2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時(shí)作業(yè)二十 導(dǎo)數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題

二十導(dǎo)數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題

(時(shí)間：45分鐘分值:40分)

_y-L[___

1.(10分)(2023?隴南聯(lián)考)已知函數(shù)加加￡R)討論作)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

e

【解題指南】令人x)=0,可得。W，令g(x)開，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性

ee

及最值，從而討論。的取值范圍,進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】令啟)上二-4=0彳導(dǎo)a-久：：

ee

設(shè)則gG)_e(、"一；,

e(e)e

當(dāng)x>0時(shí),g(x)<0,當(dāng)x<0時(shí),gG)>0,

所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)=l,

而當(dāng)x>-l時(shí),g(x)>0;當(dāng)x<-l時(shí),g(x)<0.

當(dāng)》一-8時(shí)￡(%)--8；當(dāng)》一+8時(shí)￡(%)—0,

所以g(%)的大致圖象如圖所示.

①當(dāng)a>\時(shí)，方程g（x）=a無解，即兀r）沒有零點(diǎn)；

②當(dāng)a=l時(shí)，方程g（x）=a有且只有一解，即/（%）有唯一的零點(diǎn)；

③當(dāng)0<?<1時(shí)方程g（x）=a有兩解，即加）有兩個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)a<0時(shí)，方程g（x）=a有且只有一解，即/（%）有唯一的零點(diǎn).

綜上，當(dāng)a>\時(shí)4%）沒有零點(diǎn)；

當(dāng)a=l或a<0時(shí)段）有唯一的零點(diǎn)；

當(dāng)0<?<1時(shí)〃）有兩個(gè)零點(diǎn).

【加練備選】

已知函數(shù)/（工尸cosx+xsinx.

⑴討論本）在［-2冗,2同上的單調(diào)性；

【解析】⑴因?yàn)閄-x）=cos（-x）-xsin（-x）=cosx+xsinGR,所以｛x）是R上的

偶函數(shù)也是［-2匹2瓦］上的偶函數(shù)./Xx）=xcos%,當(dāng)x引0,2冗］時(shí)，令人》>0得0<x<2或

會(huì)%<2冗;令人）<0得六所以｛x）在嗚］和吾,2汨上單調(diào)遞增在（鬻）上單調(diào)

遞減因?yàn)樾。┦桥己瘮?shù)，所以當(dāng)工引-2冗,0）時(shí)段）在［-2兀,子］和《0）上單調(diào)遞減，在

（*,->上單調(diào)遞增.

綜上所述西）在［-2冗,片］,［-*）和g多上單調(diào)遞減，在（片,-》，嗚］和停2兀］上單調(diào)

遞增.

1

⑵求函數(shù)g（%）=/a）-產(chǎn)-1零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

1

【解析】(2)由⑴得g(-x)y-x)z(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函數(shù)

-TTRTT-TTKIT

①當(dāng)X引0,2冗］時(shí)，令g(x)>0得0<%<目或可<%<2幾;令g(x)<0得§<%(手

所以g(x)在嗚)和4,2兀)上單調(diào)遞增，在(若)上單調(diào)遞減.

因?yàn)間(§)>g(。尸O,g(N)=^~X(-多匕X(7)2-r0,g(2兀)=-九2<0,

所以加￡(罌)，使得g?)尸0,

所以g(x)在［0,2冗］上有兩個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)％《(2冗,+8)時(shí),g(x尸cosx+xsinx-^x2-l所以g(x)在(2TI,+OO)上沒有零

點(diǎn)

由①②及g(x)是偶函數(shù)可得g(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn).

2.(10分)已知函數(shù)"X)=2%3-3%2-12X+加.

⑴若加=1,求曲線MX)在(141))處的切線方程；

【解析】⑴由題意得/(%尸6%2-6%-12,

故八1尸-12,

又當(dāng)加=1時(shí)41尸2-3-12+1=-12,

故所求的切線方程為y+12=-12(x-l),即尸12%.

(2)若函數(shù)1%)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】(2)由題意彳導(dǎo)/(x尸6爐-6%-12=6(%2-%-2)=6(%+l)(x-2),

令/(%尸0得x=-l或％=2,

故當(dāng)x￡(-8,-1)時(shí)/(x)>0;當(dāng)X￡(-1,2)時(shí)/(%)<0;當(dāng)工￡(2,+8)時(shí)/(%)>0,

故當(dāng)x=-l時(shí),函數(shù)加r)有極大值戶2x(-l)-3xl-12x(-l)+片加+7,

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)/(%)有極小值/(2)=2x8-3x4-12x2+加=冽-20.

若函數(shù)八%)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加滿足[胃十:二1解得-7<加<20,

IiL-乙U、U,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-7,20).

3.(10分X2024?太原模擬)已知函數(shù)?r)=x+/+lnx,aWR.

⑴若函數(shù)小)在尸1處取得極值，求實(shí)數(shù)。的值；

2

【解析】⑴因?yàn)楹瘮?shù)段)在尸1處取得極值了(%)=1工+:^,所以八1尸0,即

XxX

[2[

下心=0,解得4=2,經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)。=2時(shí),函數(shù)小)在尸1處取得極小值，所以實(shí)數(shù)a

的值為2.

(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解析】(2)因?yàn)間(x)=f(x)-x,

所以g(%)=1-W+、X>0.

令g(%)=°得a~x3+x2+x,

令h(x)~x3+x2+x,x>Q,

則h'(x)=-3x2+2,x+1=-(3x+1)(x-1).

當(dāng)x￡(0,1)時(shí),/z3>0,3)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xW(1,+8)時(shí),〃。)<0,3)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

畫出函數(shù)3)的草圖，如圖所示,

易得貼)引⑴=1,

并且圖象無限靠近于原點(diǎn)，且當(dāng)工一+8時(shí),力(%)--8.故當(dāng)a>\時(shí)，函數(shù)g(x)無零點(diǎn);

當(dāng)a=l或400時(shí)，函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

4.(10分)(2021?全國(guó)甲卷)已知a>0且。聲1,函數(shù)兀T)=G(X>0).

a

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求人x)的單調(diào)區(qū)間;

2

【解析】⑴當(dāng)a=2時(shí)於)。(%>0),

/(%)—x(I2-xln2)4>0),

2

令/(x)>0得0<x</此時(shí)函數(shù)於)單調(diào)遞增,

令/(x)<0得心總此時(shí)函數(shù)1x)單調(diào)遞減

77

所以函數(shù)小)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,臺(tái)，單調(diào)遞減區(qū)間為右,+8).

111乙111乙

(2)若曲線y=/(x)與直線產(chǎn)1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】(2)曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，

可轉(zhuǎn)化為方程k1,即廿=。'(%>0)有兩個(gè)不同的解，

a

即方程有兩個(gè)不同的解.

設(shè)g(x)T(x>0)則g'(%)上腎%>。)，

xx

1_]nY

令g'(x)=~L。彳導(dǎo)x=e,

X

當(dāng)0<x<e時(shí)g(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e時(shí),g(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

故g(%)max=g(e)=|,又g⑴=0,當(dāng)x>e時(shí),g(x)e(0,1),

所以。<?4,即g⑴<g(a)<g(e),結(jié)合g(x)的單調(diào)性可知l<a<e或a>e,

即。的取值范圍為(l,e)U(e,+oo).

【加練備選】

函數(shù)_A%)=ax+xlnx在％=1處取得極值.

⑴求八工)的單調(diào)區(qū)間；

【解析】(1處)的定義域?yàn)?0,+8)/(x)=a+lnx+1,由/(1)=a+1=0,解得a=-l,

則_A%)=-x+xlnx,

所以/V尸In%,令人>)>0,解得x>l;

令/(x)<0,解得0<x<l,

所以-)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(2)若加-1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不