
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
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文檔簡介
2023-2024學年北京市豐臺區(qū)九年級上學期期末??荚嚲?/p>
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目
要求的
1.為推動世界冰雪運動的發(fā)展,我國于2022年2月2日至20日舉辦了北京冬奧會.以下是冬奧會會標征集活動
中的部分參選作品,其文字上方的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()
工9a
C.
吩BEIJING2022BEIJING
Be2022—2022—BEiJiNG"U
0(^)OOP
2.把一元二次方程N+12x+27=0,化為(x+p)2+q=0的形式,正確的是()
A.(x-6)2-9=0B.(x+6)2-9=0
C.(x+12)2+27=0D.(無+6)2+27=0
3.如圖,是一個紙折的小風車模型,將它繞著旋轉中心旋轉下列哪個度數(shù)后不能與原圖形重合.()
A.90B.135C.180D.270°
4.將拋物線y=-2爐+1向右平移1個單位,再向下平移2個單位后所得到的拋物線為()
A.y=-2(x+l)2-1B.y=—2(1)2+3
C.y=—2(1)2-1D.y=—2(x+l)+3
5.已知二次函數(shù)y=o?+區(qū)+c(〃wo)的圖象如圖所示,關于〃,。的符號判斷正確的是()
A.。>0,c>0B.〃>0,c<0C.〃V0,c>0D.a<0,c<0
6.如圖,在中,NABC=90°,A5=8,5C=6,。為線段AB上的動點,連接C£>,過點8作BE,CD
交CD于點E,則在點。的運動過程中,求線段AE的最小值為()
A
D.乎
A.10B.773-3C.5
7.二次函數(shù)y=ax?+bx+c的自變量尤與函數(shù)值y的部分對應值如下表:
???-2-10245???
y.??-7-211-7-14???
下列說法正確是()
A.拋物線開口向上B.當1>1時,y隨尤的增大而增大
C.二次函數(shù)的最大值是2D.拋物線與無軸只有一個交點
8.如圖,在中,ZBAC=9Q°,AB=AC,。為3C邊上一點,將△⑷3。繞點A逆時針旋轉90。得
到八4?!?點、B、。的對應點分別為點C、E,連接跳,將AC平移得到。/(點A、C的對應點分別為點。、
F),連接AF,若AB=3后,BD=2,則AF的長為()
A.2A/10B.6C.672D.722
二、填空題:本題共8小題,共36分(9、10小題各3分,其余小題各5分)
9.方程f=x的解是
10.己知點A(l,m)與4(力,一3)關于原點對稱,則〃2〃=.
11.若一個二次函數(shù)的圖像開口向下,頂點坐標為(0,1),那么這個二次函數(shù)的解析式可以為.(只需寫一
個)
12.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉得到矩形AEFG,AE交CD
于點且DH=EH,則的長為
13.已知尸(XI,1),Q(X2,1)兩點都在拋物線>=尤2-4x+l上.那么Xl+X2=.
14.若二次函數(shù)y=-x2+6x-m的圖象與無軸沒有交點,則m的取值范圍是.
15.有一圓柱形木材,埋在墻壁中,其橫截面如圖所示,測得木材的半徑為15cm,露在墻體外側的弦長
AB=18cm,其中半徑OC垂直平分AB,則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD=cm.
16.已知aN2,m^n,m2—2am+2=0>n2—2an+2=0?求1)~+(〃—的最小值是
三、解答題:本題共12小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.解下列方程:
(1)(%-l)(x+3)=%-1
(2)2x2-6x--3
18.如圖,點E是國ABC的內(nèi)心,AE的延長線和回ABC的外接圓相交于點D.
(1)當EIABC的外接圓半徑為1時,且EIBAC=60。,求弧BC的長度.
(2)連接BD,求證:DE=DB.
19.己知關于x的一元二次方程d+(2m+l)x+77?-2=0.
(1)求證:無論相取何值,此方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)當該方程的判別式的值最小時,寫出機的值,并求出此時方程的解.
20.如圖,在平面直角坐標系中,將鉆繞點。順時針旋轉90。得到△C'A'3',點A旋轉后的對應點為A,
21.在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標尤,縱坐標y的對應值如下表:
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象;
(3)若y<-3,結合函數(shù)圖象,直接寫出x的取值范圍.
22.我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉,其進價為每千克240元,按每千克400元出售,平均每周可售出200千克,
后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低10元,則平均每周銷售量可增加40千克.在平均每周獲利不變的情況
下,為盡可能讓利于顧客,贏得市場,每千克茶葉應降價多少元?
23.如圖,在VA3C中,ZBAC=9Q°,。是3C中點,連接AD分別過點A,點C作A石〃3C,CE//DA,
交點為E.
(1)求證:四邊形AECD是菱形;
(2)若NB=60°,AB=6,求四邊形AECD面積.
24.在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)丁=丘+匕的圖象過點。,3),(2,2).
(1)求這個一次函數(shù)解析式;
(2)當x>2時,對于x的每一個值,一次函數(shù)丁=如的值大于一次函數(shù)丁=丘+匕的值,直接寫出機的取值范
圍.
25.擲實心球是中考體育考試項目之一,實心球投擲后的運動軌跡可以看作是拋物線的一部分,建立如圖所示的平
面直角坐標系,從投擲到著陸的過程中,實心球的豎直高度V(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關
系y=a(x—h¥+k(a<0).某位同學進行了兩次投擲.
(1)第一次投擲時,實心球的水平距離%與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:
水平距離x/m0246810
豎直距離y/m1.672.632.952.631.670.07
根據(jù)上述數(shù)據(jù),直接寫出實心球豎直高度的最大值,并求出滿足的函數(shù)關系y=a(x-0)2+左(。<0);
(2)第二次投擲時,實心球的豎直高度了與水平距離工近似滿足函數(shù)關系》=-0。9(》-3.8)2+2.97.記實心球第
一次著地點到原點的距離為4,第二次著地點到原點的距離為4,則4d2(填“>”"=”或
26.如圖,已知拋物線為=爐+機》與無軸交于點4(2,0).
(1)求〃2的值和頂點M的坐標;
(2)求直線40的解析式必;
(3)根據(jù)圖象,直接寫出當“〉為時x的取值范圍.
27.如圖,正方形ABCD和正方形。EFG有公共頂點D
圖1圖2
(1)如圖1,連接AG和CE,直接寫出AG和CE的數(shù)量及位置關系;
(2)如圖2,連接AE,M為AE中點,連接。M、CG,探究QM、CG的數(shù)量及位置關系,并說明理由;
28.如圖1,直線A3分別與X軸、y軸交于A、8兩點,0c平分/AO3交于點C,點。為線段上一
點,過點。作Z)E〃0C交y軸于點E,已知AO=加,BO=n,且機、w滿足"2一8〃+16+|〃-2時=0.
圖1
(1)求A、8兩點的坐標?
(2)若點。為AB中點,求0E的長?
(3)如圖2,若點P(M—2尤+6)為直線在x軸下方的一點,點E是y軸的正半軸上一動點,以E為直角頂點
作等腰直角!PEF,使點尸在第一象限,且尸點的橫、縱坐標始終相等,求點尸的坐標.
2023-2024學年北京市豐臺區(qū)九年級上學期期末??荚嚲?/p>
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目
要求的
1.為推動世界冰雪運動的發(fā)展,我國于2022年2月2日至20日舉辦了北京冬奧會.以下是冬奧會會標征集活動
中的部分參選作品,其文字上方的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(
工9a
C.
吩B日JING2022BEIJING
Be2022—2022—BEiJiNG"U
0(^)
【答案】A
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
【詳解】解:A.是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故此選項符合題意;
B.是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項不符合題意;
C.不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故此選項不合題意;
D.是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項不合題意.
故選:A.
【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形:把一個圖形沿某條直線對折,圖形兩部分
沿直線折疊后可重合;中心對稱圖形:把一個圖形繞某點旋轉180度后與原圖重合.
2.把一元二次方程/+12x+27=0,化為Q+p)2+q=0的形式,正確的是()
A.(x-6)2-9=0B.(x+6)2-9=0
C.(x+12)2+27=0D.(x+6)2+27=0
【答案】B
【分析】利用完全平方公式進行判斷.
【詳解】解:?.?N+12x+27=0,
.'.x2+12x+62-62+27=0,
(尤+6)2-9=0.
故選:B.
【點睛】本題考查一元二次方程的變形,需要學生了解配方法的步驟并將方程進行正確變形,解題關鍵是了解配
方法.
3.如圖,是一個紙折的小風車模型,將它繞著旋轉中心旋轉下列哪個度數(shù)后不能與原圖形重合.()
A.90B.135C.180D.270°
【答案】B
【分析】據(jù)旋轉中心、旋轉角及旋轉對稱圖形的定義結合圖形特點,可知圖中的旋轉中心就是該圖的幾何中心,即
點O.該圖繞旋轉中心。旋轉90。,180。,270°,360°,都能與原來的圖形重合,再利用中心對稱圖形的定義即可求
解.
【詳解】解:圖中的旋轉中心就是該圖的幾何中心,即點O.該圖繞旋轉中心O旋轉90。,180。,270°,360°,都能
與原來的圖形重合,
故只有135不能與原圖形重合.
故選:B.
【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念,中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度后與原圖重合.也考查
了旋轉中心、旋轉角的定義及求法.對應點與旋轉中心所連線段的夾角叫做旋轉角.
4.將拋物線>=-2爐+1向右平移1個單位,再向下平移2個單位后所得到的拋物線為()
A.y=-2(x+l)2-1B.y=-2(%-l)2+3
C.y=-2(x-l)2-1D.y=-2(x+l)2+3
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律:左加右減,在%處進行;上加下減,在函數(shù)值處進行.
【詳解】解:根據(jù)拋物線的平移規(guī)律,拋物線丁=-2爐+1向右平移1個單位,
得:y=-2(x-iy+1,
再向下平移2個單位后,
得:y=-2(x-l)2+l-2
整理得:y=—2(x—I)?—1,
故選:C.
【點睛】本題考查了拋物線平移問題,解題的關鍵是:掌握平移的規(guī)律,左加右減,在x處進行;上加下減,在
函數(shù)值處進行.
5.已知二次函數(shù)y=G?+Zu+c(awO)的圖象如圖所示,關于。,c的符號判斷正確的是()
B.a>0,c<0C.a<0,c>0D.a<0,c<0
【答案】B
【分析】根據(jù)開口方向可得。的符號,根據(jù)對稱軸在y軸的哪側可得人的符號,根據(jù)拋物線與y軸的交點可得。
的符號.
【詳解】解:拋物線開口向上,
a>0,
拋物線的對稱軸在y軸的左側,
:.b>0,
拋物線與y軸交于負半軸,
c<0.
故選:B.
【點睛】考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系,解題的關鍵是掌握拋物線的開口向上,。>0;對稱軸在y軸左側,
a,匕同號;拋物線與y軸的交點即為C的值.
6.如圖,在中,NABC=90°,A5=8,5C=6,。為線段48上的動點,連接C£>,過點2作BE,CD
交。于點E,則在點。的運動過程中,求線段AE的最小值為()
B
口?歲
A.10B.V73-3C.5
【答案】B
【分析】由CD得出點E在以3C為直徑圓上,求出AO的長度,當A、0、E三點共線時,AE取得最小值,
據(jù)此即可得出答案.
【詳解】解:設3C的中點為點。,以。為圓心,3C為直徑畫圓,如圖:
■:BELCD,BC=6,
.?.點E在以。為圓心,半徑為3的圓上,
2
OE=OB—3,
VZABC=9Q°,AB=8,
AO=A/AB2+BO2=V82+32=773,
..?兩點之間線段最短,
.,.當A、0、E三點共線時,AE取得最小值,
此時,AE=AO-OE=413-3,
故選:B.
【點睛】本題考查了點與圓的位置關系,正確理解點E在“以。為圓心,半徑為工3。=3的圓上”是解決問題的
2
關鍵.
7.二次函數(shù)y^ax2+bx+c的自變量無與函數(shù)值y的部分對應值如下表:
X.??-2-10245???
y.??-7-211-7-14???
下列說法正確的是()
A.拋物線的開口向上B.當1>1時,y隨尤的增大而增大
C.二次函數(shù)的最大值是2D.拋物線與x軸只有一個交點
【答案】C
【分析】利用表格中的數(shù)據(jù)可求得二次函數(shù)的解析式,再化為頂點式,根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)逐一判斷即可得解.
【詳解】解::當x=0時,y=l;當%=2時,y=l;X=—2時,y=-7
c=1
4a+2匕+c=1
4a-26+c=—7
a——\
.,?<b-2
c-\
...二次函數(shù)的解析式為:y=—必+2x+1=—(x—1)2+2
.1??=-1;對稱軸是:直線x=l;頂點坐標是(1,2);當y=0時,玉=—1+及、%=-1—1
拋物線的開口向下;當%>1時,y隨尤的增大而減小;二次函數(shù)的最大值是2;拋物線與左軸有兩個交點
,選項中只有C是正確的.
故選:C
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)一般式轉化為頂點式、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、拋物線與%軸交點
情況等,利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式是解題的關鍵.
8.如圖,在RtZkABC中,44c=90°,AB=AC,D為BC邊上一點,將△AB£)繞點A逆時針旋轉90。得
到八4?!?點8、。的對應點分別為點C、E,連接鹿,將AC平移得到。尸(點A、C的對應點分別為點
F),連接AF,若A5=3&,BD=2,則AF的長為()
A.2MB.6C.6A/2D.722
【答案】A
【分析】由旋轉的性質(zhì)可得3D=CE=2,/ACE=NABD=45°,由勾股定理可求BE,由“SAS”可證
AABE^ADFA,可得BE=A尸.
【詳解】解:(1)VZBAC=90°,AB=AC=3亞,
:.ZABC=ZACB=45°,BC=7AB2+AC2=6-
:將△A3。繞點A逆時針旋轉90°得到
:.BD=CE=2,ZACE=ZABD=45°,AD=AE,/DAE=9Q°,
:.ZBCE=90°,
:?BE=7BC2+CE2=J36+4=2而;
u:ZBAC=ZDAE=90°,
:.ZBAC+ZDAE=1SO°,
.,.ZBAE+ZDAC=180°,
〈AC平移得至!J。尸,
:.AC=DF=AB,AC//DF,
:.ZADF+ZDAC=180°,
???NADF=NBAE,
在△ABE和△。以中,
AB=DF
</BAE=ZADF,
AE=AD
:.^ABE^ADFA(SAS),
/.BE=AF=2y/lQ,
故選:A
【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,靈活運用性質(zhì)性質(zhì)解決問題是本
題的關鍵.
二、填空題:本題共8小題,共36分(9、10小題各3分,其余小題各5分)
9.方程Y=x的解是
【答案]%=0,々=1
【分析】移項后根據(jù)因式分解法求解方向即可.解題的關鍵是因式分解法在解一元二次方程中的靈活運用.
【詳解】?/X2=X
=0
*=0或%一1=0
苞=0,々=1
故答案為:Xj=0,x2=1.
10.已知點A(l,%)與4(〃-3)關于原點對稱,則.
【答案】一3
【分析】直接利用關于原點對稱點的性質(zhì)得出相,"的值,即可求解.
【詳解】解:?.,點A(1,m)與點4(小-3)關于坐標原點對稱,
.\n=~l,m=3,
mn=—3
故答案為:一3.
【點睛】此題主要考查了關于原點對稱點的特征,關于原點對稱的點橫縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).
11.若一個二次函數(shù)的圖像開口向下,頂點坐標為(0,1),那么這個二次函數(shù)的解析式可以為.(只需寫一
個)
【答案】y^-2x-+l(答案不唯一)
【分析】由二次函數(shù)的圖象開口向下,可知。為負數(shù),取。=-2,再由頂點坐標為(0,1),即可得出二次函數(shù)的解
析式.
【詳解】?.?二次函數(shù)的圖象開口向下,
可知。為負數(shù),取。=-2,
,頂點坐標為(0,1),
...二次函數(shù)的解析式為:
y=-2(x-0)2+l=-2x2+1,
故答案為:y=-2N+1(答案不唯一).
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,掌握頂點式的特點是解決問題的關鍵.
12.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,將矩形ABC。繞點A逆時針旋轉得到矩形但G,AE交CD
于點H,且DH=EH,則AH的長為.
【答案】一##6.25
4
【分析】由旋轉的性質(zhì)可得AE=A3=8,設DH=EH=x,則AH=8—x,在Rt_ADH中,由勾股定理得
AD2=AH2-DH2<即6?=(8—求x的值,進而可得的值.
【詳解】解:由旋轉的性質(zhì)可得AE=A3=8,
設DH=EH=x,則AH=8—x,
在RtAZ史中,由勾股定理得的>2=4x2—082,
即62=(8-X)2-X2,
7
解得x=—,
4
?8-x-竺
4
25
故答案為:—.
4
【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,解題的關鍵在于對知識的熟練掌握和靈活運用.
13.已知產(chǎn)(xi,1),Q(%2,1)兩點都在拋物線y=/-4x+l上.那么xi+x2=.
【答案】4
【分析】根據(jù)尸、。兩點坐標可知,P、。兩點關于對稱軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解:P(xi,1),Q(及,1)兩點都在拋物線y=N-4x+l上,縱坐標相等,
,P、。兩點關于對稱軸x=2對稱,
.'.X1+尤2=4,
故答案為:4.
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關鍵是根據(jù)題意,找到尸、。兩點關于對稱軸對稱求解.
14.若二次函數(shù)y=-x2+6x-m的圖象與無軸沒有交點,則m的取值范圍是.
【答案】根〉9
【分析】利用判別式意義得到4=62-4X(-1)X(-m)<0,然后解不等式即可.
【詳解】解:;二次函數(shù)y=-N+6X-機的圖像與x軸沒有交點,
/.△=62-4X(-1)X(-m)<0,
解得〃z>9.
故答案為m>9.
【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點:把求二次函數(shù)y=oy2+6x+c(a,b,c是常數(shù),存0)與無軸的交點坐標
問題轉化為解關于尤的一元二次方程;△=按-4成決定拋物線與x軸的交點個數(shù).
15.有一圓柱形木材,埋在墻壁中,其橫截面如圖所示,測得木材的半徑為15cm,露在墻體外側的弦長
AB=18cm,其中半徑OC垂直平分AB,則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD=cm.
【答案】3
【分析】根據(jù)垂徑定理得出AD=LAB,根據(jù)勾股定理得到on再根據(jù)線段的和差關系求co的長度即可.
2
【詳解】解:垂直平分
AD=—AB=9cm,/ADO—90°,
2
在Rti^ADO中,
OD=yjo^-AD-=A/152-92=12,
CD=OC-OD=15-12=3cm,
故答案為:3.
【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理,能根據(jù)垂徑定理求出=JA3=9cm是解題的關鍵.
2
16.已知m^n,^n2—2am+2=0?n2—2an+2=0?求(根—+(〃—的最小值是.
【答案】6
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)的最值,利用根與系數(shù)的關系找出
(根—iy+(〃—1)2=(24—1)2—3是解題的關鍵.由題意可知辦及是關于X的方程——2依+2=0的兩個根,根
據(jù)根與系數(shù)的關系可得出m+n=2a、mn—2,將其代入(加一1了+^-1)2=(加-2mn-2[m+n)+2中即
可求出結論.
【詳解】,**m2-2am+2=0,n2-2an+2=0且加w〃,
?..根、〃是關于X的方程%2—2依+2=0的兩個根,
mA-n—2a>mn-2,
(m—l)2+(H—l)2
=m2-2m+l+n2-2n+l
=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2
=4a2-4-465+2
=(2a-l)2-3
a>2,
.,.當a=2時,(加一1)~取最小值,
(m—1)+(〃—1)~的最小值=(2x2—I)?—3=6"
故答案為6.
三、解答題:本題共12小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.解下列方程:
(1)(X-l)(x+3)=x—1
【答案】(1)X=1,X=-2
G3+733-6
⑵
【分析】(i)根據(jù)因式分解法解一元二次方程;
(2)根據(jù)公式法解一元二次方程
【小問1詳解】
(%—1)(%+3)=%-1,
(x-l)(x+3)-(x-l)=0,
(^-l)(x+3-l)=0,
(x-l)(x+2)=0,
解得x=l,x=-2;
【小問2詳解】
2x~—6x——3i
即2/一6%+3=0,
a=2,b=—6,c—3,A=/?"—4-ac=36-24=12,
-b±J/-4ac6±2A/3
x=------------------=----------,
2a4
3+733-0
--------,x,=--------
222
【點睛】本題考查了解一元二次方程,掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵.
18.如圖,點E是回ABC的內(nèi)心,AE的延長線和回ABC的外接圓相交于點D.
(1)當I3ABC的外接圓半徑為1時,且[3BAC=60。,求弧BC的長度.
(2)連接BD,求證:DE=DB.
【答案】(1)-K;(2)詳見解析.
3
【分析】(1)設AABC的外接圓的圓心為0,連接OB、0C,由圓周角定理得出/BOC=120。,再由弧長公式即可
得出結果;
(2)連接BE,由三角形的內(nèi)心得出N1=N2,Z3=Z4,再由三角形的外角性質(zhì)和圓周角定理得出
ZDEB=ZDBE,即可得出結論.
【詳解】(1)解:設AABC外接圓的圓心為O,連接OB、OC,如圖1所示:
VZBAC=60°,
/.ZBOC=120°,
好AArz12071X12
???弧BC的長度=-------=-71.
1803
(2)證明:連接BE,如圖2所示:
圖2
,.?E是^ABC的內(nèi)心,
???N1=N2,N3=N4,
VZDEB=Z1+Z3,ZDBE=Z4+Z5
Z5=Z2,
.\NDEB=NDBE,
ADE=DB.
【點睛】本題考查了三角形的外心與內(nèi)心、圓周角定理、弧長公式、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定等知
識;本題綜合性強,根據(jù)圓周角定理得出角的數(shù)量關系是解題的關鍵.
19.己知關于尤的一元二次方程f+(2m+l)x+m-2=0.
(1)求證:無論加取何值,此方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)當該方程的判別式的值最小時,寫出根的值,并求出此時方程的解.
【答案】(1)見解析(2)m=0,為=—2,々=1
【分析】(1)判斷判別式的符號,即可得證;
(2)求出判別式的值最小時的機的值,再解一元二次方程即可.
【小問1詳解】
證明:VA=(2m+l)2-4x(m-2)=4m2+9,
m2>0>
A=4m2+9>0.
無論m取何值,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
【小問2詳解】
解:由題意可知,當m=0時,A=4療+9的值最小.
將m=0代入x2+(2m+l)x+m-2=0,得/+工一2=0
解得:%1=—2,々=1.
【點睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的個數(shù)的關系,以及解一元二次方程.熟練掌握判別式與根的個數(shù)
的關系,以及解一元二次方程的方法,是解題的關鍵.
20.如圖,在平面直角坐標系中,將△CAB繞點。順時針旋轉90。得到△C'A'3',點A旋轉后的對應點為A,
點3旋轉后的對應點為B',點、C旋轉后的對應點為C,
y八
->
X
(1)畫出旋轉后的△C'AB',并寫出點A'的坐標;
(2)求點3經(jīng)過的路徑BB'的長(結果保留萬).
【答案】⑴詳見解析,點4的坐標為(2,1)
⑶3后
⑵-----兀
2
【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質(zhì)畫出對應點,從而得到旋轉后的圖形,然后寫出點A的坐標即可;
(2)先計算出08的長,然后利用弧長公式計算即可;
本題考查了作圖,旋轉作圖,坐標點,弧長公式等知識,準確作圖是解題關鍵.
【小問1詳解】
OB=d于+乎=3萬
,點5經(jīng)過的路徑的的長為吆需邑孚小
21.在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標尤,縱坐標y的對應值如下表:
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象;
(3)若y<-3,結合函數(shù)圖象,直接寫出x的取值范圍.
【答案】(1)y=-x2+2x
(2)見解析(3)x>3,x<-l
【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時,要根據(jù)題目給
定的條件,選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式,從而代入數(shù)值求解,也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).
(1)利用表中的數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性可得到二次函數(shù)的頂點坐標為(1,1),設二次函數(shù)的解析式為:
y=a(x—1),+1,把點(0,0)代入求出a的值即可;
(2)利用描點法畫二次函數(shù)的圖象即可;
(3)根據(jù)y=-3時x的值,再結合函數(shù)圖象得出y<—3時,x的取值范圍即可.
【小問1詳解】
解:由題意可得:二次函數(shù)的頂點坐標為(1,1),
設二次函數(shù)的解析式為:y=a(x-l)2+l,
把點(0,0)代入y=a(x-l)2+1得,a=-l,
故拋物線解析式為y=—(x—I)?+1,即>=—+2%;
【小問2詳解】
解:由(1)知,拋物線頂點為(1,1),對稱抽為直線x=l,過原點,
根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線過(2,0),
解:當丁=一3時,一%2+2%=—3,
解得:%二-1,4=3,
結合函數(shù)圖象,當yv—3時,%>3或XV—1.
22.我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉,其進價為每千克240元,按每千克400元出售,平均每周可售出200千克,
后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低10元,則平均每周的銷售量可增加40千克.在平均每周獲利不變的情況
下,為盡可能讓利于顧客,贏得市場,每千克茶葉應降價多少元?
【答案】每千克茶葉應降價no元
【分析】設根據(jù)每千克茶葉應降價x元,利用“利潤等于每千克的利潤乘以銷售的數(shù)量來求出周銷售利潤”即可
得一元二次方程,解方程即可求解.
【詳解】設每千克茶葉應降價X元,每周利潤為(400—240)x200,則平均每周可售出1200+千克,
依題意,得:(400—240)x200=(400—240—x)1200+,
解得:%]=0,x2=110,
???為盡可能讓利于顧客,贏得市場,
x=110,
答:每千克茶葉應降價no元.
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用,根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵.
23.如圖,在VA5C中,ZBAC=9Q°,。是3C中點,連接AD.分別過點A,點C作,CE//DA,
交點為E.
(1)求證:四邊形AECD是菱形;
(2)若28=60°,AB=6,求四邊形AECD的面積.
【答案】(1)詳見解析
⑵18百
【分析】(1)先證四邊形AECD是平行四邊形,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得=即可得
2
出結論;
(2)過點A作于點/,解直角三角形求出結果即可;
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識,熟練掌握平行四
邊形的判定與性質(zhì),證明四邊形為菱形是解題的關鍵.
小問1詳解】
解:證明:AE//BC,CE//DA,
,四邊形AECD是平行四邊形,
在VABC中,ZBAC=9Q°,。是5c中點,
:.AD=-BC=DC,
2
,四邊形AECD是菱形;
【小問2詳解】
過點A作于點/,則NAEB=90°,如圖:
:.ZBAF=90°-ZB=3Q0,
AB=6,
???在中,BF=-AB=3,
2
根據(jù)勾股定理可得,AF=YIAB2-BF2=&2-32=3G,
在RtZkC4B中,ZBAC=90°,ZB=60°,ZACB=90°-ZB=30°,AB=6,
:.BC=2AB=12,
。是3c的中點,
:.DC=-BC=6,
2
S署形4“"=CD-AF=6x3^3=18A/3.
24.在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=Ax+匕的圖象過點(1,3),(2,2).
(1)求這個一次函數(shù)的解析式;
(2)當x>2時,對于x的每一個值,一次函數(shù)丁=如的值大于一次函數(shù)y=Ax+b的值,直接寫出機的取值范
H.
【答案】(1)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=—工+4;
(2)m>l
【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可;
(2)根據(jù)題意列出關于俄的不等式即可求解.
【小問1詳解】
解:,??一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(1,3),(2,2),
k+b-3
把(1,3),(2,2)代入得:,
乙K十一乙
k=-l
解得:
b=4
,一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+4;
【小問2詳解】
解:由(1)得:一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+4,
當x=2時,y=2,
當x>2時,對于x的每一個值,一次函數(shù)y=如的值大于一次函數(shù)了=丘+人的值,
把x=2代入丁=7儂得:y=2m,
2m>2,
解得:m>1.
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用,靈活掌握所學知識是解題關鍵.
25.擲實心球是中考體育考試項目之一,實心球投擲后的運動軌跡可以看作是拋物線的一部分,建立如圖所示的平
面直角坐標系,從投擲到著陸的過程中,實心球的豎直高度y(單位:m)與水平距離X(單位:m)近似滿足函數(shù)關
系y=a(x—丸)2+左(。<0).某位同學進行了兩次投擲.
豎直高度Wm,
3
2
/
I
O1234567891011
水平距離x/m
(1)第一次投擲時,實心球的水平距離》與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:
水平距離x/m0246810
豎直距離y/m1.672.632.952.631.670.07
根據(jù)上述數(shù)據(jù),直接寫出實心球豎直高度的最大值,并求出滿足的函數(shù)關系y=a(x-九)2+左(a<0);
(2)第二次投擲時,實心球的豎直高度?與水平距離了近似滿足函數(shù)關系/=-0.09(元-3.8)2+2.97.記實心球第
一次著地點到原點的距離為4,第二次著地點到原點的距離為。2,則4d2(填“>”"=”或
【答案】(1)2.95,y=-0.08(%-4)2+2.95
(2)>
【分析】(1)先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標,即可得出實心球豎直高度的最大值,并利用待定系數(shù)法得到拋物
線解析式;
(2)設著陸點的縱坐標為0,分別代入第一次和第二次的函數(shù)關系式,求出著陸點的橫坐標即為4和4,然后進
行比較即可.
【小問1詳解】
解:由表格數(shù)據(jù)可知,拋物線的頂點坐標為(4,2.95),
所以實心球豎直高度的最大值為2.95,
設拋物線的解析式為:y=a(無-4)2+2.95,
將點(0,1.67)代入,得1.67=16。+2.95,
解得a=-0.08,
拋物線的解析式為:y=-0.08(x-4)2+2.95;
【小問2詳解】
解:第一次拋物線解析式為y=-0.08(尤-4)2+2.95,
令y=o,得到》=4+叵。,(負值舍去),
4
第二次拋物線的解析式為y=-0.09(^-3.8)2+2.97,
令y=0,得到x=3.8+后,(負值舍去)
4+叵〉3.8+庖,
4
??2,
故答案為:>
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用,待定系數(shù)法求函數(shù)關系式,解題的關鍵是讀懂題意,列出函數(shù)關系
式.
26.如圖,已知拋物線%+與無軸交于點4(2,0).
(1)求機的值和頂點M的坐標;
(2)求直線AM的解析式為;
(3)根據(jù)圖象,直接寫出當%>為時工的取值范圍?
【答案】(1)m=—2,M(15-1);
(2)y2=x-2;
(3)x>2或%<1.
【分析】(1)將4(2,0)代入拋物線解析式,求得m,求出拋物線的對稱軸,即可求解;
(2)^y2=kx+b,將A、V兩點代入求解即可;
(3)結合函數(shù)圖像,可得在A點的右邊或M點的左邊,滿足%〉為,即可求解.
小問1詳解】
解:將4(2,0)代入%=f+7^^:可得
4+2m=0,解得m=—2,即%=/一2x,
2
則yr=x-2x的對稱軸為x=l
將x=l代入得,%=1-2=—1,即M(L—1);
【小問2詳解】
解:設為=依+。,將A(2,0),M。,—1)代入可得
2k+b=0k=\
一廠解得
b=-2,
即為=%-2;
【小問3詳解】
解:由圖像可得:當%〉為時x的取值范圍為尤>2或x<l
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),待定系數(shù)法求解析式,根據(jù)圖象求解一元二次不等式,解題的關鍵
是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).
27.如圖,正方形ABCD和正方形。EFG有公共頂點D
圖1圖2
(1)如圖1,連接AG和CE,直接寫出AG和CE數(shù)量及位置關系.
(2)如圖2,連接AE,M為AE中點,連接DM、CG,探究DM、CG的數(shù)量及位置關系,并說明理由;
【答案】(1)AG=CE,AG±CE;
(2)。暇,CG且CG=2Z)M,理由見解析
【分析】(1)如圖,延長AG交。C于T,交
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