【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題05 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)之八大考點（解析版）

專題05二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)之八大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一把y=ax2+bx+c化成頂點式】 1【考點二畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象】 3【考點三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】 8【考點四求二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)】 11【考點五求二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)】 13【考點六已知二次函數(shù)上對稱的兩點求對稱軸】 14【考點七二次函數(shù)的平移】 15【考點八根據(jù)二次函數(shù)的增減性求最值】 17【過關(guān)檢測】 21【典型例題】【考點一把y=ax2+bx+c化成頂點式】例題：（2023秋·九年級課時練習(xí)）把二次函數(shù)通過配方化成的形式為，所以其圖象的開口向，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為．【答案】上【分析】根據(jù)配方法化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)可化為，∵，∴所以其圖象的開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，故答案為：，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)：頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線．【變式訓(xùn)練】1．把二次函數(shù)化為的形式是．【答案】【分析】利用配方法計算即可．【詳解】因為，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的配方法求頂點式，熟練掌握配方基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵．2．將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成的形式是．【答案】【分析】利用配方法，先提取二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方，湊出完全平方形式，再進行變形，整理，即可把一般式化為頂點式．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了將一般式化為頂點式，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．3．把化為的形式，，對稱軸是，頂點坐標(biāo)是．【答案】【分析】將利用配方法化成頂點式，即可求出對稱軸，頂點坐標(biāo)．【詳解】解：∵，∴，對稱軸是，頂點坐標(biāo)是；故答案為：；；【點睛】本題考查將二次函數(shù)的一般形式轉(zhuǎn)化成頂點式，掌握配方法，理解頂點式的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點二畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象】例題：（2023秋·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）已知：二次函數(shù)．(1)將函數(shù)關(guān)系式化為的形式，并指出函數(shù)圖像的對稱軸和頂點坐標(biāo)；(2)利用描點法畫出所給函數(shù)的圖像．x···0123···y······(3)當(dāng)時，觀察圖像，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為(2)見解析(3)【分析】（1）利用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案；（2）先列表，然后描點，最后連線即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為；（2）解：列表如下：x···0123···y···03430···函數(shù)圖象如下所示：（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查了把二次函數(shù)解析式化為頂點式，畫二次函數(shù)圖象，圖象法求函數(shù)值的取值范圍等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知拋物線．(1)該拋物線的對稱軸是_______，頂點坐標(biāo)_______；(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點畫出該拋物線的圖象；…………(3)若該拋物線上兩點，的橫坐標(biāo)滿足，試比較與的大?。敬鸢浮?1)，(2)填表見解析，畫圖見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸，代入對稱軸的值即可求解頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線自變量的取值范圍，適當(dāng)選取自變量的值，計算函數(shù)值，并在平面直角坐標(biāo)系中描點，連線即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像的特點即可求解．【詳解】（1）解：拋物線中，，∴對稱軸為，頂點坐標(biāo)公式中橫坐標(biāo)為，∴頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的值為，∴頂點坐標(biāo)為，故答案為：，．（2）解：拋物線中自變量的取值范圍為全體實數(shù)，自變量適當(dāng)如圖所示（答案不唯一），…………描點、連線如圖所示，（3）解：由（2）可知，當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∴橫坐標(biāo)滿足時，兩點，中，∴當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合知識，掌握二次函數(shù)中對稱軸的計算方法，頂點的計算方法，繪圖的方法，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)．(1)用配方法求這個二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中（如圖），畫出這個二次函數(shù)的圖像；(3)請描述這個二次函數(shù)圖像的變化趨勢．【答案】(1)頂點坐標(biāo)(2)見解析(3)這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出答案；（2）先求出幾個特殊的點，然后描點連線即可；（3）根據(jù)（2）函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：（1）∴二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；（2）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)過點，，頂點坐標(biāo)為：圖像如圖所示：（3）解：這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及作圖方法，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·九年級統(tǒng)考期末）小明用描點法畫拋物線．(1)請幫小明完成下面的表格，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中描點，連線從而畫出此拋物線；x…012345……0…(2)直接寫出拋物線的對稱軸，頂點坐標(biāo)．【答案】(1)，1，0，繪圖見解析(2)拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為【分析】（1）將分別代入函數(shù)解析式中，求出相應(yīng)的y的值即可；（2）根據(jù)（1）中的圖象，可以直接寫出拋物線的對稱軸，頂點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；補全表格如下∶x…012345……01

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…拋物線如圖所示；（2）解：由圖象得，該拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（

）A．開口向下 B．頂點坐標(biāo)是C．對稱軸是直線 D．當(dāng)時，有最大值是【答案】B【分析】將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵，∴由知拋物線開口向上，故選項錯誤；∵頂點坐標(biāo)是，故選項正確；∵對稱軸是直線，故選項錯誤；∵當(dāng)時，取得最小值2，無最大值，故選項錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學(xué)考試）表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值：x…013…y…6…下列各選項中，正確的是（）A．這個函數(shù)的最小值為 B．這個函數(shù)的圖象開口向下C．這個函數(shù)的圖象與x軸無交點 D．當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大【答案】D【分析】利用表中的數(shù)據(jù)，求得二次函數(shù)的解析式，再配成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析即可判斷．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，依題意得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∵，∴這個函數(shù)的圖象開口向上，故B選項錯誤，不符合題意；∵，∴這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，故C選項不正確，不符合題意；∵，∴當(dāng)時，這個函數(shù)有最小值，故A選項不正確，不符合題意；∵這個函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為，開口向上，∴當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，∴當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，故D選項正確，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時，y隨x的增大而減小；④當(dāng)時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當(dāng)時，拋物線與x軸無交點，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當(dāng)時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是(

)A．點在該函數(shù)的圖象上B．當(dāng)且時，C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點D．當(dāng)時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的左側(cè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，當(dāng)時：，∵，∴，即：點不在該函數(shù)的圖象上，故A選項錯誤；當(dāng)時，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，，∴當(dāng)時，有最大值為，當(dāng)時，有最小值為，∴，故B選項錯誤；∵，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；當(dāng)時，拋物線的對稱軸為：，∴該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的右側(cè)，故選項D錯誤；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【考點四求二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強學(xué)校?？家荒＃佄锞€與軸交點坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】令，求出x的值，進而拋物線與x軸的交點坐標(biāo)．【詳解】解：令，即，解得則拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為,故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，是基礎(chǔ)題，掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點的求法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為_________．【答案】【分析】令，解方程即可求解．【詳解】解：令，得，解得：，∴二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)圖象與軸的交點，根據(jù)題意解方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)的圖象交x軸于點A，B．則點的距離為________．【答案】10【分析】令，可得方程，解方程即可求解．【詳解】解：令，則，解得，，∴，，∴．故答案為：10．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)的問題，掌握一元二次方程的求解方法是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）拋物線與軸的交點坐標(biāo)是______，與軸的交點坐標(biāo)是______________________．【答案】，【分析】根據(jù)題意，令，然后求出的值，即可以得到拋物線與軸的交點坐標(biāo)；令，求出的值，即可求出拋物線與軸交點的坐標(biāo)．【詳解】解：令，得，拋物線與軸的交點坐標(biāo)是：，令，即，解得，，所以拋物線與軸交點的坐標(biāo)是，．故答案為：；，．【點睛】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點的知識，難度不大．【考點五求二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)】例題：（2023·上?！ひ荒＃佄锞€與y軸交點的坐標(biāo)為____．【答案】【分析】把代入拋物線，即得拋物線與軸的交點．【詳解】解：當(dāng)時，拋物線與軸相交，把代入，求得，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，比較簡單，掌握軸上點的橫坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為______．【答案】【分析】計算自變量為0所對應(yīng)的函數(shù)值可得到拋物線與y軸的交點坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)時，，所以拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．2．（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象與軸交點坐標(biāo)是________．【答案】【分析】令，求出對應(yīng)的函數(shù)值y，即可解答．【詳解】解：當(dāng)時，，∴二次函數(shù)的圖象與軸交點坐標(biāo)是．故答案為：．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)．掌握求拋物線與y軸交點坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．【考點六已知二次函數(shù)上對稱的兩點求對稱軸】例題：（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┮阎獟佄锞€經(jīng)過點、，那么此拋物線的對稱軸是______．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線上兩點的縱坐標(biāo)相等可知兩點關(guān)于對稱軸對稱，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出這兩點橫坐標(biāo)的中點坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵點、的縱坐標(biāo)都是6，∴拋物線的對稱軸為直線，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出拋物線上的兩點坐標(biāo)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若，在拋物線上，則m的值為_______________．【答案】1【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可求解．【詳解】解：因為點，的縱坐標(biāo)相同，都是5所以對稱軸為直線故m的值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)圖象的對稱性是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·貴州黔東南·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的x、y的部分對應(yīng)值如下表所示：x…012…y…04664…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線___________．【答案】【分析】根據(jù)圖表找出函數(shù)值相等時對應(yīng)的自變量即可求出對稱軸．【詳解】解：由圖表可知：時，，時，，二次函數(shù)的對稱軸為，故答案為：．【點睛】題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點七二次函數(shù)的平移】例題：（2023·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）把函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度平移后圖象的函數(shù)解析式為___________．【答案】【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進而求出即可．【詳解】的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得．故答案為：．【點睛】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．掌握此規(guī)律解題是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東佛山·?？既＃佄锞€先向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式是______．【答案】【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移原則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，掌握函數(shù)平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）將二次函數(shù)的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為_______．【答案】12【分析】先根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減得出平移后的拋物線的解析式，再求解新函數(shù)與y軸交點的縱坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵，∴將此二次函數(shù)向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新二次函數(shù)為，當(dāng)時，；∴新函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為12；故答案為：12．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，熟知拋物線的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）把拋物線先向左移動2個單位，在向下移動4個單位，所得到的新的拋物線的頂點坐標(biāo)為____________．【答案】【分析】根據(jù)上加下減，左加右減的規(guī)律即可求解．【詳解】解：拋物線平移后解析式為，即，所以新的拋物線的頂點坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的平移與求頂點坐標(biāo)，需掌握以下兩點：1.拋物線的平移規(guī)律是上加下減，左加右減；2.拋物線的頂點式解析式為，其中頂點為．【考點八根據(jù)二次函數(shù)的增減性求最值】例題：（2023春·浙江杭州·九年級杭州市杭州中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的最大值是___________，最小值是___________．【答案】51【分析】先把解析式配成頂點式得到，由于，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得時，y的值最大；當(dāng)時，y有最小值，然后分別計算對應(yīng)的函數(shù)值．【詳解】解：，當(dāng)時，y有最小值1，∵，∴時，y的值最大，最大值為5；當(dāng)時，y有最小值1，故答案為：5；1．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，根據(jù)頂點式求出最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值是______，最大值是______．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在范圍內(nèi)求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，，當(dāng)時，，即二次函數(shù)的最小值是；到的距離為；到的距離為，當(dāng)時，代入得，即二次函數(shù)的最大值是；時，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：，．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┮阎魏瘮?shù).（1）當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為________；（2）當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為1，則________.【答案】或【分析】（1）將代入，再把解析式為變形為頂點式，即可求得二次函數(shù)最小值；（2）先求拋物線的對稱軸為：，分三種情況：當(dāng)時，即時，此時在對稱軸的右側(cè)，當(dāng)時，即時，此時對稱軸在內(nèi)，③當(dāng)時，即時，此時在對稱軸的左側(cè)，分別討論增減性，找何時取最小值，代入得關(guān)于的方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，∵，則開口向上，∴二次函數(shù)的最小值為，故答案為：；（2）二次函數(shù)，則對稱軸為：，分三種情況：①當(dāng)時，即時，此時在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時，有最小值，，解得：；②當(dāng)時，即時，此時對稱軸在內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大，∴當(dāng)時，有最小值，，解得：；∵，∴，③當(dāng)時，即時，此時在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時，有最小值，，解得：（舍去）；綜上所述，或；故答案為：或【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，是?？碱}型；但本題比較復(fù)雜，運用了分類討論的思想，做好此類題要掌握以下幾點：形如二次函數(shù)：①當(dāng)時，拋物線有最小值，當(dāng)時，；②當(dāng)時，對稱軸右側(cè)，隨的增大而增大，對稱軸的左側(cè)，隨的增大而減?。虎廴绻宰兞吭谀骋环秶鷥?nèi)求最值，要看對稱軸，開口方向及圖象．3．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)，（1）當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值為______．（2）當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值為6，則的值為______．【答案】18或【分析】（1）將代入，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求得拋物線的對稱軸，再分情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，當(dāng)時，函數(shù)有最大值1，故答案為：1；（2）解：，拋物線開口向下，對稱軸為直線，①當(dāng)時，即時，，在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，當(dāng)時，有最大值為6，，解得：；②當(dāng)時，即時，當(dāng)時，有最大值為6，，解得：，，（不合題意，舍去），③當(dāng)時，即時，，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，當(dāng)時，有最大值為6，，解得：，綜上所述，的值為8或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習(xí)）把二次函數(shù)用配方法化成的形式應(yīng)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點式．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考期中）拋物線的頂點坐標(biāo)是()A． B． C． D．【答案】C【分析】將化為頂點式，即可求解．【詳解】解：∴頂點坐標(biāo)為，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法化為頂點式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象向右平移3個單位，向下平移2個單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象向右平移減，向下平移減平移規(guī)律，可得答案．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象平移規(guī)律是左加右減，上加下減，掌握這一規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·遼寧大連·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．與x軸有兩個重合的交點C．對稱軸是直線 D．當(dāng)時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式即可判斷；【詳解】解：∵，∴頂點坐標(biāo)，對稱軸，∵，∴開口向上，拋物線的頂點在x軸上，∴A、B、C正確，故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·廣東東莞·九年級東莞市東華初級中學(xué)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)(a為常數(shù)，且)的圖象上有三點則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∵，∴函數(shù)圖象開口向上，∵，點在二次函數(shù)(a為常數(shù)，且)的圖象上，∴．故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）設(shè)拋物線經(jīng)過點，則．【答案】【分析】將點代入函數(shù)解析式求解即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸經(jīng)過點，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查拋物線上的點的特征求未知數(shù)，理解題意是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·黑龍江綏化·九年級?？计谥校佄锞€的開口方向向，對稱軸是，最高點的坐標(biāo)是．【答案】下直線【分析】把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后分別解答即可．【詳解】解：，開口方向向下，對稱軸是直線，最高點的坐標(biāo)是．故答案為：下，直線，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要是開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)的求解，把函數(shù)解析式整理成頂點式求解更簡便．8．（2023秋·廣西崇左·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）將拋物線向右平移1個單位，所得拋物線的表達(dá)式為．【答案】【分析】先化為頂點式，再根據(jù)平移規(guī)則：左加右減，進行求解即可．【詳解】解：，向右平移1個單位，所得拋物線的表達(dá)式為；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握平移規(guī)則，是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點，，在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是用“”連接．【答案】【分析】先求得拋物線開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性判斷即可．【詳解】解：二次函數(shù)中，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨的增大而減小，點與點關(guān)于直線對稱，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．10．（2023秋·遼寧沈陽·九年級東北育才雙語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大，的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握其圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、問答題11．（2023秋·天津河?xùn)|·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)求出函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)；(2)寫出圖象的對稱軸；(3)寫出圖象的開口方向；(4)寫出當(dāng)自變量x取何值時，y隨x的增大而減?。敬鸢浮?1)(2)直線(3)向上(4)【分析】（1）將解析式化成頂點式求解即可；（2）根據(jù)頂點式求解即可；（3）根據(jù)，判斷作答即可；（4）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)為；（2）解：由（1）可知，對稱軸為直線；（3）解：由（1）可知，，∴圖象的開口向上；（4）解：由圖象開口向上，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減?。军c睛】本題考查了二次函數(shù)頂點式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．12．（2023秋·北京海淀·九年級人大附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，在拋物線上．(1)①若，求a的值；②若，比較m，n的大小，并說明理由；(2)已知點，也在該拋物線上，若當(dāng)時，都有，求a的取值范圍．【答案】(1)①；，理由見解析(2)【分析】（1）①把點，代入解析式得，，，再由，可得，求解即可；②由①可得，，作差得，再由，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)對稱軸為，，即開口向上，可得離對稱軸遠(yuǎn)的點y值越大，由在當(dāng)時，都有，可得P點離對稱軸的M點遠(yuǎn)，即，Q點比P點離對稱軸遠(yuǎn)，即，N點比Q點離對稱軸遠(yuǎn)，，分別求解即可．【詳解】（1）解：①∵點，在拋物線，∴，，∵，∴，解得；②∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴對稱軸為，，即開口向上，∴離對稱軸遠(yuǎn)的點y值越大，設(shè)，、，，在當(dāng)時，都有，則P點離對稱軸的M點遠(yuǎn)，即，即，∴，∴，當(dāng)時，，則Q點比P點離對稱軸遠(yuǎn)，即，∴，∴或，∴或，則在時，都滿足或，∵，則N點比Q點離對稱軸遠(yuǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，則，即，在時，成立，∴，即，綜上所述，．【點睛】本題考查二次函數(shù)上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、比較二次函數(shù)的函數(shù)值及兩點間的距離公式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·北京·九年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，在拋物線（）上．(1)若點在此拋物線上．①求該拋物線的對稱軸；②若，當(dāng)時，則的取值范圍為______．(2)當(dāng)，時，總有，求的取值范圍．【答案】(1)直線；或；(2)【分析】（1）①點代入拋物線解析式即可求解；②根據(jù)函數(shù)解析式得拋物線開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)，y值越小，結(jié)合即可解答；（2）根據(jù)，表示出，結(jié)合即可算出的取值范圍；【詳解】（1）點在此拋物線上，將點代入拋物線解析式可得到：，故拋物線解析式為：；①故該拋物線的對稱軸為：，②當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)，y值越小，故或；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵，；【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵：理解并掌是二次函數(shù)的基本性質(zhì)．14．（2023秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)，時，①求該函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)．②當(dāng)時，求y的取值范圍．(2)當(dāng)時，y的最大值為4；當(dāng)時，y的最大值為2，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(