河北省望都中學2025屆高二上數學期末質量檢測試題含解析

河北省望都中學2025屆高二上數學期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.252．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.相交C.外切 D.相離3．若函數單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.4．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.6．過拋物線（）的焦點作斜率大于的直線交拋物線于，兩點（在的上方），且與準線交于點，若，則A. B.C. D.7．已知，，，則點C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.8．已知橢圓的上下頂點分別為，一束光線從橢圓左焦點射出，經過反射后與橢圓交于點，則直線的斜率為（）A. B.C. D.9．將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.10．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A. B.C. D.11．若拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則點P到拋物線的焦點F的距離為（）A.4 B.5C.6 D.712．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）.A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的右頂點為，為上一點，則的最大值為______.14．如圖三角形數陣：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的順序，位于第行的第列，則______.15．已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.16．四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，側面ABE⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝4（I）證明：AB⊥面BCDE；（II）若AD＝2，求二面角C－AD－E的正弦值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設命題方程表示中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線；命題，，若“”為假命題，“”為真命題，求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）設x=2是函數f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區(qū)間；（2）證明：當時，.19．（12分）某城鎮(zhèn)為推進生態(tài)城鎮(zhèn)建設，對城鎮(zhèn)的生態(tài)環(huán)境、市容市貌等方面進行了全面治理，為了解城鎮(zhèn)居民對治理情況的評價和建議，現隨機抽取了200名居民進行問卷并評分（滿分100分），將評分結果制成如下頻率分布直方圖，已知圖中a，b，c成等比數列，且公比為2（1）求圖中a，b，c的值，并估計評分的均值（各段分數用該段中點值作代表）；（2）根據統計數據，在評分為“50～60”和“80～90”的居民中用分層抽樣的方法抽取了6個居民．若從這6個居民中隨機選擇2個參加座談，求所抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.21．（12分）p：函數在區(qū)間是遞增的；q：方程有實數解.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若“”為真，“”為假，求m的取值范圍.22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A2、C【解析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標準方程為：，所以圓心坐標為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以兩圓相外切故選：C3、D【解析】根據函數的單調性，可知其導數在R上恒成立，分離參數，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當時，取最小值-1，故，故選：D4、D【解析】根據給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D5、D【解析】利用不等式的性質分析判斷每個選項.【詳解】由不等式的性質可知，因為，所以，，故A錯誤，D正確；由，可得，，故B，C錯誤.故選：D6、A【解析】分別過作準線的垂線，垂足分別為，設，則，，故選A.7、D【解析】應用空間向量的坐標運算求在上投影長及的模長，再應用勾股定理求點C到直線AB的距離.【詳解】因為，，所以設點C到直線AB的距離為d，則故選：D8、B【解析】根據給定條件借助橢圓的光學性質求出直線AD的方程，進而求出點D的坐標計算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點，下頂點，左焦點，右焦點，由橢圓的光學性質知，反射光線AD必過右焦點，于是得直線AD的方程為：，由得點，則有，所以直線的斜率為.故選：B9、A【解析】根據三角函數圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A10、C【解析】根據橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據橢圓的定義，所以.故選：C11、A【解析】根據拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，得到點P(3，±2)，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，∵拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點P到拋物線的準線的距離為3+1=4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.故選：A.12、B【解析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，充分必要條件，重點考查計算，理解能力，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出點P的坐標，利用兩點間距離公式建立函數關系，借助二次函數計算最值作答.【詳解】橢圓的右頂點為，設點，則，即，且，于是得，因，則當時，，所以的最大值為.故答案為：14、【解析】由題意可知到第行結束一共有個數字，由此可知在第行；又由圖可知，奇數行從左到右是從小到大排列，偶數行從左到右是從大到小排列，第行個數字從大到小排列，由此可知在到數第列，據此即可求出，進而求出結果.【詳解】由圖可知，第1行有1個數字，第2行有2個數字，第2行有3個數字，……第行有個數字，由此規(guī)律可知，到第行結束一共有個數字；又當時，，所以第行結束一共有個數字；當時，，所以在第行，故；由圖可知，奇數行從左到右是從小到大排列，偶數行從左到右是從大到小排列，第行是偶數行，共個數字，從大到小排列，所以在倒數第列，所以，所以.故答案為：.15、【解析】計算點漸近線的距離，從而得，由勾股定理計算，由雙曲線定義列式，從而計算得，即可計算出離心率.【詳解】設雙曲線右焦點為，因為的中點在雙曲線的漸近線上，由可知，，因為為中點，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)16、(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）推導出BE⊥BC，從而BE⊥平面ABC，進而BE⊥AB，由面ABE⊥面BCDE，得AB⊥BC，由此能證明AB⊥面BCDE（Ⅱ）以B為原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AD﹣E的正弦值【詳解】由側面底面，且交線為，底面為矩形所以平面，又平面，所以由面面，同理可證，又面在底面中，，由面，故,以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則,設平面的法向量，則，取所以平面的法向量，同理可求得平面的法向量.設二面角的平面角為，則故所求二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】求出當命題、分別為真命題時實數的取值范圍，分析可知、中一真一假，分真假、假真兩種情況討論，求出對應的實數的取值范圍，綜合可得結果.【詳解】解：若為真命題，則，即，解得，若為真命題，則，解得，因為“”為假命題，“”為真命題，則、中一真一假，若真假，則，可得，若假真，則，此時.綜上所述，實數的范圍為.18、（1），的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函數的定義域與導函數，依題意可得，即可求出參數的值，再根據導函數與函數的單調性的關系求出函數的單調區(qū)間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導數說明其單調性，即可得解；【詳解】解：（1）因為，定義域為，所以，因為是函數的極值點，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以在上單調遞減，當時，，即，所以上單調遞增，綜上可得的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因為，所以即證，令，則，所以當時，，當時，所以，所以，所以當時，19、（1），，，均值為65.6（2）【解析】（1）根據a，b，c成等比數列且公比為2，得到a，b，c的關系，利用頻率之和為1，求出a，b，c，估計評分的均值；（2）利用列舉法得到基本事件，求出相應的概率.【小問1詳解】由題意得，，，有，所以，即，解得，于是，評分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分別為0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，則均分估計值為【小問2詳解】評分在“50～60”和“80～90”分別有40人和20人則所抽取的6個居民中，評分在“80～90”一組有2人，記為A1，A2，評分在“50～60”一組4人，記為B1，B2，B3，B4從這6人中選取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15個其中至少有1個評分在“80～90”的基本事件有9個則所求的概率，即抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率為20、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據題意建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.【小問1詳解】連接，交于點，則為中點，因為，于，則為中點，連接，則，又因為平面，平面,所以平面；【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，由可得，令，得，即，易知平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，，則平面與平面所成角的余弦值為.21、（1）（2）或【解析】（1）依題意在區(qū)間上恒成立，參變分離可得在區(qū)間上恒成立，再利用基本不等式計算可得；（2）首先求出命題為真時參數的取值范圍，再根據“”為真，“”為假，即可得到真假，或假真，從而得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：為真命題，即函數在區(qū)間上是遞增的∴在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上恒成立，∵，當且僅當時等號成立，∴的取值范圍為.【小問2詳解】解：為真命題，即方程有實數解∴即