湖北省華大新2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

湖北省華大新2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的為A若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n2．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.84．已知實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或5．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.7．?dāng)?shù)列滿足，對任意，都有，則（）A. B.C. D.8．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.29．曲線y＝lnx在點M處的切線過原點，則該切線的斜率為（）A.1 B.eC.－1 D.10．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心11．求點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的范圍為___________14．已知曲線在點處的切線與曲線相切，則______.15．拋物線的焦點坐標(biāo)為__________16．已知隨機變量，且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)2021年年初有資金5千萬元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達(dá)到．每年年底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產(chǎn)．設(shè)從2021年的年底起，每年年底企業(yè)扣除消費基金后的剩余資金依次為，，，…（1）寫出，，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）至少到哪一年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元？（lg18．（12分）某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關(guān)系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過點.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由.20．（12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，O為線段BD中點，是邊長為1正三角形，且OA⊥BC，AB=AD（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若|OA|=1，，求平面BCE與平面BCD的夾角的余弦值21．（12分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)時，，求的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間線面、面面的平行，垂直關(guān)系，結(jié)合線面、面面的平行，垂直的判定定理、性質(zhì)定理解決【詳解】∵α⊥γ，β⊥γ，α與β的位置關(guān)系是相交或平行，故A不正確；∵m∥α，m∥β，α與β的位置關(guān)系是相交或平行，故B不正確；∵m∥α，n∥α，m與n的位置關(guān)系是相交、平行或異面∴故C不正確；∵垂直于同一平面的兩條直線平行，∴D正確；故答案D【點睛】本題考查線面平行關(guān)系判定，要注意直線、平面的不確定情況2、C【解析】函數(shù)有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3、D【解析】使用遞推公式逐個求解，直到求出即可.【詳解】因為所以，，，.故選：D4、C【解析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計算公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為實數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時，表示焦點在軸上的橢圓，此時；當(dāng)時，表示焦點在軸上的雙曲線，此時.故選：C.5、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.6、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以又，所以.故選：D.7、C【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點睛】本題考查累加法求數(shù)列通項，考查利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于常考題.8、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.9、D【解析】設(shè)出點坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點坐標(biāo)并求得切線的斜率.【詳解】設(shè)切點為，，故在點的切線的斜率為，所以，所以切點為，切線的斜率為.故選：D10、B【解析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等。【詳解】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：B11、D【解析】根據(jù)點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點特征，直接寫出即可.【詳解】A點關(guān)于x軸對稱點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)為原坐標(biāo)的相反數(shù)，故點的坐標(biāo)為，故選：D12、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】參變分離后研究函數(shù)單調(diào)性及極值，結(jié)合與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值大小關(guān)系求出實數(shù)a的范圍.【詳解】整理為：，即函數(shù)在上方及線上存在兩個整數(shù)點，，故顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值為：，，，，顯然有，要恰有兩個整數(shù)點，則為0和1，此時，解得：，如圖故答案為：14、2或10【解析】求出在處的導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，與聯(lián)立，利用可求.【詳解】令，，則，，可得曲線在點處的切線方程為.聯(lián)立，得，，解得或.故答案為：2或10.15、【解析】化成標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合焦點定義即可求解.【詳解】由，得，故拋物線的焦點坐標(biāo)為故答案為：16、【解析】根據(jù)二項分布的均值與方差的關(guān)系求得,再根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】,所以,又因為,所以故答案為：12【點睛】本題主要考查了二項分布的均值與方差的計算,同時也考查了方差的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，證明見解析（2）至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元【解析】（1）由題意可知，，，，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解（2）由（1）知，，則，令，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)運算，即可求解【小問1詳解】依題意知，，，,,所以,又，所以是首項為3，公比為1.5的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，所以令，解得，所以，所以至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元18、（1）；（2）估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2025屆.【解析】（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；（2）代入，可估計2021年的營業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應(yīng)的t的值為121，營業(yè)收入，所以估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為，所以估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號為14，即2025屆.19、（1）；（2）存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過的點列式計算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB，設(shè)出其方程，借助弦長公式計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，，解得：，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設(shè)直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，設(shè)，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時，直線AB的方程為：或.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可得OA⊥平面BCD，從而可證明.（2）作OF⊥BD交BC于點F，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)F，OD，OA所在直線軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法可求解.【小問1詳解】因為AB=AD，O為BD中點，所以O(shè)A⊥BD因為OA⊥BC，且BD，BC平面BCD，BD∩BC=B，所以O(shè)A⊥平面BCD又因為OA平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD【小問2詳解】作OF⊥BD交BC于點F，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)F，OD，OA所在直線軸建立空間直角坐標(biāo)系因為三角形OCD為邊長為1的正三角形，且OA=OB=1，DE=2AE所以A(0，0，1)，B(0，－1，0)，設(shè)平面EBC的法向量為=()因為⊥BE，⊥BC，所以令，則，，所以已知平面BCD的法向量所以所以平面EBC與平面BCD的夾角的余弦值為21、（1）（2）【解析】（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對實數(shù)分類討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（I）定義域為.當(dāng)時，，曲線在處的切線方程為（II）當(dāng)時，等價于設(shè)，則，（i）當(dāng)，時，，故在上單調(diào)遞增，因此；（ii）當(dāng)時，令得.由和得，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性