湘豫聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題

湘豫名校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第四次模擬考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程彳2-2尤+2=0的兩個(gè)根分別為々，%,則卜+2引=()

A.1B.VsC.77D.V10

2.已知集合/={xeN|(2x-14)(x-5)V0},2={xeZ|2'>10。},則/c(”)=()

A.{4,5,6,7}B.{4,5,6}C.{5,6,7}D.(5,6)

22

3.已知橢圓=l(a>6>0)與矩形/BCD的四條邊都相切，若48=4,AD=2,

ab2

則E的離心率為()

A.2]_「V2]_

B.V?—D.

2223

4.已知sin(9+W貝人足［2夕—:］二

()

112,I143,

5511

A.——B.C.——D.一

9999

5.在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對準(zhǔn)同一個(gè)弓箭靶，兩人同時(shí)射箭.已知甲、乙中靶

的概率分別為0.5,0.4,且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率

為()

2342

A.B.-C.一D.

777

6.如圖，A,B和C,〃分別是函數(shù)/(x)=2sin10尤+小(0>0)圖象的兩個(gè)最低點(diǎn)和兩個(gè)

最高點(diǎn)，若四邊形N8C。的面積為8兀，且/'(x)在區(qū)間~,a上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的最

試卷第1頁，共4頁

7.已知函數(shù)〃切=1叫（32*+1）-x,則滿足無）的x的取值范圍為（）

8.中國古代建筑中重要的構(gòu)件之一一柱（俗稱“柱子”）多數(shù)為木造，屬于大木作范圍，

其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一種做法，即木柱非整根原木，而是多塊用樺卯拼合而成.寧

波保國寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包鑲式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周圍，根據(jù)需要

再用若干根一定厚度的木料包鑲而成的柱子，圖1為“包鑲式瓜棱柱”，圖2為此瓜棱柱的橫

截面圖，中間大圓木的直徑為2R,外部八根小圓木的直徑均為2r,所有圓木的高度均為力，

且粗細(xì)均勻，則中間大圓木與一根外部小圓木的體積之比為（）

圖1圖2

A.“+2&-1B.4+2啦-2,4+2也

C.3D.5+2V2-2V4+2V2

二、多選題

9.已知外〃（機(jī)力〃）為實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X?且尸（XWM）=尸（X*）,則（）

A.mn<1B.2m+2">4C.m2+n2<2D.—+—>2

mn

10.已知四棱錐尸-NBC。的底面NBC/）是邊長為4的正方形，必，平面48CD,且4=4,

E,F,G分別為依，PD,3c的中點(diǎn)，點(diǎn)0是線段F4上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，貝I（）

A.￡G//平面尸CD

B.直線尸G與48所成的角為30。

C.EQ//FG

試卷第2頁，共4頁

D.經(jīng)過E,F,G的平面截四棱錐尸-NBC。所得到的截面圖形的面積為5&

11.已知拋物線，：/=2/(0>0),點(diǎn)/(1,2)為了上一點(diǎn)，直線/與？交于5,C兩點(diǎn)(異

于N點(diǎn))，與x軸交于M點(diǎn)，直線/C與的傾斜角互補(bǔ)，則()

A.線段3c中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2

B.直線/的傾斜角為斗3兀

C.當(dāng)WeHMC卜忸C時(shí)，M點(diǎn)為7的焦點(diǎn)

D.當(dāng)直線/在y軸上的截距小于3時(shí)，A/BC的面積的最大值為現(xiàn)1

三、填空題

12.已知向量1=(百,4，3=(0,-1),若1在B上的投影向量為工，則彳的值為.

13.設(shè)S,是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若疊=10,則些=.

2X-1,XG[0,1)

4

14.已知函數(shù)/("=份-1,》中,2)的圖象在區(qū)間[2〃-2,2"](〃eN*)內(nèi)的最高點(diǎn)對

2/(X-2),XG[2,-hx))

應(yīng)的坐標(biāo)為(七,州)，則集合樹％=x.+1,14加41000,左eN*,加eN*｝中元素的個(gè)數(shù)

為.

四、解答題

B

15.已知ZL45C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為q,b,c,且Zosii?——bcosA=c-b.

2

(1)證明：a+b=2c；

(2)若3=g,A45C的面積為4百，求6.

16.如圖，在三棱錐P-/5C中，平面尸平面%C,△R4C和V/BC均為等腰直角三

角形，旦PA=PC=e，PB=a.

試卷第3頁，共4頁

p

(1)證明：平面平面尸/C；

(2)設(shè)麗=九而，O<A<1,若平面P/8與平面/C尸夾角的余弦值為嚕，求實(shí)數(shù)2的值.

17.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子〃(〃eN*)次，第左次拋擲落地時(shí)朝上的點(diǎn)

數(shù)記為為，砍e{1,2,3,4,5,6}.

⑴若〃=4,記出現(xiàn)為為奇數(shù)的次數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

⑵若〃=5,求事件“q<aM(z=1,2,3,4)”的概率.

22

18.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:=—與=1(°>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,過

ab

C上一點(diǎn)尸作C的兩條漸近線的平行線,分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，且\OM\-\ON\=1，困PF]

內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為百.

(D求c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(i)設(shè)點(diǎn)。(%,%)為C上一點(diǎn)，試判斷直線號(hào)一抄0=1與C的位置關(guān)系，并說明理由；

(ii)設(shè)過點(diǎn)耳的直線與C交于A,3兩點(diǎn)(異于C的兩頂點(diǎn))，C在點(diǎn)A,B處的切線交于

點(diǎn)、E,線段的中點(diǎn)為D,證明：O,D,E三點(diǎn)共線.

19.在平面直角坐標(biāo)系O孫中，定義：如果曲線。和C2上分別存在點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱,

則稱點(diǎn)”和點(diǎn)N為￡和Q的一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

⑴若G：/+孫+/=6上任意一點(diǎn)尸的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)。，求點(diǎn)。所在的曲線方程和

尸|+|。0|的最小值；

⑵若G：(x2+J2)2=4xy2(y>x>0)上任意一點(diǎn)S的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)T,求陽的最大值；

⑶若G:y=21nx-2◎和：V=1-+1)/在區(qū)間(0,+“)上有且僅有兩對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DDACBCBDABACD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】先求出兩復(fù)數(shù)根，再根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.

【詳解】根據(jù)題意可得(％-1)2=-1廣，

X—1=+i,即x=l±i,

當(dāng)再=1一i,/=1+i時(shí)，再+2%2=3+i,

2

|xj+2X2|+3，

當(dāng)再=l+i,%2=l-i時(shí)，玉+2馬=3—i,

22

|xj+2X2|=V1+3=V10，

綜上，上+2引=\/^.

故選：D.

2.D

【分析】先求出集合4,B,再由集合的運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?={%wN|(2x—14)(%—5)W0}={xwN|5WxW7}={5,6,7},

B=[xeZ\2x>100}={xeZ\x>l],所以包5)={XGZ|X<7},

所以zn包町={5,6}.

故選：D.

3.A

【分析】由橢圓的對稱性可知橢圓的長軸與短軸長，進(jìn)而可得離心率.

【詳解】由橢圓的對稱性可知/5=2〃=4,AD=2b=2,則。=2,b=\,

所以c=V3,

所以E的禺心率為e=—=，

a2

故選：A.

答案第1頁，共16頁

4.C

【分析】由sin12e-g）=sin,再結(jié)合誘導(dǎo)公式和余弦倍角公式即可求解.

故選：C

5.B

【分析】由題意可知，求的是條件概率，根據(jù)條件概率的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)事件/=“甲中靶"，8=“乙中靶"，C="弓箭靶被射中”，

則尸（4）=0.5,尸（3）=04,所以尸（/耳）=0.5x0.6=0.3,尸（28）=0.5x04=0.2,

P（/8）=0.5x04=0.2.

所以/（C）=尸（/方）+/（粉）+P（AB）=03+0.2+0.2=0.7.

所以尸（煙。）=霜0.33

廠2077

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)四邊形面積可得三角函數(shù)的周期與。，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得解.

【詳解】由題意，得四邊形為平行四邊形，且|N5|=2T=2x」,

G）

2兀

且與C。之間的距離為4,則4義2、一二8兀，解得①=2,

CD

則〃x）=2sin（2x+e）,

令----F2kliW2xH—?—1~2阮，左wZ,

262

兀71

角華得--H左兀WXW—F左兀，k,eZ,

36

元

所以當(dāng)后=1時(shí)，—27r<x<7^,

36

ojr77r

即函數(shù)〃尤）在—上單調(diào)遞增,

3o

答案第2頁，共16頁

-3兀2兀7?！窵il3兀3兀7兀

又——￡——，——，所以——，aU——,——

436」446.

則37r即7兀0的最大值為7:71，

466

故選：C.

7.B

【分析】由奇偶函數(shù)的定義得出/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，令"(x)=3*+30由導(dǎo)數(shù)判斷

其單調(diào)性進(jìn)而得出/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)抽象函數(shù)不等式解法求解即可.

2TlX

【詳解】由題意得，/("的定義域?yàn)镽,/(%)=log3(3+1)-x=log3(3+S),

因?yàn)?(-可=1咆(3"+3，)=/(月，

所以/(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x20時(shí)，令"x)=3*+3-*,貝U"'(x)=(3"-3一")ln3,

因?yàn)榱?3工和了=-3一‘在［0,+⑹上單調(diào)遞增，所以/(x)2/(O)=O,

所以“(x)在［0,+⑹上單調(diào)遞增,

所以「(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

由#/(|2x-l|)>/(|x|),所以

兩邊平方并整理，得3/_4X+1>0,解得xe,巴￡|U(l,+?)).

故選：B.

8.D

【分析】八根小圓木截面圓的圓心構(gòu)成一個(gè)正八邊形，邊長為2人相鄰兩根小圓木圓心與

大圓木圓心構(gòu)成一個(gè)底邊長為"，腰長為R+尸，頂角為3的等腰三角形，結(jié)合余弦定理可

4

得￡=，4+2&-1,從而可求結(jié)論.

r

【詳解】八根小圓木截面圓的圓心構(gòu)成一個(gè)正八邊形，邊長為2.，

TT

相鄰兩根小圓木圓心與大圓木圓心構(gòu)成一個(gè)底邊長為2廠，腰長為R+尸，頂角為二的等腰三

4

角形，

根據(jù)余弦定理,得4-=2(7?+根-2(7?+rfx等,

答案第3頁，共16頁

解得K="+2陵-1,

r

所以中間大圓木與一根外部小圓木的體積之比為：

^^=寫=（,4+2收-1）2=5+2夜-2“+2夜.

7trhr

故選：D.

9.AB

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)得到加+力=2,再由基本不等式判斷A、B、C,利用特殊值

判斷D.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X?且尸（XWm）=P（XN〃），

由正態(tài)曲線的對稱性，可得加+〃=2,因?yàn)闄C(jī)片”，

所以加〃〈（丁口=[||=1,故A正確；

2加+2〃〉2、/2a.2〃=2也&=4，故B正確；

2（加2+/）>（加+〃）2=4,即加2+〃2>2,故C錯(cuò)誤；

112

由于當(dāng)機(jī)=一1,〃=3時(shí)，滿足加+〃=2,但是一+-=--<2,故D錯(cuò)誤.

mn3

故選：AB.

10.ACD

【分析】根據(jù)線面平行判斷A,應(yīng)用定義得出異面直線所成角判斷B,平行公理判斷C,先證明

線面垂直得出線線平行即可求出截面再計(jì)算判斷D.

【詳解】因?yàn)镋G是APBC的中位線，所以EG〃尸C,

又EG<z平面尸CD,尸Cu平面尸CD,所以EG//平面尸CD,A正確.

如圖，取我的中點(diǎn)連接MF,BM,則==MF"AD豆MF=2.

因?yàn)锽G//4D且BG=2,所以兒/V/8G且九P=3G.

所以四邊形MRG5為平行四邊形，所以〃尸G,

所以/人必或其補(bǔ)角即為直線FG與AB所成的角.

由尸/_1_平面48c。，48u面/8C。，得尸/_L48.

因?yàn)閠an/Affi/=儂=2=!，

42

所以FG與43所成角的正切值為B錯(cuò)誤.

2

答案第4頁，共16頁

由題意，得0是PM的中點(diǎn)，

所以E0//8M,又MBUBG,所以E0〃尸G,C正確.

顯然E,G,F,。四點(diǎn)共面，取CD的中點(diǎn)H,連接EV,GH,

可得四邊形EGAF為平行四邊形，所以E,G,H,尸四點(diǎn)共面，

所以￡,G,H,F,。五點(diǎn)共面，即五邊形EGHFQ即為所求的截面.

設(shè)/CnGH=T,則。7//PC,且。7=3pC=3x4百

44

EG=-PC=24i,GH==BD=24i.

22

由題意及線面垂直的性質(zhì)有R4L5Z),AC1BD,尸/CNC=/且都在面尸NC,所以

平面為C.

而尸Cu面尸ZC,所以3D_LPC,又BDHGH,EGIIPC,所以EG_LG〃，

所以6五邊彩EGHF@=EG義GH+；EF義(QT—EG)=2右X26+；x2C(3也一2拒)=5a,D

正確.

故選：ACD.

P

II.ABD

【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出拋物線方程，根據(jù)自B+《C=O化簡可得%+%=-4,即可判斷

A；結(jié)合A的分析化簡可得演c=T，即可判斷B；設(shè)M(〃z,O),可得/的方程為》=力+加，

聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡性阿-|兒/。=忸。|,求出M的坐標(biāo)，即可判斷

C；求出△/2C的面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求解其最大值，即可判斷D.

【詳解】將/(1,2)代入/=2px,可得。=2,所以7的方程為必=人,焦點(diǎn)為(1,0),

答案第5頁，共16頁

k=2f=2f=4

AB

設(shè)8（再,必）,網(wǎng)Hi,C（x2,j2）,x2^1,,則1-vi了廠2+%

4

74

同理《4c二七一?

2+%

因?yàn)橹本€/C與45的傾斜角互補(bǔ)，所以左襤+左公=0,

即+=16+4（—+%）

解得%+%=—4,且%為k4,

2+/2+%4+2d+/升%%

所以8c中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2,A正確.

Kr一f=%一%=4=

因?yàn)椤癱—-一豆丁—一一

44

3jr

所以/的傾斜角為：，B正確.

4

設(shè)M（嘰0）,則/的方程為'=一V+加,

y=4x/口,

由，得y2+4y-4加=0.

x=-y+m

根據(jù)A=16（l+加）＞0,解得加〉—1,所以弘+%=-4,y^2=-4m,

貝！J忸C|二V2|為一％I=逝xy/l6+16m=41+加,

|A/S|-|MC|=V2^J-亞卜2卜2卜儼2卜8加|,所以4A歷xJ1+加=8同,

解得用=-1或加=1,即"點(diǎn)不一定為7的焦點(diǎn)，C錯(cuò)誤.

2

當(dāng)/在y軸上的截距小于3時(shí)，即-1＜加＜3.

因?yàn)辄c(diǎn)/至心的距離為^所以VN8C的面積為

V2

S=gxx4a+m=2x|3-m|Jl+加=（1+m）（m-3）2.

設(shè)函數(shù)〃（加）=（1+加）（加一3『，-1＜w＜3,則"（冽）=（3加一1卜（冽一3）,

答案第6頁，共16頁

令〃(機(jī))=0,得"？=］或加=3(舍去).

當(dāng)時(shí)，h'(m)>0,〃(m)在卜,\上單調(diào)遞增；

當(dāng)加34寸，h'(m)<0,〃(加)在3)上單調(diào)遞減，

所以加=；時(shí)，取得最大值磬，所以s的最大值為笥A,D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要先求出V/2C面積的表

達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求解其最大值.

12.1

【分析】先根據(jù)投影向量計(jì)算公式求出)石=-4，再結(jié)合已知條件和數(shù)量積以及模長的定

義即可求出X的值.

【詳解】由題得2在讓的投影向量為同cos伍力

所以不,又萬?/?=J^xO+Xx(—1)=W=—1,

所以-％=-1,解得4=1.

故答案為：1.

13.13

【分析】利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合已知求出q"=3,繼而化簡要，即可求得答

n

案.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛〃“｝的公比為4，由題意，顯然％>0,夕>0且gwl,

1一夕

%(W)

所以.二1+/'+q2"=1+3+9=13.

S"磯i-q)

i-q

故答案為：13

答案第7頁，共16頁

14.10

【分析】作出函數(shù)y=/(>)的圖象可得答案.

【詳解】作出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[0,2)上的圖象，

如圖，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)/(x)1mx=/⑴=1.

又當(dāng)xN2時(shí)，/(x)=2/(x-2),所以當(dāng)xN2時(shí)，〃x)=；〃x+2),

部分函數(shù)圖象如圖，由圖象可得占=1,x2=3,%=5,…，x“=2〃-l,

必=1,%=2,%=4,…，匕=21，即21=2加，即機(jī)=2"-241,1000],

解得24左411,即后=2,3,4,...?10,11,

故集合｛4外=/+l,l<m<1000,左eN*,〃?eN*｝中的元素個(gè)數(shù)為11-2+1-10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)y=f(%)的圖象是解題的關(guān)鍵點(diǎn).

15.(1)證明見解析

⑵6=4

【分析】(1)運(yùn)用二倍角公式，結(jié)合和角公式，正弦定理化簡即可；(2)運(yùn)用面積公式，結(jié)

合余弦定理計(jì)算即可.

【詳解】(1)由已知，得a(l-cosB)-6cos4=c-b,

由正弦定理，得sin/。-cos8)-sin8cos/=sinC-sin8,

即sinA+smB-(sin/cos8+sin8cos/)=sinC,

即sin4+sin8-sin(/+8)=sinC.

由4+B+C=TI,得sin(/+B)=sinC,

答案第8頁，共16頁

所以sin4+sin5=2sinC.由正弦定理，得Q+6=2C.

（2）因?yàn)?LqcsinB=—=4百，所以QC=16①.

ZA/tDC24

22222

由余弦定理，得/=a+c-2accosB，EPb=a+c-ac-

由（1）,得b=2c-a,所以。之+4。2-4“c=/+/-a。，

化簡，得。=。，代入①，得。=Q=4,所以6=4.

16.（1）證明見解析

⑵;或g

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明8C，平面尸/C；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面尸與平面/CF的法向量，利用

法向量夾角的余弦值公式求X的值.

【詳解】（1）由題意，得PC，尸所以/C=Jp/2+pc，=J（亞『+（拒j=2.

因?yàn)槠矫鍼/C_L平面尸8C,且平面尸4CPI平面PBC=PC,R4u平面PNC,

所以P/_L平面P8C,

因?yàn)镻Bu平面P8C,BCu平面PBC,所以尸N_L尸8,PA1BC.

=PA2+PB2=8,BPAB=272.

又因?yàn)閂/2C為等腰直角三角形，AC=2<AB,

所以/C=5C=2,AC1BC.

因?yàn)?u平面尸ZC,NCu平面P/C,PAC\AC=A,所以3C_L平面PNC,

又因?yàn)锽Cu平面N8C,所以平面48C_L平面B4C.

（2）取/C的中點(diǎn)O,的中點(diǎn)E,連接尸。，OE,

則OE//8C,ACLPO,所以/C_LOE.

由（1）知平面4BCJ_平面P/C,

因?yàn)槠矫?8CCI平面P/C=/C,POu平面尸NC,所以尸O_L平面43C.

因?yàn)镺￡u平面4BC,所以尸O_LOE,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

答案第9頁，共16頁

則P(O,O,1),^(-1,0,0),5(1,2,0),C(1,0,0).

所以后=(1,0,1),麗=(-1,-2,1),*=(2,0,0).

由而=2而=(-4-242),得下(1-42-242),

所以簫=(2-42-24幾).

設(shè)平面尸的法向量為加=(尤i，WZ1),

m-AP=0［尤［+4=0

則—，即。，n，

m-BP=0［一占-2%+4=0

令玉=1,則平面PAB的一個(gè)法向量為比=(1,T,T).

設(shè)平面/CF的法向量為力=（工2，%/2）,

n-AF=0

則_,即

nAC=0

令%=力，則平面/CF的一個(gè)法向量為亢=（0,九22-2）.

設(shè)平面P/B與平面/。尸的夾角為e,

\-fyi.司|2-32|姮

則cose=|cosm,n\=匕昌=——,—-,

\m\\n\V3XV5A2-8A+415

14

整理，得10萬734+4=0,解得幾=5或％

14

所以幾的值為5或小

17.（1）分布列見解析，期望2

⑵&

【分析】（1）由條件先求出/為奇數(shù)的概率，再確定X的可能取值，及取各值的概率，由

答案第10頁，共16頁

此可得分布列，結(jié)合期望公式求期望;

(2)求出事件"%=1,2,3,4)所含的基本事件，再利用古典概型概率公式求解.

【詳解】(1)由題易得，拋擲一枚骰子1次，出現(xiàn)為為奇數(shù)的概率為g,

出現(xiàn)為不是奇數(shù)的概率也為;，X的可能取值為0,1,2,3,4.

P(T=l)=Cix|x1

因?yàn)槭?X=0)=C；54

尸(X=2)=C；x尸(X=3)=C：x

1

尸(X=4)=C：x

16

x?2.

(2)記事件A為事件“%V%(，=1,2,3,4)”,

則事件A包含以下5種情況:

①拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同，有6種可能;

②拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有2個(gè)數(shù)字,有4xC，=60種可能;

③拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有3個(gè)數(shù)字,有6xC：=120種可能;

④拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有4個(gè)數(shù)字,有4x0=60種可能;

⑤拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有5個(gè)數(shù)字，有C；=6種可能,

6+60+120+60+67

所以「(/)=

216

7

即事件“q4a,+工=1,2,3,4)”的概率為0.

216

丫2

18.(1)±--/=1

答案第11頁，共16頁

（2）（i）直線號(hào)-抄。=1與雙曲線C相切；（ii）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)及雙曲線的定義可知.=百，再根據(jù)漸近線斜率設(shè)直線尸”與

PN方程，可得結(jié)合雙曲線方程可得6=1,即可得雙曲線方程;

（2）（i）聯(lián)立直線與曲線結(jié)合判別式可得直線與雙曲線位置關(guān)系；（ii）設(shè)直線方程，聯(lián)

立直線與雙曲線得。坐標(biāo)，再根據(jù)切線方程可得E,根據(jù)斜率相等即可得證三點(diǎn)共線.

【詳解】（1）如圖所示，

22

設(shè)尸（馬,孫），則烏一烏=1,

ab

不妨設(shè)直線P”的方程為y-處=夕》-馬），則直線PN的方程》-蘇=-加-馬）.

令x=0,得—馬+丁尸），0,—+ypj,

22

則|OMJON|=yp.抄+如^-＞；_與耳=-b--yx2=b=1.

aaaaa

設(shè)△片桃的內(nèi)切圓（圓心為/）分別與尸身，PF2,耳行切于點(diǎn)H,S,T,

則2a=||吶卡用=|附+歐卜附-典||=忸匐-陋卜幃|-附||=2博|,

所以T為。的頂點(diǎn)，所以〃，工軸，/的橫坐標(biāo)為±。，所以Q二百,

2

*+6x（）x—9—9）：—0,

2

結(jié)合焉-3■=3,f1x-2X0X+XQ=0,所以A=4片-4片=0.

所以直線號(hào)一班=1與C相切.

答案第12頁，共16頁

（ii）由題易得直線/B的斜率不為0,

設(shè)直線的方程為才=少+2,代入土一丁=1,

3

,、!?_3片0

得（廣—3）_V~+4（y+1=0,其中《/、,

、］公=16?一4'2-3）=12r+12＞0

設(shè)4（久1，為），8（＞2，＞2），則必+%=；?*；，%再+%=［弘+%）+4=一三=

2t

則“一M,一二］,研=+

產(chǎn)一3

由（i）,C在點(diǎn)A,3處的切線方程分別為苧-弘了=1,^-y2y=l.

兩代底立俎x=3(%f)=3(—)=3包f)=3

工'過再％-x?%包+2)%-(仇+2及2包f)2

=耳％一）2）=#一1=￡,即E

3（%一%）3（弘-%）2

所以后OE=§=k（）D,

故。，D,E三點(diǎn)共線.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去

x（或月建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等

量關(guān)系.

（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

2

19.(l)x-xy+/=6,(|OP|+|(9e|)min=4

⑵地

2

⑶(T，0)

答案第13頁，共16頁

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)0(x，W，根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可得曲線方程，結(jié)合曲線方程及基本不等

式可得最值.

(2)根據(jù)三角換元可得>="?sinO=4cosOsin3。|色V,法一?：設(shè)cos6=f0<?<—,

U2)I2J

結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得最值；法二：y2=-^x3cos20xsin20xsin20xsin20,結(jié)合多項(xiàng)不等式可得最

值.

(3)根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”定義可轉(zhuǎn)化為函數(shù)人(月=2Inx-(a+1)/-2ax+1,在區(qū)間(0,+司上有兩

個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與最值情況,進(jìn)而可得參數(shù)范圍.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)。(xj),則點(diǎn)。的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為尸(龍,-y),

Ax2+xy+y2=6,得x?+x(-y)+(-乃一=6,BP%2-xy+y2=6,

所以點(diǎn)。所在的曲線方程為/-初+/=6；

根據(jù)對稱性，|。尸則|。尸|+|。0|=2-0|=2&2+/,

2222

21X22

由J一初+/=6,又盯2一天，^x+y-6=xy>-,BPx+j/>4,

當(dāng)且僅當(dāng)'=-V且——初+/=6,

即x=V?，y=-叵或x=-6,>=亞時(shí)取等號(hào).

故當(dāng)％=后，y=-5或x=，k行時(shí)，(|。。|+|。。|%=4;

(2)設(shè)S(x,力,則根據(jù)對稱性，得卬|=23,

設(shè)f+y2=m2(m>0),x=mcosO,y=冽sin6(：V6<,

代入(J+j?)=4初2,得冽=4cosOsin?。，

所以歹二Msin6=4cosOsin362^'

、(03

方法一：令cos9=%0<t<—,則/⑺=4/(1-/)2,

2

所以/'(。=4(i-^)l+r|(i-z)r.曰)=-16卜〃"+LU9,

答案第14頁，共16頁

當(dāng)o</<；時(shí)，r(o>o；當(dāng)r(z)<o,

所以/'⑺在［o,￡|上單調(diào)遞增，在H上單調(diào)遞減,

所以”;是/(f)的最大值點(diǎn)，即/⑺.a、

故(⑼)