湖北省襄陽市2023-2024學(xué)年高一年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

湖北省襄陽市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.己知z=2—i,貝！|z（5+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

（答案1C

（解析D因為z=2—i,故W=2+i，故z（z+i）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2i?=6+2i.

故選：C.

2.已知向量q,b不共線，且向量a+與（/l+l）a+2Z;共線，則實數(shù)4的值為（）

A.-2或-18.-2或1C.-1或2D.1或2

（答案1B

K解析I若向量a+與（彳+1）。+2匕共線，則存在實數(shù)h

（2+1）a+2Z>==ka+kAb,

4+1=k,

又因為向量Q,b不共線，所以4c7。，

2=kA

解得4二—2或4=1.

故選：B.

3.利用簡單隨機抽樣，從〃個個體中抽取一個容量為10的樣本.若抽完第一個個體后，余下

的每個個體被抽到的機會為則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的機會為（）

4

55110

A.-B.—C.—D.—

718437

K答案UD

k解析X由題意可得一二=!，故八=37,所以每個個體被抽到的機會為”.

n-1437

故選：D.

4.《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈.高五丈.問積幾何（今譯：已知

正四棱臺體建筑物（方亭）如圖，下底邊長。=5丈，上底邊長6=4丈.高々=5丈.問它

的體積是多少立方丈？（）

b

400

A.75

K答案XB

(解析Iv=|(s+s,+VF?7)/i=1p+V^V+Z?2)./i

=g(5?+A/52x42+42^X5=-^X61X5=.

故選：B.

5.甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完.若三人均領(lǐng)到整數(shù)

元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“最佳手氣”（即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人）的概率

是（）

3132

A.-B.-C.—D.一

43105

［答案XD

K解析X6元分成整數(shù)元有3份，可能性有（1,1,4）,（1,2,3）,（2,2,2）,第一個分法

有3種，第二個分法有6種，第三個分法有1種，其中符合“最佳手氣”的有4種，

42

故概率為一=一.

105

故選：D.

6.水平放置的ABC,用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的.ABC',其中

。4=。5'=2,09=5則一ABC繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積

為（）

A.8。5nB.16A兀C.(873+3)71D.(16A/3+12)K

（答案］B

K解析[根據(jù)“斜二測畫法”可得AO=BO=2,OC=2y/3,AB=AC=BC=4,

ABC繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,

它的表面積為S=2汽r/=2兀x2^/3x4=16若兀.

故選：B.

—>—>=2,De[—4,0],則口的取值范圍是（

7.已知2a+b

A.[0,1]Br1C.[1,2]D.[0,2]

（答案』D

（解析工設(shè)募=21+0則口=2,

〉〉yyyy)〉21

b=m-2a,a-b=a-m-2aG[-4,0]J所以一-a-b^[0,2],

2

2

-1-,J].f]-2L7]-2

a—m=a—a-m-1----m—a-b-\----m,

4216216

f2

1-2I].2

——m<(a—m)2<2-\----m又m=4,

16416

113

所以a——mG一,一

422

111

Xl|4z|-|-m||<a--m<||?|+|-m||,

44444

則?！闧0,2],

故選：D.

8.已知三棱錐A—BCD的所有頂點都在球。的球面上，平面ABC,NB4c=90。,

AD=2,若球。的表面積為29?,則三棱錐A—BCD的側(cè)面積的最大值為（）

A.5日vB.5五+當C.6用孑D.10后+與

K答案』A

K解析』設(shè)球。得半徑為R,AB=x,AC=y,

由4兀R2=29兀，得4R2=29.Xx2+y2+22=(2R)2,得N+y2=25,

三棱錐A-BCD的側(cè)面積：S=SAABD+SAACD+SAABC=—2%H----2yH—xy,

222

由x2+fN2孫，得xyw”,當且僅當x=y=述時取等號，

-2-2

由（x+y）2=工2+2盯+》2三2（N+y2）,得x+yW5a,當且僅當x=y=$近時取等號,

；?SW50+,義生=50+生，當且僅當x=y=述時取等號，

2242

三棱錐A-BC。的側(cè)面積的最大值為50+生.

4

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原來的幾何體可能是（）

A.長方體B.圓臺C.四棱臺D.正四面體

［答案』ACD

k解析》對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截

面的形狀是正方形，故A正確；

對于B：圓臺的截面均不可能是正方形，故B錯誤；

對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是

正方形，故c正確；

對于D：如圖所示正四面體S-ABC,將其放到正方體中，

取SB的中點E，SC的中點。，取A3的中點歹，AC的中點。G,

依次連接所、FG、GD、DE,由正方體的性質(zhì)可知截面。EFG為正方形，故D正確.

故選：ACD.

10.疫情帶來生活方式和習(xí)慣的轉(zhuǎn)變，短視頻成為觀眾空閑時娛樂活動的首選.某電影藝

術(shù)中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問

卷，共回收有效樣本4000份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則()

A.圖中。=0.028

B.在4000份有效樣本中，短視頻觀眾年齡在2030歲的有1320人

C.估計短視頻觀眾的平均年齡為32歲

D.估計短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲

［答案XBCD

k解析》對于A,(0.015+0.033+a+0.011+0.011)x10=1,，a=0.03,A錯誤;

對于B,由頻率分布直方圖知：短視頻觀眾年齡在2030歲的人對應(yīng)頻率為0.33,

,短視頻觀眾年齡在20一30歲的有4000x0.33=1320人，B正確；

對于C,平均年齡

%=(0.015x15+0.033x25+0.03義35+0.0H義45+0.0Hx55)x10=32,c正確；

對于D,設(shè)75%分位數(shù)為x,貝|0.015xl0+0.033><10+(x—30)x0.03=0.75,

解得：％=39,D正確.

故選：BCD.

11.已知是等腰直角三角形，AB=AC=2,用斜二測畫法畫出它的直觀圖AB'C',

則B'C'的長可能是()

A.272B.2/C.,5-2夜D.；

［答案》AC

K解析U以8C為X’軸，畫出直觀圖，如圖2,此時B'C'=BC=j4+4=2a，A正確；

圖2

以8c為丁'軸，則此時==挺，

則BC的長度范圍是［應(yīng),2夜］,

若以AB或AC為無軸，畫出直觀圖，如圖1,以為軸，則A'8'=2,A'C'=1,

此時過點C作CD，V于點，則ZCA'B'=45°,

則AD=C'Z)=變，B'D=2-—,

22

由勾股定理得：=J。一4］=/5-2出,C正確；

故選：AC.

12.如圖，已知八四。，△DEF均為等邊三角形,D,E,歹分別為BE,CF,AD的中點,

尸為一。印內(nèi)一點（含邊界）.AP=xAB+yAC,下列說法正確的是（)

延長助交AC于則。0=1C4

3

B.若。r）+OE+OE=0，則。為一ABC的重心

C.若x+y=a，則點P的軌跡是一條線段

D.x+y的最小值是工

3

（答案1ABC

k解析IA選項，因為已知八45。，ADEF均為等邊三角形,

D,E,尸分別為3E,CF,AD的中點，連接CQ,AE,BF,延長BE交AC于點M,

則SDBC=SDCE=SABF=SBDF=S.AEF=SDEF,

所以5小肥=2s△CBE'則4W=2QW,CM=-CA,A正確;

3

以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直A2為y軸建立平面直角坐標系，

延長4。交3C于點G,延長C尸交于點N,由A選項可知：CG=2BG,BN=2AN,

設(shè).ABC邊長為1,則2（L0）,N1,0；C1

2'3'

則直線CN:丁=3瓜-6，直線BM：y=xH,

聯(lián)立直線CN與求得:

5

%二一

y=2x,聯(lián)立直線AG與求得:7(5回

直線AG：,所以。

56

5

x=一

14(5回

聯(lián)立直線AG與CN,求得:,所以尸

73

因為8+QE+0/=0，則。為即的重心,

逑

’3§9B叵即。腎)

則O，十;五，十二五

0+1+-0+0+—

而-ABC的重心為一1，—

\7

故。為的重心，B正確;

設(shè)尸(加,〃)，AP=xAB+yAC,結(jié)合B選項中建立的坐標系,

可知：(%,〃)=x(L0)+y

16

x+~y=mx-m------n

2

即《,解得：《3

G2百

——y=ny-------n

[2,3

-什^x+y=—1貝!h"—走"+冬8"=；,整理得：6m+2\[3n—3=0,

33

因為P為…DEF內(nèi)一點（含邊界），所以點尸的軌跡是一條線段，C正確;

,A/3

結(jié)合C選項，可知無+丁=根一與+亞n=m-\---n，

333

55

其中mGG

1497

當根=?-,"=」^時，x+y=機取得最小值,

14143

最小值為x+y=2+且X3=3,故D錯誤.

■143147

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直播帶貨已成為一種新的消費方式，據(jù)某平臺統(tǒng)計，在直播帶貨銷量中，服裝鞋帽類占

28%,食品飲料類占20%,家居生活類占19%,美妝護膚類占9%,其他占24%.為了

解直播帶貨各品類的質(zhì)量情況，現(xiàn)按分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為〃的樣本.已知在

抽取的樣本中，服裝鞋帽類有560件，則家居生活類有件.

K答案H380

K解析工九=560+28%=2000,故家具生活類件數(shù)為2000x19%=380.

故K答案』為：380.

14.如圖，在四面體ABCD中，BD=141>AC=2,M,N分別為BC、AD的中點,

MN=1,則異面直線AC與3。所成的角是

K答案工450

K解析』取CD的中點E,連接ME,NE,因為M為的中點，N為AD的中點,

所以NE//AC且NE=-AC,MEHBD且ME=-BD,

22

所以NNEM即為異面直線AC與所成的角或其補角,

又BD=2①,AC=2,MN=1,

所以NE=1,ME=?，所以ME?=MN?+NE?,所以NMNE=90°,

所以一肱VE為等腰直角三角形，所以NA?M=45°.

故［答案］為：45°.

15.如圖，在RtABC中，點/是斜邊A3的中點，點N在邊上，且

MN±AB,MN=&CN=1，則AC=.

《答案12&

K解析工設(shè)BN=x,則5M=J7=i，由題意得"幺="，

'BNBA

2

Jr—3Y+1L

即、^~-=；解得％=3,止匕時30=4,48=2指，得AC=2及.

x2VX2-3

故（答案》為：2JL

IT

實數(shù)蒼滿足

16.已知G+e2+e3=0,且q-Zx+y+z=l且

0<X<g<y<1,則卜，++ze3|的最小值是

咯案若

K解析U在平面直角坐標系中，令q=(l,0),設(shè)4二(cose,sin。),

則e3=（-l-cos仇一sin0），

|華F=2+2COS6=1,解得COS8=—；,則sin6=±：,

依題意，不妨令e2=(—g，F(xiàn))，e3=(-1,-

而貝

z=l—x—y,i|x6+ye?+ze；=(14,*+信一亭有|煙+ye2+z1F=

當且僅當5%——即2x+y=l時取“=”，而?！垂ぁ匆弧磞〈l,

~^T=32

11

則(3y—I)9?2—,當且僅當丁=一時取“=”，

■42

因此，I尤6+y4+z/『之—(3y—I)?2—,當且僅當2x+y=1且y=—,

4162

即％=!且丁=，時取"=，，，

42

所以當％=!，＞=］，2=，時，，6+丁02+21|取得最小值!.

424114

故K答案X為：一.

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知向量滿足口=3,,一0二5.

(1)若〃⑦=0,求仿1的值;

(2)若〃2=i,求N+q的值.

I?rr2r2r2rr臼2??

(1)v|tz-fe|=5,/.a—b=a+b-2a?l=9+b=25,\tb\l2=16,即忖=4.

(2)\a-l^=a+b-2a-b=9+\b^-2=25,：.\bf=18,即忖=3后，

2a+b+4a-b+b=力36+4+18=屈.

18.如圖，已知在正三棱柱ABC-A4G中，。為棱AC的中點，45=44=2.

(1)求正三棱柱ABC-AqG的表面積;

(2)求證：直線4片〃平面GBO.

解:(1)5表=￥X22X2+3X2X2=12+2Q.

(2)取C]B和g。交點加，連。M，

,：D,M分別為AC,3c中點，故4瓦//。加.

ABX(Z平面BDCX,DMu平面BDCX.

???A耳〃平面50G.

19.如圖，四棱錐尸-A6CD的底面四邊形ABCD為正方形，頂點P在底面的射影為線段

AD的中點0,E是尸5的中點，AB=2,PC=3.

、E

(1)求證：OE//平面PC。；

(2)求過點D,O,E的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比.

解：(1)由題，如圖，取PC中點R連接ERDF,則EF為1c的中位線,

故MBCOD,EF=-BC=-AD=OD,

故四邊形為平行四邊形，WOE〃DF,

又QFu平面PCD。￡4平面PC。，故OE//平面尸CD.

(2)由(1)得，過點￡),O,E的截面為平面AOEF

截出的兩部分可看作四棱錐E-ABCD與三棱錐石-下⑦組合，

以及三棱錐E—A4D與三棱錐石-PED組合；

由_￡是PB的中點，易得VE_ABCD=~^P-ABCD，^E-BCD~萬^P-BCD~~^P-ABCD；

由尸是PC的中點，易得VE_FCD=VE_PFD=P-BCD~~^^P-ABCD；

4o

故過點。，a￡的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比為

=5:3.

20.在①)。2一bc=b?+02,②sin2A+sin(5+C)=。，(§)2acosA+bcosC+ccosB=0,

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并求解.問題：如圖，在ABC中，角AB,C

所對的邊分別為a,b,c,。是邊上一點，5￡)=2。。，tanC=2匹，若，

A

(1)求角A的值；

(2)求tan/C4￡＞的值.

An/1、、4gHF;A-rtA/+(72_/g2_be―/

斛：(l)選①：由題知COSA=--------------=---------------

2bc

選②：sin2A+sin(B+C)=2sinAcosA+sinA=0,因為Aw(0,7i),sinA>0,

所以cosA=一‘；

2

選③：由正弦定理邊化角可得

2sinAcosA+sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA+sin(B+C)=0,

同②可得cosA=—；

2

9.JT

因為Ae(0,兀)，所以A=石.

(2)因為tanC=2^,Ce(0,￡),

52

2A/3

所以由<smC―5c°sC,解得sinC=^^,cosC=J=,

22

_sinC+cosC=l屈歷

而z.9廠、?'廠G51263G

所以sin6=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsmC=——x—=——x—；==-T=,

2V372V372V37

所以2=吧0=3,記。=3f,c=4f/>0,

csinC4

則/=9t2+16r—2x3/x4-tx(——)—37/，即。=J371，

因為所以CD=^-t，

3

所以A￡>2=9廣+衛(wèi)/―2x3/x叵tx—1==生/，得AD=^-t,

9373793

c2282372_

%-_26

所以cos/CAD=

7

2x3/x

3

因為NC4De（0，W）,所以sin/C4D=叵，所以tanNCAD=3.

272

21.如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=2,H為DE上一點、，且

（1）當X=g時，試用AD,Ab表示A//；

（2）求AG-CH的取值范圍.

解：（1）由正六邊形性質(zhì)可知，AF=0E，

因為幾=工，所以O(shè)H=OE+工ED=OE+L（OD—OE）=工AF+^OD,

22222

所以A"=40+0〃=工>1￡>+工4/+工0。=34￡>+工4/.

(2)t己O￡>=a,OE=Z?,0G=曲,

則AG=a+〃人，AH=AO+OE+XED=(X+V)a+(1-2)^

將a=AG—〃人代入①整理得A"=(X+1)AG+(1—2—川—〃),

因為尸、G、H共線，所以（4+1）+（1—2——〃=1,

即〃=一~，

A+1

XCH=CD+(l-/l)DE=Z>+(l-2)(Z?-a)=(2-2)Z?+(2-l)cz,

「|r|7i

a=|/?|=2,a-Z?=2x2xcos—=2,

所以ZS?5=(2+〃&-[(2—4歷+(4—1)向=24+6〃一2",

1—?8

將〃=——代入上式整理可得AGCH=2(2+1)+--------4，

2+12+1

8

令4+1=m，則AG-C"=27〃+——4,me[1,2],

m

4

由對勾函數(shù)可知，當y=2(m+—)-4在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，

m

所以當“2=1時，AG-CH取得最大值6；當機=2時，AG-C”取得最小值4,

所以46??！钡娜≈捣秶鸀閇4,6].

22.某校有高中生2000人，其中男女生比例約為5:4,為了獲得該校全體高中生的身高信

息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機抽樣方法，抽收了樣本容量為

〃的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.方案二：采用分層隨機抽樣方法，抽取了男、

女生樣本量均為25的樣本，計算得到男生樣本的均值為170,方差為16,女生樣本的均值

為160,方差為20.

0.040-------------------?-----r-——1

0.036—

0.032..................................;)

0.028-------………

0.024..................................

0020-------?

0.016k-I——；二…二

0.012.............I……t……

0.008……

0.004I

°!45155165175185195。高cm

身高（單位：cm）[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

頻數(shù)mPq64

（1）根據(jù)圖表信息，求〃，q并補充完整頻率分布直方圖，估計該校高中生的身高均值；

（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值為代表）

（2）計算方案二中總樣本的均值及方差；

（3）計算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體均值的估計合

適嗎？為什么？

解：⑴因為身高在區(qū)間［185,195］的頻率為0.008義10=0.08,頻數(shù)為4，

4

所以樣本容量為n=萬欣=50,m-0.008xl0x50=4,p=0.04xl0x50=20,

4=50—4—20—6—4=16,

所以身高在［165,175）的頻率為II=0.32,小矩形的高為0.032,

所以身高在［175,185）的頻率為2=0.12,小矩形的高為0.012,

由此補全頻率分布直方圖：

頻率/組距

0040--------:1..........