2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

■課程標(biāo)準(zhǔn)

1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.

2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實(shí)際意義.

L知識(shí)?逐點(diǎn)夯實(shí)口--必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)-1課前自修

I_________________________________________________________________________________________________

知識(shí)梳理

L函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)性的定義

要求Xl,X2一般地，設(shè)函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I^D,如果VXI,X2",當(dāng)XI<X2時(shí)

要求“尤1)與

都有.〃尤1)</(X2)都有了(XI)>〃X2)

定

義函數(shù)/(X)在區(qū)間/上單調(diào)遞增；若函數(shù)〃X)在區(qū)間/上單調(diào)遞減；若函

結(jié)論函數(shù)/(x)在定義域D上單調(diào)遞增，貝廳數(shù)〃無)在定義域D上單調(diào)遞減，貝廳(x)

(x)為增函數(shù)為減函數(shù)

圖象描述

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上升的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)尸/(x)在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=/(x)在

這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間/叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

提醒(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域；(2)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為與

“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，顯然

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?。，如果存在?shí)數(shù)M滿足

.一,①都有了(X)WM；①Vxez),者陌f(x)；

條件----------------------

八但三尤oGD,使得/(xo)使得f(xo)=M

結(jié)論M是函數(shù)y=f(X)的最大值M是函數(shù)y=f(x)的最小值

提醒(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得；

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.

對(duì)點(diǎn)自測

1.判斷正誤.(正確的畫7；錯(cuò)誤的畫“x”)

(1)函數(shù)y=：在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.(x)

(2)對(duì)于函數(shù)y=/(無)，若〃1)<〃3)，則〃x)為增函數(shù).(X)

(3)若函數(shù)〃尤)在區(qū)間(1,2］和(2,3)上均單調(diào)遞增，則函數(shù)〃x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增.

(X)

2.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A/(x)=-xB./(x)=(|)%

C./(無)=/D.f(x)=V%

解析：D取制=-1,無2=0,對(duì)于A項(xiàng)有f(xi)=1,f(X2)=0,所以A項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B項(xiàng)有f(xi)

=|,/(X2)=1,所以B項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C項(xiàng)有/(xi)=1,/(忿)=0,所以C項(xiàng)不符合題意.故選D.

3.已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.［-1,2］U［4,5］

B.〔-1,2］和［4,5］

C.［-3,-1］U［2,4］

D.［-3,-1］和［2,4］

解析：B由圖象知，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-1,2］和［4,5］,故選B.

4.函數(shù)y=.在［2,3］上的最小值為（）

X-1

A.2B.-

121

C.-D.--

32

解析：B因?yàn)閥=」在［2,3］上單調(diào)遞減，所以>min=」="故選B.

5.函數(shù)/（無）=1的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,-1）.

lx2-2x-3

解析：由f-2x-3>0得T或x>3,故/（x）的定義域?yàn)椋?8,-1）U（3,+°°）,函數(shù)/（x）

=11,可看作y=］,/=/-2無-3復(fù)合而成，而單調(diào)遞減，要求/（x）=」】?的單調(diào)遞增區(qū)間,只

lx2-2X-377Jx2-2x-3

需求f=/-2x-3的單調(diào)遞減區(qū)間，由函數(shù)y=/-2x-3在（-8,-1）上單調(diào)遞減，故/（無）的單調(diào)遞增區(qū)間

是（-8,-1）.

/常用結(jié)如

L若函數(shù)〃X）,g（X）在區(qū)間/上具有單調(diào)性，則在區(qū)間/上具有以下性質(zhì)：

（1）當(dāng)/（尤），g（X）都單調(diào)遞增（減）時(shí)，/（無）+g（X）單調(diào)遞增（減）；

（2）若左>0,則V（x）與單調(diào)性相同；若左<0,則子（x）與/（x）單調(diào)性相反;

（3）函數(shù)y=/（x）（/（x）>0）在公共定義域內(nèi)與y=-〃x）,尸^的單調(diào)性相反.

f（X）

2.函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論

設(shè)Vxi,無2G/（X1WX2）,貝（］：

（1）“為尸八犯）>0（或Gif）/（XI）-〃尤2）］>0）寸（尤）在/上單調(diào)遞增；

-%2

⑺f（"I）<0（或（制72）［/（XI）-/（愈）］<0）弓（尤）在/上單調(diào)遞減

_工2

6應(yīng)用

1.（多選）若函數(shù),g（x）在給定的區(qū)間。上具有單調(diào)性，下列說法正確的是（）

A.函數(shù)〃x）與〃x）-c（c為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性

B.函數(shù)〃x）與c〃x）具有相同的單調(diào)性

C.若/（x）#0,則函數(shù)〃x）與-^具有相反的單調(diào)性

f（x）

D.若函數(shù)/（x）,g（x）在給定的區(qū)間上單調(diào)遞減，則/（x）+g（無）單調(diào)遞減

解析：AD對(duì)于A,根據(jù)圖象進(jìn)行上下平移單調(diào)性不變，可知命題正確；由結(jié)論1可知選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤，D正

確，故選A、D.

2.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)。，be［0,+8）,總有“a）-"->0,則

a-b

滿足了（2x-3）</（1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

解析：由結(jié)論2知，函數(shù)無）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，則在（-8,0］上單調(diào)遞減,

故/（2x-3）</（1）即I2x-3I<1,解得1<x<2,故實(shí)數(shù)尤的取值范圍是（1,2）.

考點(diǎn)?分類突破口-精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通-T課堂演練

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

判斷函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

考點(diǎn)一

（定向精析突破）

考向7判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

【例1】已知。>0,函數(shù)=x+?（x>0），利用定義法證明：函數(shù)在（0,迎］上單調(diào)遞減，在

［6，+8）上單調(diào)遞增.

證明：設(shè)％1>尤2>0,則/（制）-/（X2）=Xl+--X2--=（X1-X2）+a（X2"i）=「LX2）gX2-a）,

X2X1X2Xrx2

因?yàn)閄l>X2>0,所以Xl-X2>0,X1X2>0.

當(dāng)尤i,尬￡（0,時(shí)，0<?X2<a,所以％的-〃<0,所以/（為）-f（X2）<0,即/（為）<f（X2）,

所以/（x）在（0,d石］上單調(diào)遞減；

當(dāng)xi,松仁［A/H,+8）時(shí)，X1X2>a,

所以XlX2-4>0,所以/（為）-f（X2）>0,

即f（xi）>f（X2）,

所以/（X）在［、出，+8）上單調(diào)遞增.

0變式

（變條件，變設(shè)可本例變?yōu)?用定義證明函數(shù)〃x）=3+2在（0,+-）上單調(diào)遞增.

［1e%2-

證明：設(shè)則/（為）-f（X2）=（eX1+—）-（eX2+—）=（eX1-eX2）+———=（eX1-eX2）

，，exiex2exiex2

（11）_（—工2）（門初-1）

xx

e^e2ex±+x2

xxX1+%2

,：0<xi<x2,.,.ei-e2<0,e-1>0,

.*?/（xi）<f（X2）,（x）在（0,+°°）上單調(diào)遞增.

解題技法

定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

提醒判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等.

考向2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

［例2］函數(shù)〃無）=Ix-2I尤的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,1）和（2,+8）.

%2-2%.>2

解析：/（%）={'一'作出了（X）的大致圖象，如圖所示，由圖象知了（%）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-

-X2+2x,x<2.

°°,1）和（2,+°°）.

解題技法

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法

定義法i〔憲至定父裴:苒莉再簞祠可乏文錄褲

④囪豪疏定南酸馬簞病反而籥注毒防K:

圖象法一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集;

二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用

“和”或”連接,不能用“U”連接

導(dǎo)數(shù)法i國府尋藪兩直扇式貧疏乏函裹扇革詞團(tuán)就

?訓(xùn)練

1.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=lnxB./()=ex

C.f(x)=VxD./(x)=-§

解析：B對(duì)于A,/(x)=lnx為對(duì)數(shù)函數(shù)，其底數(shù)e>l,在區(qū)間(0,+-)上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于

B,/(x)=e-為指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)十<1,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，符合題意；對(duì)于C,f(x)=?為嘉

函數(shù)，其指數(shù);>0,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于D,/(X)=-2=二為反比例函數(shù)，在區(qū)

間(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意.故選B.

2.函數(shù)〃尤)=a-x的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(0,1)B.(0,1)

1

C.(-,+°°)D.(1+0°)

4z

解析：A令t=?c,顯然在[0,+8)上為增函數(shù).又y=/--=-G-之)2+]G20)在[o,當(dāng)上單調(diào)遞

增，由《彩得0QW%所以/CO的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,三(也可寫為(0,()).故選A.

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

考點(diǎn)二

(定向精析突破)

考向1利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小

【例3】若〃x)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，對(duì)任意的尤1,X2G[O,+8)且X1#X2,有人口〃二)

次-X1

<。，則()

A./(3)</(1)</(-2)

B./(3)</(-2)</(1)

C./(-2)</(1)</(3)

D./(1)</(-2)</(3)

解析：B?.?對(duì)任意的xi,x2e[0,+8)且xi#x2,有八勾一“一)<0...當(dāng)X2。時(shí),函數(shù)了(尤)單調(diào)遞減，

X2-%1

(3)</(2)</(1),又/G)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，fix)=/(-x),/./(3)</(-2)

“⑴?

解題技法

利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法

比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同

一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，或采用插值法比較大小.

考向2利用單調(diào)性解不等式

【例4】已知函數(shù)〃無)=lnx+2，，若〃次-4)<2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-云,-2)U(2,

小).

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx+2,在定義域(0,十8)上為增函數(shù)，且/(I)=ln1+2=2,所以由/(/一口<2

得，f(a2-4)</(1),所以解得-2或2<a<V5.

解題技法

考向3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(范圍)

尤2-2ax%>]

'—'是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,|].

(ax-1,x<1

(?a<1,

xz-2ax,x>I,

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(是定義在R上的增函數(shù)，所以上>0,解得0<。音?，所以

Iax-1z%<1

tl-2a>a-1z

實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,|].

解題技法

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(范圍)的方法

(1)根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解；

(2)對(duì)于分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.

0訓(xùn)練

L若函數(shù)=I2x+?I的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+8),貝！]0=()

A.-2B.2

C.-6D.6

解析：C易知函數(shù)/(x)=I2x+aI的單調(diào)遞增區(qū)間是[-],+oo),令-]=3,所以a=-6.

2.已知函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù),A(0,-1),B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，則"(尤+1)I<1的解集為一

(-1,2).

解析：由題意可知，/(0)=-1,/(3)=1,因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是R上的增函數(shù)，所以由"(x+1)I<1得-1

</(x+1)<1,即/(0)</(x+1)</(3),因此0<x+l<3,解得-1〈尤<2,即"(x+1)|<1的解集

為(-1,2).

函數(shù)的值域(最值)

考點(diǎn)三

(師生共研過關(guān))

【例6】求下列函數(shù)的最值：

(1)/(x)=磊”[1,4]；

(2)/(x)=2*-Vx2+1.

解：(1)V/(x)=署=三三=2-京，天￡[1，4],???/(x)在[1,4]上單調(diào)遞增，，函數(shù)的最小值為f(l)

=也最大值為f(4)=*

(2)令A(yù)/%2+1=八則/=於-1,

：.y=2(?-1)7=2及T-2(后1).

Vy=2/2-t-2(r^l)的圖象的對(duì)稱軸為直線.?.當(dāng)時(shí)，y=2產(chǎn)T-2的圖象是上升的，；.如加=2義12-

1-2=-1,.,.函數(shù)/(x)的最小值為-1,無最大值.

解題技法

求函數(shù)最值(值域)的五種常用方法

(1)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；

(2)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；

(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值；

(4)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；

(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

提醒(1)求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域；

(2)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分

段函數(shù)的最小值.

0訓(xùn)練

1?函數(shù)產(chǎn)器的值域是2+8)，

解析：尸施=4^^近不還+尋運(yùn)

令t=7\+%2,則y=f+：N2jT^=2(當(dāng)且僅當(dāng)f=1,即/'=1,x=0時(shí)，取等號(hào))，因此函數(shù)的最小值

為2,無最大值.即函數(shù)的值域是［2,+8).

-x>1

2.函數(shù)/(無)=■“'一’的最大值為2.

、-久2+2,久<1

1rX>1,

解析：作出函數(shù)/(無)=?x'的圖象(如圖所示)，由函數(shù)圖象可知，f(x)max=Z(O)=2.

-x2+2,x<1

尸課時(shí)?跟蹤檢測口素養(yǎng)重提升■I課后練習(xí)

A級(jí)?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)〃尤)=工在()

1-X

A.(-8,1)U(1,+8)上單調(diào)遞增

B.(-,1)U(1,+°°)上單調(diào)遞減

C.(-8,1)和(1,+8)上單調(diào)遞增

D.(-8,1)和(1,+8)上單調(diào)遞減

解析：C函數(shù)無)的定義域?yàn)閧xIxWl},/(x)-1,根據(jù)函數(shù)y=-二的單調(diào)性及有關(guān)性質(zhì)，可知

1-X1-XX

f(X)在(-8,1)和(1,+8)上單調(diào)遞增.

2.(2024?黃岡中學(xué)一模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X),Vxi,尤2^R,Xi<X2,都有(XI-X2)[/(X1)-/(%2)]

<0,則()

A./(3)<〃兀)</(2)B./(兀)</(3)<〃2)

C./(2)</(7r)</(3)D./(TT)</(2)</(3)

解析：B易知f(x)是R上的減函數(shù)，又無>3>2,故/(無)</(3)</(2).

3.若函數(shù)〃x)=短，則〃x)的值域?yàn)?)

A.(-8,3]B.(2,3)

C.(2,3]D.[3,+8)

22

解析：Cf(x)=Y^T=2+^,=X》。，.\X+1^1).,.OcWwi,：.f(x)e(2,3].

2X,x>0

'一X'若/(a)<7(6-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

{-(f),%<0,

()

A.(-3,+8)B.(-8,-3)

C.(3,+8)D.(-8,3)

解析：D顯然尤)在R上為增函數(shù)，故/'(a)<f(6-a)可化為a<6-a,解得a<3.故選D.

5.設(shè)函數(shù)〃x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.y=^^在R上為減函數(shù)

'17(x)1

B.y=lf(x)I在R上為增函數(shù)

C.尸--在R上為增函數(shù)

f(X、

D.y=-〃x)在R上為減函數(shù)

解析：D對(duì)于A,若/(x)=x,貝!|y=--—=」一，在R上不是減函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于B,若/(x)=x,貝！I

I/(x)|Ix|

y="(x)I=IxI,在R上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若/(無)=x,則y=-^=-3在R上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于D,函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù)，

f(%)X

則對(duì)于任意的Xl,X2^R,設(shè)Xl<X2,必有f(X1)<f(%2),對(duì)于y=-/(x),則有％->2=[-/(Xl)]-[-/

(X2)]=f(X2)-/(X1)>0,則y=-/(x)在R上為減函數(shù)，正確.故選D.

6.(多選)已知函數(shù)〃x)滿足/G)=第，則關(guān)于函數(shù)〃無)的說法中正確的是()

A〃無)的定義域?yàn)閧尤1x^-1}

B〃x)的值域?yàn)閧yI產(chǎn)1,且y￥2}

C〃尤)在(0,+8)上單調(diào)遞減

D.不等式/(x)>2的解集為(-1,0)

解析：BCD由于/(工)==?=-I，故/G)===1+」7(%/0且-1),所以/(九)的定義域?yàn)?/p>

XX?11+—XXri.Xi1

{xI-1,且xWO},作出其圖象(圖象略)，由圖象知，f(x)的值域?yàn)閧yIyWl,且yW2}；/(x)在(0,

+8)上單調(diào)遞減；f3>2的解集為(-1,0).故選B、C、D.

7.已知一次函數(shù)/(x)=(4a-2)x+3在[-2,1]上的最大值為9,則實(shí)數(shù)a的值為2或-：.

4a-2>0,(a>-,

2則a=2；當(dāng)4a-2<0時(shí)，/

{4a+1=9,(a=2,

4a-2<01

(x)在[-2,1]上單調(diào)遞減，.?.{r則〃=--.1綜上所述，a=2或〃

、-2(4a-2)+3=9,(a=-1,

8.(2024.重慶一模)函數(shù)〃無)-6IxI+8的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,-3],[0,3].

(

%2-6%+8%>0

解析：由題意得函數(shù)/(X)={'-'當(dāng)尤20時(shí)，函數(shù)/(x)=r-6x+8的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,

#+6x+8,%<0,

3],當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)/(x)=W+6x+8的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-3],綜上，函數(shù)了(尤)

為2-6%+8支>0

=-'—'的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-3],[0,3].

x2+6x+8,%<0

(%+-2-3%>]

9.已知函數(shù)/'(x)={*'—'則咒八-3)]=0,f(x)的最小值是2--3.

Jg(x2+l),x<1,

解析：(-3)=lg[(-3)2+l]=lg10=1,：.f[f(-3)]=/(1)=0.當(dāng)尤21時(shí)，f(x)=x+|-3N2夜-

3,當(dāng)且僅當(dāng)彳=夜時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)/(尤)min=2迎-3<0；當(dāng)x<l時(shí)，/(尤)=lg(f+1)》lgl=0,當(dāng)且僅

當(dāng)X=0時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)/(x)min=0"?函數(shù)/(X)的最小值為2e-3.

1。.已知函數(shù)/(x)=尤Ix-4I.

(1)把〃龍)寫成分段函數(shù)，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)〃x)的大致圖象；

(2)寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

X2-4x,x>4,

(4x-x2,x<4,

函數(shù)圖象如圖所示.

(2)由(1)中函數(shù)的圖象可知，函數(shù)/(無)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,4).

B級(jí)?綜合應(yīng)用

-%2_|_4%.v4

11.設(shè)函數(shù)/(x)='—'若函數(shù)〃尤)在區(qū)間(。，。+1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—

log2x,%>4.

(-8,I]U[4,+8).

解析：函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，由圖象可知/(X)在(〃，〃+1)上單調(diào)遞增，需滿足或〃+lW2,即

或a24.

/(%)=log2%(%>4)

24%

/(%)=-%2+4x

(%W4)

12.能使“函數(shù)〃x)=xIx-1I在區(qū)間/上不是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間/上的函數(shù)值的集合為[0,2]”是真命題的

一個(gè)區(qū)間/為田，2](答案不唯一)__________.

解析：當(dāng)入21時(shí)，f(x)=X(X-1)=f-X；當(dāng)X<1時(shí)，/(x)=X(1-X)=-x2+x,.*./(x)在(-00,0,

(I,+8)上單調(diào)遞增，在Q,1)上單調(diào)遞減.令/(x)=0,解得x=l或x=0；令/(x)=2,解得x=2,?,?只

需/=[〃，2],0<〃<1或/=(。，2],OW》<1時(shí)，/(%)在/上不單調(diào)且函數(shù)值的集合為[0,2],

13.已知/(x)(x乎a).

x-a

(1)若。=-2,試證明〃x)在(-8,-2)上單調(diào)遞增；

(2)若。>0且〃尤)在(1,+8)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

解：(1)證明：當(dāng)a=-2時(shí)，/(無)=2.

設(shè)為<龍2<-2,

2

X1X2—(xt-x2)

則”為)-f(x2)