāng)aWO時(shí)，推出結(jié)果，然后得到。的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)?(x)=(1-?)",xER,

所以/(x)=(1-2x-x2)ex,

令f(無)=0可知x=-l±&,

當(dāng)x<-1—/或無>-1+四時(shí)，(無)<0,當(dāng)-1—-1+或時(shí)/(無)>0,

所以/(X)在(-8,-1-V2),(-1+V2,+8)上單調(diào)遞減，在(-1-V2,-1+V2)上單調(diào)遞增；

(2)由題可知無)=(1-x)(1+x)下面對(duì)。的范圍進(jìn)行討論：

①當(dāng)心1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)-則h'(x)=-無"<0(x>0),

因此，7(X)在［0,+8)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(0)=1,所以(x)W1,

所以/(無)=(1+x)h(尤)Wx+lWax+l；

②當(dāng)0<a<l時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)-x-1,則g'(無)=，-1>0(x>0),

所以g(無)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(0)=1-0-1=0,

所以.

因?yàn)楫?dāng)0<x<l時(shí)/(x)>(1-X)(1+x)2,

所以(1-x)(1+x)2-ax-l=x(1-a-x-/),

取xo=---—e(0,1),貝！(1-xo)(1+xo)2-axo-1=0,

所以/'(xo)>axo+l,矛盾；

yrF_

③當(dāng)aWO時(shí)，取xo=—2—1G(0,I),則/(xo)>(1-xo)(1+xo)2=l^axo+l,矛盾；

綜上所述，a的取值范圍是［1,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能

力.

20.已知函數(shù)/(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)求出了(無)的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)介0時(shí)，“V—1時(shí)，a-一］時(shí)，—提<a<0,由導(dǎo)數(shù)大于0,

可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間；

(II)由(I)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)。討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到所求范圍.

【解答】解:(I)由/(無)=(x-2)e^+a(x-1)2,

可得，(x)=(x-1)(x-1)=(x-1)(/+2〃)，

①當(dāng)〃20時(shí)，由/(x)>0,可得x>l；由/(x)<0,可得xVl,

即有了(X)在(-8,1)遞減；在(1,4-00)遞增(如右上圖)；

②當(dāng)。<0時(shí)，(如右下圖)，

由炭+2a=0,可得了=/〃(-2〃)，

由方(-2〃)=1,解得a=—

若〃=一?則/(x)20恒成立，即有/(x)在R上遞增；

若1時(shí)，由/(%)>0,可得或x>/〃(-2〃)；

由(無)<0,可得1<尤</”(-2a).

即有/(x)在(-oo,1),(/?(-2a),+oo)遞增；

在(1,I