2025年高考數學一輪復習：函數模型及其應用（五大題型）（練習）（解析版）

第08講函數模型及其應用

目錄

模擬基礎練.....................................................................2

題型一：二次函數模型，分段函數模型............................................................2

題型二：對勾函數模型..........................................................................4

題型三：指數型函數、對數型函數'幕函數模型...................................................6

題型四：已知函數模型的實際問題................................................................8

題型五：構造函數模型的實際問題...............................................................10

重難創(chuàng)新練....................................................................12

真題實戰(zhàn)練....................................................................24

題型一：二次函數模型，分段函數模型

1.（2024?高三?四川巴中?期末）已知甲、乙兩個城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時勻速從甲城

市駛往乙城市，到達乙城市后停留1小時，再以80千米/時勻速返回甲城市.汽車從甲城市出發(fā)時，時間x

（小時）記為0,在這輛汽車從甲城市出發(fā)至返回到甲城市的這段時間內，該汽車離甲城市的距離y（千米）

表示成時間x（小時）的函數為（）

fl00x,0<x<1.2

A.y=\

[80x,x>1.2

fl00x,0<x<1.2

B.y=5

[120-80x,x>1.2

100x,0<x<1.2

C.y=<120,1.2<x<2.2

120-80x,2.2<x<3.7

100x,0<x<1.2

D.y=<120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<x<3.7

【答案】D

【解析】當04x4五=1.2時，y=100x,

當1.2<xW2.2時，J=120,

當2.2<xW2.2+——=3.7時,y=120-80（x-2.2）=296-80%,

80

100x,0<x<1.2

綜上：y=120,1.2<x42.2

296-80x,2.2<x<3.7

故選：D.

2.汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.

剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現

情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速nkm/h之間的關系為S甲=高丫2v,乙車的剎車距離sm與車速

nkm/h之間的關系為$乙=+v.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

【解析】對于甲車，令擊聲一5丫々6,BPv2-10v-600?0

解得vp-20km/h（舍）或VQ30km/h,所以甲未超速；

對于甲車，令擊I?-焉vaio,gpv2_10v_2000?0

解得VQ-40km/h（舍）或v=50km/h,所以乙超速；

故選:C.

3.（2024?高三?浙江?開學考試）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個時段進行分時計價.

高峰時間段用電價格表：

高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.568

超過50至200的部分0.598

超過200的部分0.668

低谷時間段用電價格表:

低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.288

超過50至200的部分0.318

超過200的部分0.388

若某家庭7月份的高峰時間段用電量為250千瓦時，低谷時間段用電量為150千瓦時，則該家庭本月應付

電費為（）元

A.200.7B.207.7C.190.7D.197.7

【答案】D

【解析】高峰時段電費為50x0.568+150x0.598+50x0.668=151.5元，

低谷時段電費為50x0.288+100x0.318=46.2元，

共計151.5+46.2=197.7元.

故選：D

題型二：對勾函數模型

4.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72dm2（圖中陰影部分），上下空白各寬2dm,

左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是（）dm2.

C.120D.88

【答案】A

72

【解析】設陰影部分的長為xdm,則寬為一dm,四周空白部分的面積是ydm4

x

（72、（144、I144144

由題意得：^=（x+4）I+2I-72=8+21x+>8+2x2Jx-------=56,當且僅當工=,即x=12時等號成立.

故選：A

5.一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內購買20g黃金，店員先將10g的祛碼放在

天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些黃

金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.記顧客實際購得的黃金為xg,則不與

20的大小關系為（）

A.%<20B.x>20

C.x=20D.無法確定

【答案】B

【解析】設天平左臂長為加，右臂長為〃，機,〃〉0且相。孫左盤放的黃金為不克，右盤放的黃金為巧克,

10m=nx10m

2解得％

mx{=10nmn

當且僅當機="時，取到等號,

由于相中“，所以x>20.

故選：B

6.（2024?內蒙古呼和浩特.一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術館欣賞油畫，其中有一幅

畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠

處最合適呢？（單位：米，精確到小數點后兩位）己知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3

米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

如圖，設觀賞者的眼睛在點。處，油畫的上沿在點A處，下沿在點B處,

點C在線段A3延長線上，且保持與點。在同一水平線上，

則=e即觀賞時的視角.

依題意AB=2,3C=1,AC，QC,

不妨設OC=x,則3￡)=JX2+I,AD=&+9,

2X2+6Ix4+6x*2+9

在中，由余弦定理，cos6=

VX4+10X2+9

Vx4+10x2+9V/+1+1°

因x>0,則/+=?2d=6,當且僅當犬=9時，即X=6時等號成立,

go

由犬——N6可得x2H—5+10之16,

XX

0<―4__J4

則犬+e+1。一4,則J八1+1。一2，

XVX2

IT7T

因函數y=cosx在（0,芻上單調遞減，故得0?段3

26

即最大視角為：，此時觀賞者距離油畫的直線距離為退。1.73.

6

故選：A.

7.某廠計劃建造一個容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池.若池底的造價為120元每平方米，池壁的造價

為100元每平方米，則這個水池的最低造價為元.

【答案】2080

【解析】因為水池的容積為8m③，深為2m,所以底面積為4m

/、4

設水池池底的一邊長為mi（x>0）,則另一邊長為-m,

x

貝IJ總造價y=4xl20+100x（2x+2-gjx2

=480+400^+-^

>480+400x2=2080（元）.

4

當且僅當尤=—,即尤=2時，y取最小值為2080.

x

所以水池的最低造價為2080元.

故答案為：2080.

8.某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中AB,AC為兩條公路，Zfi4c=135。，P為景點，AP=10,AP±AC,

現需要修建一條經過景點尸的觀光路線MN,M,N分別為A3,AC上的點，則AAW面積的最小值

為.

AMB

【答案】200

【解析】設AN=b,由工人印+&APM=S^AMN，

可得gA/V-AP+gAM?APsin45°=gAM-AN-sinl35°,BP10a+10y/2b=ab-

由10a+10技=abN2?0a.10亞，解得“62400收，當且僅當。=20后，匕=2。時，等號成立，止匕時取

得最小值.

故，AMN面積的最小值為:。加山135。=200.

故答案為：200.

題型三：指數型函數、對數型函數、幕函數模型

9.某食品的保鮮時間》（單位：小時）與儲存溫度x（單位：。C）滿足函數關系>（e=2.718為自

然對數的底數，k、b為常數）.若該食品在0℃的保鮮時間設計192小時，在22℃的保鮮時間是48小時,

則該食品在33℃的保鮮時間是一小時.

【答案】24

eb=192

e-192

【解析】由題意得e*-8'即

2

所以該食品在33℃的保鮮時間是:

故答案為：24.

10.考古學家對四川廣漢“三星堆古墓”進行考古發(fā)據，科學家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古

生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經過4200年，該元素的存量為原來的一半），

已知古生物中該元素的初始存量為經檢測古生物中該元素現在的存量為年，請推算古生物距今大約—

年（參考數據：睇必.3）.

【答案】5600

]

【解析】由半衰期的定義可知，每年古生物中該元素的存量是上一年該元素存量的（J14200,

因此該元素的存量y與時間x（年）的關系式為y而，x>0,

4r41-2館2

——，貝U-----------=log1—=

1042001101g2

lg2

解得「嗎123叭56。。,

1g2

所以該古生物距今大約5600年.

故答案為：5600

11.某醫(yī)院開展某種病毒的檢測工作，第"天時每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時外〃）（單

~j=,n<M

位：小時）,t（n）=-,“°,即為常數）.已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和

%n>N

k

第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時為小時.（精確到1小

時）

【答案】9

【解析】根據函數的解析式可知，當〃時，，（"）=+單調遞減；當〃2N。時，《〃）=乎為常數.

且第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時,

所以有‘(16)=^^=；=16,

64

所以電=64,t^n)=—j=(n<N°).

又收)=.=梟=8,所以*64.

64j

--,n<64

所以，t(n)=<4n^

8,n>64

所以"2號4

故答案為：9.

12.測量地震級別常用里氏級，它是地震強度(即地震釋放的能量)的常用對數值.如日本1923年地震是

8.9級，舊金山1906年地震是8.3級，問日本1923年地震強度是舊金山1906年地震強度的

倍.(在2。03)

【答案】4

【解析】設地震強度為X,則地震級別為/(x)=lgx,

設日本1923年地震強度為a,舊金山1906年地震強度為b,

?fig=8.9a

由題意可得Q。，貝iJlgQ—坨人=坨7=8.9—8.3=0.6,

[lg0=8.3b

因為lg220.3,則1g,。21g2=lg4,所以

bb

即日本1923年地震強度是舊金山1906年地震強度的4倍.

故答案為：4.

題型四：已知函數模型的實際問題

13.(2024.浙江紹興.模擬預測)人類已進入大數據時代.目前，數據量己經從TB(1TB=1O24GB)級別躍升

到PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)級別.國際數據公司(IDC)的研究結果表明,

2008年全球產生的數據量為0.500ZB,2010年增長到1.125ZB.若從2008年起，全球產生的數據量產與年份

f的關系為「二雄廣,期，其中4，。均是正的常數，則2023年全球產生的數據量是2022年的倍.

【答案】1.5《

【解析】由題意，1.125=0.5產。-2叫所以a=1.5,所以尸=0.515'-2%

所以2022年全球產生的數據量為051.5",則2023年全球產生的數據量0.515巴

所以2023年全球產生的數據量是2022年的一心：=1.5倍.

0.5.1.514

故答案為：1.5

14.科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁

波（光）的物體.然后，黑體根據其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學研究發(fā)現單位面積的黑體向空間

輻射的電磁波的功率B與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比，即3為玻爾茲曼常數.而我們在

做實驗數據處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本實驗結果為例，3為縱坐標，以廣為橫

坐標，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)研究該實驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫

出其可能的橫縱坐標的變量形式.

Ox

【答案】射線B為縱坐標，以為橫坐標.

【解析】（1）因為3=bT4,。為玻爾茲曼常數.B為縱坐標，以為橫坐標，因為x=〃20,所以

B=bx（x>0）,所以曲線是一條射線；

（2）由于曲線的形狀類似y=?,根據曲線可知可能的橫縱坐標的變量形式：B為縱坐標，以78為橫坐標，

故答案為：B為縱坐標，以為橫坐標.

故答案為：（1）射線；（2）8為縱坐標，以八為橫坐標.

15.（2024?北京朝陽?二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式/=：夕。^2,其中。是

空氣密度，S是該飛行器的迎風面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數（其大小取決于

多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率？=介.當O，S不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使P不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

【答案】C

112P

【解析】由題意，f=^pCSv\P=jv,所以尸三陽城，C=將”，

A：當P，S,C不變，”比原來提高10%時，

貝^=|pCS（l+10%）3v3=1/?C5（1.1）3V3=1.33-|pCSv3,

所以尸比原來提高超過30%,故A錯誤；

B：由選項A的分析知，/]=1.33.lpCSv3,

所以尸比原來提高不超過40%,故B錯誤;

C當“，p不變’V比原來提高1。％時，。廣記升=而顯=0.75即,

所以C比原來降低不超過30%,故C正確；

D：由選項C的分析知，C比原來降低不超過30%,故D錯誤.

故選：C

16.小微企業(yè)是推進創(chuàng)業(yè)富民、恢復市場活力、引領科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約

著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據調查的數據，建立了小微企業(yè)實際還款比例P與小微企業(yè)的年收入無（單

一0.968+西

位：萬元）的關系為尸eR）.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時，其實際還款比例為50%,

若銀行希望實際還款比例為40%,則小微企業(yè)的年收入約為（參考數據：1113^1.0986,1112^0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

【答案】A

-0.968+80左

【解析】由題意知968+8化簡得e"968+賴

50%=]《-u.yOo+oU。r=C=1,

故一0.968+80左=0,得左=0.0121.

-0.968+0.0121X）

則當P=40%時，40%=]：..968+。。⑵」化簡得e4968+。。⑵，=；,

兩邊同時取對數，-0.968+0.0121x=ln2-ln3?-0.4055,得x=46.49,

故當實際還款比例為40%時，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬元.

故選：A

題型五：構造函數模型的實際問題

17.（2024.江西.二模）茶文化起源于中國，中國飲茶據說始于神農時代.現代研究結果顯示，飲茶溫度最

好不要超過6CTC.一杯茶泡好后置于室內，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃,68℃,給出三

個茶溫T（單位：。C）關于茶泡好后置于室內時間f（單位：分鐘）的函數模型：①T=R+。（a＜0）；②

T=log/+仇0＜。＜1）；③7=20+》屋。＞0,0＜。＜1）.根據生活常識，從這三個函數模型中選擇一個，模

擬茶溫T（單位：。C）關于茶泡好后置于室內時間r（單位：分鐘）的關系，并依此計算該杯茶泡好后到飲

用至少需要等待的時間為（參考數據坨2“0.301,坨3。0.477）（）

A.2.72分鐘B.2.82分鐘

C.2.92分鐘D.3.02分鐘

【答案】B

【解析】依據生活常識，茶溫一般不會低于室內溫度，因此選擇模型③,

_4

80=20+ba,解得“下

得至!J

68=20+ba2,

b=75,

W60n048=△3坨2-lg3-lg5

因止匕20+75??2.814.

一15-21g2-lg5

故選：B

18.（2024?福建?模擬預測）視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數記錄與五分記錄，其部分數據如下

表：

小數記錄九0.10.120.15L11.21.52.0

五分記錄y4.04.14.2L55.15.25.3

現有如下函數模型：①y=5+igx,②>=5+1ig1,X表示小數記錄數據，y表示五分記錄數據，請選擇

10x

最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為4.7,則小明同學的小數記錄數據

為（附10°3=2,5422=0.7,10知=0.8）（）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.8

【答案】B

【解析】由表格中的數據可知，函數單調遞增，故合適的函數模型為y=5+igx,

令y=5+lg尤=4.7,解得x=10《3=0.5.

故選：B.

19.（2024.高三?云南?期中）在一段時間內，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數的倍增期（增加一倍所需的

時間）為21個月，貝！]100只野兔增長到100萬只野兔需要（）個月.（記。=lg2,b=log212）

A.84aB.—C.846D.—

ab

【答案】B

【解析】設2k個月后野兔總只數為y,

y=100.2\則1002=1。6,

48484

則xn0ogzlOu：,所以21X=T^=一.

1g2lg2a

故選：B.

20.（2024.云南昆明?模擬預測）飲酒駕車、醉酒駕車是嚴重危害《道路交通安全法》的違法行為，將受到

法律處罰.檢測標準：“飲酒駕車：車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于

80mg/100ml的駕駛行為;醉酒駕車:車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的駕駛行為

據統(tǒng)計，停止飲酒后，血液中的酒精含量平均每小時比上一小時降低20%.某人飲酒后測得血液中的酒精含

量為100mg/100ml,若經過小時，該人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,貝!]〃的最小值為（參

考數據：館2。0.3010）（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】經過小時，該人血液中的酒精含量為100x0.8"mg/100ml,

由題意得，100x0.8"<20,即0.8"<0.2,

lg0.2lg2-llg2-l'0.3010-1

解得:n>log0.2=~7.2,

08lg0.8-lg8-l31g2-l~3x0.3010-1

所以”的最小值為8.

故選：B.

21.（2024?山西朔州?模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數的關系，某開發(fā)商收集了一棟住宅

樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數x與每平米平均建筑成本y（單位：萬元）的數據整理

成如圖所示的散點圖：

f每平米平均建筑成本/萬元

20-

?

15?

1°一?

5-?

O1020*3040樓層數/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用》和樓層數尤的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【答案】c

【解析】觀察散點圖，可知是一個單調遞減的曲線圖，結合選項函數的類型可得回歸方程類型是反比例類

型，故c正確.

故選：C.

1.（2024?北京?三模）2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運飛船在發(fā)射3小時后成功對接于空間

站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動交會對接的記錄.某學校的航天科技活動小組為了探索運動物體追蹤技

術，設計了如下實驗：目標尸在地面軌道上做勻速直線運動；在地面上相距7m的A,8兩點各放置一個傳

感器，分別實時記錄48兩點與物體尸的距離.科技小組的同學根據傳感器的數據，繪制了“距離-時間”函

數圖像，分別如曲線。，6所示和馬分別是兩個函數的極小值點.曲線。經過和&，4），曲線6

rr

經過色，弓）.已知哂=^\=4m,/2=4s,并且從f=0時刻到f=芍時亥!]P的運動軌跡與線段AB相交.分析曲

線數據可知，尸的運動軌跡與直線AB所成夾角的正弦值以及尸的速度大小分別為（）

B.士巫m/s

72

D.2Mli/s

72

【答案】B

設動點P的軌跡與y軸重合,其在t=。工/時刻對應的點分別為。（坐標原點），D,E,P的速度為vm/S,V>0,

因為哂=r^r\=4m,q=2S/2=4S,可得馬=2m,

由題意可知：均與y軸垂直，且|仞|=4皿忸/=2gOD|=|D￡|=2vm,

作BC±AD垂足為C,則|AC|=6m,|BC|=2Vm,

因為時+忸C『=L，即36+4,=49，解得人平;

又因為5C〃y軸，可知P的運動軌跡與直線AB所成夾角即為/ABC,

AC6

所以尸的運動軌跡與直線42所成夾角的正弦值為sinWC二方

7

故選：B.

2.（2024.湖南益陽?三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照

同款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價格不超過8萬元.根據年限折舊法,設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是皿加eN）萬,

則m=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【解析】依題意，租（1-20%）（1-10%）448,解得加」八。8=空零,

0.8x0.96561

則加V15.24,又根￡?<,則根=15.

故選：C.

3.（2024.重慶.模擬預測）物理學家本?福特提出的定律：在6進制的大量隨機數據中，以〃開頭的數出現

的概率為8（〃）=log〃=，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤.根據此定

n

律，在十進制的大量隨機數據中，以1開頭的數出現的概率大約是以9開頭的數出現的概率的（）倍（參

考數據：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

【答案】C

-I-1

【解析】由題意，以〃開頭的數出現的概率為85）=iog〃0,

n

可得/⑴=lg2,^o（9）=lgy=lglO-lg9=l-21g3,

所以&*二館2-6.5

為⑼L21g3

故選：C.

4.（2024?北京通州.二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：

月）的關系式為S=（。>0,且。片1）,圖象如圖所示.則下列結論正確的個數為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是1,4，4，則乙+4=6.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由已知可得"=2,則S=2"i.

對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為23-2?=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為24-23=8（平方米），①錯；

對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為25=32（平方米），②對；

r\n+2_Qn+1

對于③,浮萍蔓延第〃至〃+1個月的增長率為二=1,所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是100%，

2"+i

③錯；

對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是％,馬，。

2+1

則2廿1=3,2'=4，2GM=12=3x4=2”?Z'N=2'計'2+2,所以％=彳+勻+1,④錯.

故選：B.

5.（2024?陜西西安?模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發(fā)

布會的第28場發(fā)布會.會上提出蒙古國、中國，包括東北亞的日本、韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治

沙、植樹造林符合本地區(qū)各國和人民當前及長遠利益.根據對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發(fā)現持

續(xù)時間大于/的沙塵暴次數N滿足N=A?1（?仍，目前經測驗A地情況氣象局發(fā)現，f=300時，次數

N=5,t=600時，次數N=3,據此計算N=4時對應的持續(xù)時間f約為（）

（參考數據：lg2?0.301,lg3?0.477）

A.389B.358C.423D.431

【答案】D

【解析】]黑=:兩式相比，得IO*期="\A?10-3006|A=5?Ag,

[A10=3553

又IO"期=|兩邊取對數可得電胎由嗔坨3?300bIg5-lg3?blg：o：g3,

所以N二上?10,卜300,

3

25."g5-lg3z.rVlg5-lg31?

令N二三?10(卜3004,即10,卜300,

325

取對數并化簡可得lgl2-lg25=-IgjoN，

因為Igl2=21g2+lg3,lg25=21g5=2-21g2,

300?(4lg2lg3-2)_300倉40.301+0.477-2)?

所以Qg

f=Ig2+lg3-1-0.301+0.477-1"

所以6431.

故選：D.

6.（2024.貴州遵義.一模）近年來，中國成為外來物種入侵最嚴重的國家之一，物種入侵對中國生物多樣

性、農牧業(yè)生產等構成巨大威脅.某地的一種外來動物數量快速增長，不加控制情況下總數量每經過7個

月就增長1倍.假設不加控制，則該動物數量由入侵的100只增長到1億只大約需要（坨2。0.3010）（）

A.8年B.10年C.12年D.20年

【答案】C

【解析】設經過尤個月動物數量由入侵的100只增長到1億，

所以100?2,=1。8，所以方=1（）6,

兩邊同時取對數可得：坨2亍=lgl（）6=6，

x4242

所以一Jg2=6,所以x=----?----------?139.53,

71g20.3010

所以該動物數量由入侵的100只增長到1億只大約需要12年.

故選：C.

7.（2024?四川?模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速350km

自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小.如果用聲強/（單位：W/n?）表示聲音在傳播途

徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級L（單位：dB）與聲強/的函數關系式為L=41g（a/）,其中冊為基

準聲強級，。為常數，當聲強/=電時，聲強級L=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強級：

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強級范圍

內燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設在離內燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實際聲強分別為小匕A，則下列結論正確的是（）

A.4=30B.Z,>/2C.Z2>10/3D.^<100/2

【答案】B

【解析】對于A：因為聲強/=W時，聲強級L=20dB,

a

所以乙=4地，??]=20,解得'=20,故A錯誤；

對于B：因為乙一乙=20,（叫）Tg（叱）]=201gy>0,

所以?并，即故B正確;

(心)-(叱)]=k

對于C：L?-L3=20[lg1g201g>20-10=10

13

Iii

所以,2102,即故C不正確;

13

右_4=20[lg(a/J—lg(a/2)]=201g4480—20=60,

對于D,

所以?V10',即，（IO。。/?,故D不正確.

A

故選：B.

8.（2024?陜西商洛?三模）近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾

過程中廢水的污染物數量N（mg/L）與時間f（小時）的關系為"="“，（N。為最初的污染物數量）.如

果前3小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）

A.2.6小時B.6小時C.3小時D.4小時

【答案】C

【解析】由題意可得N°e應=\乂，可得e3=m，

k,

設N0&=0.64N。=「JNo,

.?.e，=（e3）2=e.,解得f=6,

因此，污染物消除至最初的64%還需要3小時.

故選：C.

9.（多選題）（2024.遼寧?二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，

用/⑺表示從r=0開始，晶體管數量隨時間r變化的函數，若/（0）=1000,則下面選項中，符合摩爾定律公

式的是（）

A.若，是以月為單位,則"）=1。。。+卷°，

B.若r是以年為單位,則/⑶=1000x（6/

C.若，是以月為單位，則1g/⑺=3+譬f

D.若，是以年為單位，則

1g/。~

【答案】BC

【解析】選項A,/(24)=2000=2f(0),/(48)=30002/(24),A不符合;

選項B,/'(2)=2000=2/(0),/(4)=4000=2/(2),/(2?)=1000x2",zieN*,符合;

選項C,lg/?)=3+譬f,貝U/Q)=IO"詈=iooox21，/(24)=2x1000,『(48)=4000=2/(24),

/(24?)=1000x2","eN*,符合，

選項D,+/(r)=1000x(1?+l)^

igJW-。十22

/(2)=2x1000=/(0),y(4)=1000x7^^2/(2),不符合?

故選：BC.

10.(多選題)(2024.安徽蚌埠?模擬預測)科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的.如

果物體的初始溫度為4℃,空氣溫度4。c保持不變，貝卜分鐘后物體的溫度e(單位：。0滿足：

e=%+儲-3若空氣溫度為該物體溫度從4°C(9044〈100)下降到30。&大約所需的

時間為％,若該物體溫度從7(FC,50。(2下降到3(FC,大約所需的時間分別為￡4,則()(參考數據:

ln2~0.7,ln3-l.l)

A.々=20B.28<?!<30C.tx>2t3D.tx-t2<6

【答案】BC

【解析】有題意可知,6=10+(4-10)產,

當6=30,則30=10+(a—10)e《g\

2020

即e2gl—0.05%=In

(9,-10，一10

則4=20In三看，

其是關于4的單調遞增函數,

90-10

當4=90時，tx=20In=201n4=40In2?28,

10(10

當4=100時，tx=20In^~=201n|=20(21n3-In2)?30,

則28%V30,故B正確;

當4=70時，t]=201n7,0=201n3-22,

故A錯誤;

當4=50時，t=20In50~10=201n2?14,

20

此時滿足％±2*-z2>6,故C正確，D錯誤,

故選：BC.

11.（多選題）（2024.全國.模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線.為了解自己記憶一

組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x（單位：天）之

7

-----x+l,OvxVl

20

間的函數關系y=/（》）=<.則下列說法中正確的是（

O24681012x

A