【學霸滿分】2023-2024學年九年級數學下冊重難點專題提優(yōu)訓練（北師大版）專題05 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質之八大考點（解析版）

專題05二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質之八大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一把y=ax2+bx+c化成頂點式】 1【考點二畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象】 3【考點三二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質】 8【考點四求二次函數與x軸的交點坐標】 11【考點五求二次函數與y軸的交點坐標】 13【考點六已知二次函數上對稱的兩點求對稱軸】 14【考點七二次函數的平移】 15【考點八根據二次函數的增減性求最值】 17【過關檢測】 21【典型例題】【考點一把y=ax2+bx+c化成頂點式】例題：（2023秋·九年級課時練習）把二次函數通過配方化成的形式為，所以其圖象的開口向，對稱軸為直線，頂點坐標為．【答案】上【分析】根據配方法化為頂點式，再根據二次函數的性質求解即可．【詳解】解：二次函數可化為，∵，∴所以其圖象的開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，故答案為：，，．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，解答的關鍵是熟練掌握二次函數的性質：頂點坐標為，對稱軸為直線．【變式訓練】1．把二次函數化為的形式是．【答案】【分析】利用配方法計算即可．【詳解】因為，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的配方法求頂點式，熟練掌握配方基本要領是解題的關鍵．2．將二次函數轉化成的形式是．【答案】【分析】利用配方法，先提取二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方，湊出完全平方形式，再進行變形，整理，即可把一般式化為頂點式．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了將一般式化為頂點式，掌握配方法是解題的關鍵．3．把化為的形式，，對稱軸是，頂點坐標是．【答案】【分析】將利用配方法化成頂點式，即可求出對稱軸，頂點坐標．【詳解】解：∵，∴，對稱軸是，頂點坐標是；故答案為：；；【點睛】本題考查將二次函數的一般形式轉化成頂點式，掌握配方法，理解頂點式的圖象與性質是解題的關鍵．【考點二畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象】例題：（2023秋·遼寧大連·九年級統考期末）已知：二次函數．(1)將函數關系式化為的形式，并指出函數圖像的對稱軸和頂點坐標；(2)利用描點法畫出所給函數的圖像．x···0123···y······(3)當時，觀察圖像，直接寫出函數值y的取值范圍．【答案】(1)，對稱軸為直線，頂點坐標為(2)見解析(3)【分析】（1）利用配方法將二次函數解析式化為頂點式即可得到答案；（2）先列表，然后描點，最后連線即可；（3）根據函數圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數解析式為，∴二次函數對稱軸為直線，頂點坐標為；（2）解：列表如下：x···0123···y···03430···函數圖象如下所示：（3）解：由函數圖象可知，當時，．【點睛】本題主要考查了把二次函數解析式化為頂點式，畫二次函數圖象，圖象法求函數值的取值范圍等等，熟知二次函數的相關知識是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知拋物線．(1)該拋物線的對稱軸是_______，頂點坐標_______；(2)選取適當的數據填入下表，并在圖中的直角坐標系內描點畫出該拋物線的圖象；…………(3)若該拋物線上兩點，的橫坐標滿足，試比較與的大?。敬鸢浮?1)，(2)填表見解析，畫圖見詳解(3)【分析】（1）根據拋物線的對稱軸，代入對稱軸的值即可求解頂點坐標；（2）根據拋物線自變量的取值范圍，適當選取自變量的值，計算函數值，并在平面直角坐標系中描點，連線即可；（3）根據函數圖像的特點即可求解．【詳解】（1）解：拋物線中，，∴對稱軸為，頂點坐標公式中橫坐標為，∴頂點坐標的縱坐標的值為，∴頂點坐標為，故答案為：，．（2）解：拋物線中自變量的取值范圍為全體實數，自變量適當如圖所示（答案不唯一），…………描點、連線如圖所示，（3）解：由（2）可知，當時，函數值隨自變量的增大而增大，∴橫坐標滿足時，兩點，中，∴當時，．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合知識，掌握二次函數中對稱軸的計算方法，頂點的計算方法，繪圖的方法，二次函數圖像的性質是解題的關鍵．2．（2023·上海松江·統考一模）已知二次函數．(1)用配方法求這個二次函數的頂點坐標；(2)在所給的平面直角坐標系中（如圖），畫出這個二次函數的圖像；(3)請描述這個二次函數圖像的變化趨勢．【答案】(1)頂點坐標(2)見解析(3)這個二次函數圖像在對稱軸直線左側部分是下降的，右側部分是上升的【分析】（1）將函數解析式化為頂點式，即可得出答案；（2）先求出幾個特殊的點，然后描點連線即可；（3）根據（2）函數圖像，即可得出結果．【詳解】（1）解：（1）∴二次函數的頂點坐標；（2）解：當時，，當時，，經過點，，頂點坐標為：圖像如圖所示：（3）解：這個二次函數圖像在對稱軸直線左側部分是下降的，右側部分是上升的．【點睛】本題主要考查二次函數的基本性質及作圖方法，熟練掌握二次函數的基本性質是解題關鍵．3．（2023秋·九年級統考期末）小明用描點法畫拋物線．(1)請幫小明完成下面的表格，并根據表中數據在所給的平面直角坐標系中描點，連線從而畫出此拋物線；x…012345……0…(2)直接寫出拋物線的對稱軸，頂點坐標．【答案】(1)，1，0，繪圖見解析(2)拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為【分析】（1）將分別代入函數解析式中，求出相應的y的值即可；（2）根據（1）中的圖象，可以直接寫出拋物線的對稱軸，頂點坐標．【詳解】（1）解：∵，∴當時，；當時，；當時，；補全表格如下∶x…012345……01

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…拋物線如圖所示；（2）解：由圖象得，該拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖形和性質，熟練掌握二次函數的圖形和性質是解題的關鍵．【考點三二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）對于二次函數的圖象，下列說法正確的是（

）A．開口向下 B．頂點坐標是C．對稱軸是直線 D．當時，有最大值是【答案】B【分析】將二次函數的一般式轉化為二次函數的頂點式，再根據二次函數的性質即可解答．【詳解】解：∵，∴由知拋物線開口向上，故選項錯誤；∵頂點坐標是，故選項正確；∵對稱軸是直線，故選項錯誤；∵當時，取得最小值2，無最大值，故選項錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，學會將二次函數的一般式轉化為二次函數的頂點式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值：x…013…y…6…下列各選項中，正確的是（）A．這個函數的最小值為 B．這個函數的圖象開口向下C．這個函數的圖象與x軸無交點 D．當時，y的值隨x值的增大而增大【答案】D【分析】利用表中的數據，求得二次函數的解析式，再配成頂點式，根據二次函數的性質逐一分析即可判斷．【詳解】解：設二次函數的解析式為，依題意得，解得，∴二次函數的解析式為，∵，∴這個函數的圖象開口向上，故B選項錯誤，不符合題意；∵，∴這個函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，故C選項不正確，不符合題意；∵，∴當時，這個函數有最小值，故A選項不正確，不符合題意；∵這個函數的圖象的頂點坐標為，開口向上，∴當時，y的值隨x值的增大而增大，∴當時，y的值隨x值的增大而增大，故D選項正確，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的性質，利用二次函數的性質解答是解題的關鍵．2．（2023·江蘇揚州·統考中考真題）已知二次函數（a為常數，且），下列結論：①函數圖像一定經過第一、二、四象限；②函數圖像一定不經過第三象限；③當時，y隨x的增大而減小；④當時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據二次函數的圖象與性質進行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數圖象必經過第一、二象限，又∵，∵，∴，當時，拋物線與x軸無交點，二次函數圖象只經過第一、二象限，當時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數圖象經過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數圖象與各項系數符號之間的關系是解題的關鍵．3．（2023·浙江寧波·統考中考真題）已知二次函數，下列說法正確的是(

)A．點在該函數的圖象上B．當且時，C．該函數的圖象與x軸一定有交點D．當時，該函數圖象的對稱軸一定在直線的左側【答案】C【分析】根據二次函數的圖象和性質，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，當時：，∵，∴，即：點不在該函數的圖象上，故A選項錯誤；當時，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，∵，，∴當時，有最大值為，當時，有最小值為，∴，故B選項錯誤；∵，∴該函數的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；當時，拋物線的對稱軸為：，∴該函數圖象的對稱軸一定在直線的右側，故選項D錯誤；故選C．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質．熟練掌握二次函數的性質，是解題的關鍵．【考點四求二次函數與x軸的交點坐標】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強學校?？家荒＃佄锞€與軸交點坐標為__________．【答案】【分析】令，求出x的值，進而拋物線與x軸的交點坐標．【詳解】解：令，即，解得則拋物線與x軸的交點坐標為,故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，是基礎題，掌握拋物線與坐標軸的交點的求法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·浙江杭州·九年級統考期末）二次函數圖象與軸的交點坐標為_________．【答案】【分析】令，解方程即可求解．【詳解】解：令，得，解得：，∴二次函數圖象與軸的交點坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了求二次函數圖象與軸的交點，根據題意解方程是解題的關鍵．2．（2023·山東棗莊·?？寄M預測）二次函數的圖象交x軸于點A，B．則點的距離為________．【答案】10【分析】令，可得方程，解方程即可求解．【詳解】解：令，則，解得，，∴，，∴．故答案為：10．【點睛】本題考查了二次函數與x軸交點坐標的問題，掌握一元二次方程的求解方法是解答本題的關鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）拋物線與軸的交點坐標是______，與軸的交點坐標是______________________．【答案】，【分析】根據題意，令，然后求出的值，即可以得到拋物線與軸的交點坐標；令，求出的值，即可求出拋物線與軸交點的坐標．【詳解】解：令，得，拋物線與軸的交點坐標是：，令，即，解得，，所以拋物線與軸交點的坐標是，．故答案為：；，．【點睛】本題主要考查了拋物線與坐標軸交點的知識，難度不大．【考點五求二次函數與y軸的交點坐標】例題：（2023·上?！ひ荒＃佄锞€與y軸交點的坐標為____．【答案】【分析】把代入拋物線，即得拋物線與軸的交點．【詳解】解：當時，拋物線與軸相交，把代入，求得，拋物線與軸的交點坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，比較簡單，掌握軸上點的橫坐標為0是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統考期末）拋物線與y軸的交點坐標為______．【答案】【分析】計算自變量為0所對應的函數值可得到拋物線與y軸的交點坐標．【詳解】解：當時，，所以拋物線與y軸的交點坐標為．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．2．（2023春·湖南永州·九年級統考期中）二次函數的圖象與軸交點坐標是________．【答案】【分析】令，求出對應的函數值y，即可解答．【詳解】解：當時，，∴二次函數的圖象與軸交點坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了求二次函數圖象與y軸的交點坐標．掌握求拋物線與y軸交點坐標的方法是解題的關鍵．【考點六已知二次函數上對稱的兩點求對稱軸】例題：（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┮阎獟佄锞€經過點、，那么此拋物線的對稱軸是______．【答案】【分析】先根據拋物線上兩點的縱坐標相等可知兩點關于對稱軸對稱，再根據中點坐標公式求出這兩點橫坐標的中點坐標即可．【詳解】解：∵點、的縱坐標都是6，∴拋物線的對稱軸為直線，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的性質，根據題意判斷出拋物線上的兩點坐標的關系是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學?？奸_學考試）若，在拋物線上，則m的值為_______________．【答案】1【分析】根據拋物線的對稱性即可求解．【詳解】解：因為點，的縱坐標相同，都是5所以對稱軸為直線故m的值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數圖象的對稱性是解題的關鍵．2．（2023秋·貴州黔東南·九年級統考期末）已知二次函數的x、y的部分對應值如下表所示：x…012…y…04664…則該二次函數圖象的對稱軸為直線___________．【答案】【分析】根據圖表找出函數值相等時對應的自變量即可求出對稱軸．【詳解】解：由圖表可知：時，，時，，二次函數的對稱軸為，故答案為：．【點睛】題考查二次函數的性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數的性質，本題屬于基礎題型．【考點七二次函數的平移】例題：（2023·廣東江門·統考模擬預測）把函數的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度平移后圖象的函數解析式為___________．【答案】【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進而求出即可．【詳解】的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得．故答案為：．【點睛】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．掌握此規(guī)律解題是本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·廣東佛山·?？既＃佄锞€先向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式是______．【答案】【分析】根據“左加右減、上加下減”的平移原則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的平移，掌握函數平移規(guī)律是解題的關鍵．2．（2023·黑龍江牡丹江·統考二模）將二次函數的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新圖象與y軸交點的縱坐標為_______．【答案】12【分析】先根據拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減得出平移后的拋物線的解析式，再求解新函數與y軸交點的縱坐標即可．【詳解】解：∵，∴將此二次函數向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新二次函數為，當時，；∴新函數圖象與y軸交點的縱坐標為12；故答案為：12．【點睛】本題主要考查了二次函數的平移，熟知拋物線的平移規(guī)律是解題的關鍵．3．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）把拋物線先向左移動2個單位，在向下移動4個單位，所得到的新的拋物線的頂點坐標為____________．【答案】【分析】根據上加下減，左加右減的規(guī)律即可求解．【詳解】解：拋物線平移后解析式為，即，所以新的拋物線的頂點坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的平移與求頂點坐標，需掌握以下兩點：1.拋物線的平移規(guī)律是上加下減，左加右減；2.拋物線的頂點式解析式為，其中頂點為．【考點八根據二次函數的增減性求最值】例題：（2023春·浙江杭州·九年級杭州市杭州中學校考階段練習）二次函數的最大值是___________，最小值是___________．【答案】51【分析】先把解析式配成頂點式得到，由于，根據二次函數的性質得時，y的值最大；當時，y有最小值，然后分別計算對應的函數值．【詳解】解：，當時，y有最小值1，∵，∴時，y的值最大，最大值為5；當時，y有最小值1，故答案為：5；1．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的增減性，根據頂點式求出最小值．【變式訓練】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）二次函數的最小值是______，最大值是______．【答案】1【分析】根據二次函數圖像與性質，在范圍內求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，，當時，，即二次函數的最小值是；到的距離為；到的距離為，當時，代入得，即二次函數的最大值是；時，函數的最小值為，最大值為，故答案為：，．【點睛】本題考查二次函數圖像與性質，熟練掌握二次函數最值求法是解決問題的關鍵．2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學?？家荒＃┮阎魏瘮?（1）當時，二次函數的最小值為________；（2）當時，二次函數的最小值為1，則________.【答案】或【分析】（1）將代入，再把解析式為變形為頂點式，即可求得二次函數最小值；（2）先求拋物線的對稱軸為：，分三種情況：當時，即時，此時在對稱軸的右側，當時，即時，此時對稱軸在內，③當時，即時，此時在對稱軸的左側，分別討論增減性，找何時取最小值，代入得關于的方程求解即可．【詳解】解：（1）當時，，∵，則開口向上，∴二次函數的最小值為，故答案為：；（2）二次函數，則對稱軸為：，分三種情況：①當時，即時，此時在對稱軸的右側，隨的增大而增大，∴當時，有最小值，，解得：；②當時，即時，此時對稱軸在內，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，∴當時，有最小值，，解得：；∵，∴，③當時，即時，此時在對稱軸的左側，隨的增大而減小，∴當時，有最小值，，解得：（舍去）；綜上所述，或；故答案為：或【點睛】本題考查了二次函數的最值問題，是?？碱}型；但本題比較復雜，運用了分類討論的思想，做好此類題要掌握以下幾點：形如二次函數：①當時，拋物線有最小值，當時，；②當時，對稱軸右側，隨的增大而增大，對稱軸的左側，隨的增大而減??；③如果自變量在某一范圍內求最值，要看對稱軸，開口方向及圖象．3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函數，（1）當時，二次函數的最大值為______．（2）當時，二次函數的最大值為6，則的值為______．【答案】18或【分析】（1）將代入，再根據二次函數的性質求解即可；（2）先求得拋物線的對稱軸，再分情況討論：①當時，②當時，當時，根據二次函數的性質，得到關于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，當時，函數有最大值1，故答案為：1；（2）解：，拋物線開口向下，對稱軸為直線，①當時，即時，，在對稱軸右側，隨的增大而減小，當時，有最大值為6，，解得：；②當時，即時，當時，有最大值為6，，解得：，，（不合題意，舍去），③當時，即時，，在對稱軸左側，隨的增大而增大，當時，有最大值為6，，解得：，綜上所述，的值為8或．【點睛】本題考查了二次函數的最值，確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標，當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）把二次函數用配方法化成的形式應為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用配方法把二次函數一般式化為頂點式．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數的三種形式，正確利用配方法把二次函數一般式化為頂點式是解題的關鍵．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯考期中）拋物線的頂點坐標是()A． B． C． D．【答案】C【分析】將化為頂點式，即可求解．【詳解】解：∴頂點坐標為，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握配方法化為頂點式是解題的關鍵．3．（2023秋·浙江杭州·九年級校聯考階段練習）二次函數的圖象向右平移3個單位，向下平移2個單位，得到新的圖象的函數表達式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數圖象向右平移減，向下平移減平移規(guī)律，可得答案．【詳解】解：二次函數的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的圖象的函數表達式是，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，函數圖象平移規(guī)律是左加右減，上加下減，掌握這一規(guī)律是解題的關鍵．4．（2023秋·遼寧大連·九年級統考階段練習）關于拋物線，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．與x軸有兩個重合的交點C．對稱軸是直線 D．當時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據二次函數表達式即可判斷；【詳解】解：∵，∴頂點坐標，對稱軸，∵，∴開口向上，拋物線的頂點在x軸上，∴A、B、C正確，故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的圖像和性質，掌握相關知識是解題的關鍵．5．（2023秋·廣東東莞·九年級東莞市東華初級中學?？计谥校┮阎魏瘮?a為常數，且)的圖象上有三點則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二次函數的圖象和性質，即可求解．【詳解】解：根據題意得：二次函數圖象的對稱軸為直線，∵，∴函數圖象開口向上，∵，點在二次函數(a為常數，且)的圖象上，∴．故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．二、填空題6．（2023秋·湖南長沙·九年級校聯考期中）設拋物線經過點，則．【答案】【分析】將點代入函數解析式求解即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸經過點，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查拋物線上的點的特征求未知數，理解題意是解題關鍵．7．（2023秋·黑龍江綏化·九年級校考期中）拋物線的開口方向向，對稱軸是，最高點的坐標是．【答案】下直線【分析】把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后分別解答即可．【詳解】解：，開口方向向下，對稱軸是直線，最高點的坐標是．故答案為：下，直線，．【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要是開口方向、對稱軸和頂點坐標的求解，把函數解析式整理成頂點式求解更簡便．8．（2023秋·廣西崇左·九年級校聯考階段練習）將拋物線向右平移1個單位，所得拋物線的表達式為．【答案】【分析】先化為頂點式，再根據平移規(guī)則：左加右減，進行求解即可．【詳解】解：，向右平移1個單位，所得拋物線的表達式為；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數圖象的平移．熟練掌握平移規(guī)則，是解題的關鍵．9．（2023秋·浙江嘉興·九年級校聯考階段練習）已知點，，在二次函數的圖象上，則，，的大小關系是用“”連接．【答案】【分析】先求得拋物線開口方向和對稱軸，然后根據二次函數的對稱性和增減性判斷即可．【詳解】解：二次函數中，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時，隨的增大而減小，點與點關于直線對稱，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象與性質．10．（2023秋·遼寧沈陽·九年級東北育才雙語學校?？茧A段練習）已知二次函數，當時，隨的增大而增大，的取值范圍是．【答案】【分析】根據二次函數的圖象及性質可列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質，熟練掌握其圖象及性質是解題的關鍵．三、問答題11．（2023秋·天津河東·九年級?？茧A段練習）已知二次函數．(1)求出函數圖象頂點坐標；(2)寫出圖象的對稱軸；(3)寫出圖象的開口方向；(4)寫出當自變量x取何值時，y隨x的增大而減?。敬鸢浮?1)(2)直線(3)向上(4)【分析】（1）將解析式化成頂點式求解即可；（2）根據頂點式求解即可；（3）根據，判斷作答即可；（4）根據二次函數的圖象與性質作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴函數圖象頂點坐標為；（2）解：由（1）可知，對稱軸為直線；（3）解：由（1）可知，，∴圖象的開口向上；（4）解：由圖象開口向上，對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而減?。军c睛】本題考查了二次函數頂點式，二次函數的圖象與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．12．（2023秋·北京海淀·九年級人大附中校考階段練習）在平面直角坐標系中，點，在拋物線上．(1)①若，求a的值；②若，比較m，n的大小，并說明理由；(2)已知點，也在該拋物線上，若當時，都有，求a的取值范圍．【答案】(1)①；，理由見解析(2)【分析】（1）①把點，代入解析式得，，，再由，可得，求解即可；②由①可得，，作差得，再由，即可得出結論；（2）根據對稱軸為，，即開口向上，可得離對稱軸遠的點y值越大，由在當時，都有，可得P點離對稱軸的M點遠，即，Q點比P點離對稱軸遠，即，N點比Q點離對稱軸遠，，分別求解即可．【詳解】（1）解：①∵點，在拋物線，∴，，∵，∴，解得；②∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴對稱軸為，，即開口向上，∴離對稱軸遠的點y值越大，設，、，，在當時，都有，則P點離對稱軸的M點遠，即，即，∴，∴，當時，，則Q點比P點離對稱軸遠，即，∴，∴或，∴或，則在時，都滿足或，∵，則N點比Q點離對稱軸遠，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，則，即，在時，成立，∴，即，綜上所述，．【點睛】本題考查二次函數上點的坐標特征、二次函數的性質、比較二次函數的函數值及兩點間的距離公式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．13．（2023秋·北京·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，點，在拋物線（）上．(1)若點在此拋物線上．①求該拋物線的對稱軸；②若，當時，則的取值范圍為______．(2)當，時，總有，求的取值范圍．【答案】(1)直線；或；(2)【分析】（1）①點代入拋物線解析式即可求解；②根據函數解析式得拋物線開口向下，離對稱軸越遠，y值越小，結合即可解答；（2）根據，表示出，結合即可算出的取值范圍；【詳解】（1）點在此拋物線上，將點代入拋物線解析式可得到：，故拋物線解析式為：；①故該拋物線的對稱軸為：，②當時，，當時，，函數開口向下，離對稱軸越遠，y值越小，故或；（2）當時，，當時，，∵，；【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，解題關鍵：理解并掌是二次函數的基本性質．14．（2023秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）已知二次函數．(1)當，時，①求該函數圖像的頂點坐標．②當時，求y的取值范圍．(2)當時，y的最大值為4；當時，y的最大值為2，求二次函數的表達式．【答案】(