北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（）A. B.C. D.2．已知直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.43．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．有7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，預(yù)賽成績(jī)各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績(jī)的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差5．已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.6．設(shè)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角是（）A. B.C. D.7．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C對(duì)任意， D.對(duì)任意，8．已知橢圓和雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.39．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱(chēng)為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.60110．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．某地為響應(yīng)總書(shū)記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線(xiàn)距離約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米12．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若與垂直，則___________.14．若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則m的值為_(kāi)__________.15．如圖：二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，則的長(zhǎng)等于__________.16．若，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo)．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為（1）求向量在基底下的坐標(biāo)；（2）求向量在基底下的模18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知命題：方程有實(shí)數(shù)解，命題：，.（1）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與交于點(diǎn)P（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）21．（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)向量共面基本定理只需無(wú)解即可滿(mǎn)足構(gòu)成空間向量基底，據(jù)此檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以A中的向量不能與，構(gòu)成基底；因?yàn)?，所以B中的向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，此方程組無(wú)解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構(gòu)成基底.故選：D2、A【解析】由直線(xiàn)與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A3、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A4、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績(jī)排序7選3，即可知還需明確的成績(jī)數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，要取前3名參加決賽，則成績(jī)從高到低排列，確定7名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，即第3名的成績(jī)便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.5、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D6、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，故所求切線(xiàn)的傾斜角為.故選：C7、D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.8、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡(jiǎn)得，兩邊同除以，得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點(diǎn)三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.9、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿(mǎn)足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B10、C【解析】先把拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求解【詳解】由，有，可得，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C11、C【解析】應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線(xiàn)距離.【詳解】由題設(shè)，，在△中，，即，所以米.故選：C12、A【解析】根據(jù)題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谌忮F中，，所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.14、【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】由，，三點(diǎn)共線(xiàn)，可知所在的直線(xiàn)與所在的直線(xiàn)平行，又，由已知可得，解得故答案為：15、【解析】由題意，二面角等于，根據(jù)，結(jié)合向量的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，，因?yàn)椋傻?所以.故答案為：16、2【解析】首先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)為，得出向量在基底下的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)直接計(jì)算模即可【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫伦鴺?biāo)為，則，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，所以向量在基底下的模為.18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫(xiě)，作差即可得到的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列加上一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，化簡(jiǎn)得，∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，∴，∴，∴19、（1）或；（2）【解析】（1）由方程有實(shí)數(shù)根則，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)為真命題,即從而得出的取值范圍,由（1）可得出為假命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.即可得出答案.【詳解】解：（1）方程有實(shí)數(shù)解得，，解之得或；（2）為假命題，則，為真命題時(shí)，，，則故.故為假命題且為真命題時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查命題為真時(shí)求參數(shù)的范圍和兩個(gè)命題同時(shí)滿(mǎn)足條件時(shí)，求參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，，，，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消元、列出韋達(dá)定理，則，代入韋達(dá)定理，即可求出面積最小值；【小問(wèn)1詳解】解：由已知可得，，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線(xiàn)的距離，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以點(diǎn)的軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即面積的最小值為；21、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問(wèn)2詳解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間（?1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性，求出極大值和極小值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小即可得到答案【小問(wèn)1詳解