專題21特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合(原卷版+解析)

專題21特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合解題思路解題思路類型一：從平行四邊形到特殊平行四邊形類型二：特殊平行四邊形間的交叉運(yùn)用典例分析典例分析【類型一：從平行四邊形到特殊平行四邊形】【典例1】（2020春?濮陽期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，連接DO并延長，交AB延長線于點(diǎn)E，連接BD，EC．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠A＝50°，①則當(dāng)∠ADE＝°時(shí)，四邊形BECD是矩形；②則當(dāng)∠ADE＝°時(shí)，四邊形BECD是菱形．【變式1-1】（2020?金昌）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長．【變式1-2】（2021春?黃山期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形ADFE是矩形；（2）連接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的長度．【類型二特殊平行四邊形間的交叉運(yùn)用】【典例2】（2021?豐臺區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．【變式2-1】（2020?北京）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【變式2-2】（春?江漢區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．（1）判斷四邊形OCED的形狀，并進(jìn)行證明；（2）若AB＝4，∠ACB＝30°，求四邊形OCED的面積．【典例3】（2021秋?鳳翔縣期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）當(dāng)∠ADB＝60°，AD＝2時(shí)，求EA的長．【變式3】（2021春?固始縣期末）在Rt△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．（1）證明：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．【典例4】（2021秋?南海區(qū)月考）如圖，點(diǎn)B在MN上，過AB的中點(diǎn)O作MN的平行線，分別交∠ABM的平分線和∠ABN的平分線于點(diǎn)C、D．（1）試判斷四邊形ACBD的形狀，并證明你的結(jié)論．（2）當(dāng)△CBD滿足什么條件時(shí)，四邊形ACBD是正方形？并給出證明．【變式4-1】（2021春?昆明期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：DE＝EF；（2）當(dāng)Rt△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請證明你的結(jié)論．【變式4-2】（2021?平?jīng)瞿M）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．（1）求證：BM＝CM．（2）當(dāng)AB：AD的值為多少時(shí)，四邊形MENF是正方形？請說明理由．夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2021?黃岡模擬）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使得CF＝BE，連接DF，（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的長．2．（2021秋?蘭山區(qū)月考）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長線上的一點(diǎn)．（1）若AC＝EC，如圖1，求證：四邊形BECD為平行四邊形；（2）若AB＝AD，點(diǎn)F是AB上的點(diǎn)，AF＝BE，EG⊥AC于點(diǎn)G，連接DF，GF，DG，CG，如圖2，求證：△EGF≌△AGD．3．（2019春?魚臺縣期末）如圖，在△ABC中，O是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過O點(diǎn)作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）試說明：OE＝OF；（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．能力提升能力提升 4．（高陽縣一模）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：AF＝DC；（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．（3）在（2）的條件下，要是四邊形ADCF為正方形，在△ABC中應(yīng)添加什么條件，請直接把補(bǔ)充條件寫在橫線上（不需說明理由）．5．（2020?青島）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE，OF．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AEOF是正方形？請說明理由．專題21特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合解題思路解題思路類型一：從平行四邊形到特殊平行四邊形類型二：特殊平行四邊形間的交叉運(yùn)用典例分析典例分析【類型一：從平行四邊形到特殊平行四邊形】【典例1】（2020春?濮陽期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，連接DO并延長，交AB延長線于點(diǎn)E，連接BD，EC．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠A＝50°，①則當(dāng)∠ADE＝°時(shí)，四邊形BECD是矩形；②則當(dāng)∠ADE＝°時(shí)，四邊形BECD是菱形．【答案】（1）略（2）80°，90°【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O為BC的中點(diǎn)，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)∠ADE＝80°時(shí)，四邊形BECD是矩形；理由：∵∠A＝50°，∠ADE＝80°，∴∠AED＝50°，∴∠A＝∠AED，∴AD＝DE，∵AB＝CD＝BE，∴BD⊥AE，∴∠DBE＝90°，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴四邊形BECD是矩形；②當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，四邊形BECD是菱形，∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，∴∠AED＝40°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠A＝50°，∴∠BOE＝90°，∴BC⊥DE，∴四邊形BECD是菱形，故答案為：80，90．【變式1-1】（2020?金昌）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長．【答案】（1）略（2）【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD⊥EF，設(shè)BE＝x，則DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝，∴EF＝2EO＝．【變式1-2】（2021春?黃山期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形ADFE是矩形；（2）連接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的長度．【答案】（1）略（2）【解答】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，∴AB∥DC且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF，∴四邊形ADFE是矩形；（2）解：由（1）知：四邊形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝6，∵EC＝4，∴BE＝CF＝2，∴BF＝8，Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴AB＝2BE＝4，∴DF＝AE＝，∴BD＝＝2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∴OF＝BD＝．【類型二特殊平行四邊形間的交叉運(yùn)用】【典例2】（2021?豐臺區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．【答案】（1）略（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE＝，在Rt△AEC中，AC＝，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE＝AC＝．【變式2-1】（2020?北京）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【答案】（1）略（2）OE=5,BG=2【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四邊形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．【變式2-2】（春?江漢區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．（1）判斷四邊形OCED的形狀，并進(jìn)行證明；（2）若AB＝4，∠ACB＝30°，求四邊形OCED的面積．【答案】（1）略（2）8【解答】證明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形DOCE是平行四邊形，∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OC＝AC＝BD＝OD，∴四邊形OCED為菱形（2）∵AB＝4，∠ACB＝30°，∴AC＝8，∴BC＝＝＝4∴S△ABC＝×AB×BC＝8∴S△ABO＝4∵四邊形ABCD是矩形∴S△ABO＝S△CDO＝4，∵四邊形OCED為菱形∴四邊形OCED的面積＝2S△CDO＝8【典例3】（2021秋?鳳翔縣期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）當(dāng)∠ADB＝60°，AD＝2時(shí)，求EA的長．【答案】（1）略（2）AE=【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形ODEC是平行四邊形．又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．∴四邊形ODEC是矩形．（2）解：【變式3】（2021春?固始縣期末）在Rt△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．（1）證明：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．【答案】（1）略（2）10【解答】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；∴AF＝DB，又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝CD，∴平行四邊形ADCF是菱形；（2）解：∵D是BC的中點(diǎn)，∴△ACD的面積＝△ABD的面積＝△ABC的面積，∵四邊形ADCF是菱形，∴菱形ADCF的面積＝2△ACD的面積＝△ABC的面積＝AC×AB＝×4×5＝10．【典例4】（2021秋?南海區(qū)月考）如圖，點(diǎn)B在MN上，過AB的中點(diǎn)O作MN的平行線，分別交∠ABM的平分線和∠ABN的平分線于點(diǎn)C、D．（1）試判斷四邊形ACBD的形狀，并證明你的結(jié)論．（2）當(dāng)△CBD滿足什么條件時(shí)，四邊形ACBD是正方形？并給出證明．【答案】（1）四邊形ACBD是矩形（2）△CBD滿足CB＝BD時(shí)，四邊形ACBD是正方形【解答】解：（1）四邊形ACBD是矩形，證明：∵CD平行MN，∴∠OCB＝∠CBM，∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM，∴∠OCB＝∠OBC，∴OC＝OB，同理可證：OB＝OD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，∴AB＝CD，∴四邊形ACBD是矩形；（2）△CBD滿足CB＝BD時(shí)，四邊形ACBD是正方形，證明：由（1）得四邊形ACBD是矩形，∵CB＝BD，∴四邊形ACBD是正方形．【變式4-1】（2021春?昆明期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：DE＝EF；（2）當(dāng)Rt△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）略（2）【解答】證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四邊形DBCF為平行四邊形，∴DF＝BC，∵D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，∴DE＝BC，∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB，∴DE＝EF；（2）解：當(dāng)△ABC滿足∠BAC＝45°，四邊形ADCF是正方形，證明：∵四邊形DBCF為平行四邊形，∴BD＝CF，∵∠ACB＝90°，D為邊AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD，∴AD＝CF，∵AD∥CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠DCA＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCF是正方形．【變式4-2】（2021?平?jīng)瞿M）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．（1）求證：BM＝CM．（2）當(dāng)AB：AD的值為多少時(shí)，四邊形MENF是正方形？請說明理由．【答案】（1）略（2）當(dāng)AB：AD＝1：2時(shí)，四邊形MENF是正方形【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM；（2）解：當(dāng)AB：AD＝1：2時(shí)，四邊形MENF是正方形，理由如下：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，∴NE∥CM，NE＝CM，∵M(jìn)F＝CM，∴NE＝FM，∵NE∥FM，∴四邊形MENF是平行四邊形，由（1）知△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，∴ME＝MF，∴平行四邊形MENF是菱形；∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴AD＝2AM，∵AB：AD＝1：2，∴AD＝2AB，∴AM＝AB，∵∠A＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝45°，同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵四邊形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2021?黃岡模擬）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使得CF＝BE，連接DF，（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的長．【答案】（1）略（2）AE＝12．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝13，∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∵菱形ABCD的面積＝BD×AC＝BC×AE，即×6×4＝13×AE，解得：AE＝12．2．（2021秋?蘭山區(qū)月考）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長線上的一點(diǎn)．（1）若AC＝EC，如圖1，求證：四邊形BECD為平行四邊形；（2）若AB＝AD，點(diǎn)F是AB上的點(diǎn)，AF＝BE，EG⊥AC于點(diǎn)G，連接DF，GF，DG，CG，如圖2，求證：△EGF≌△AGD．【答案】（1）略（2）略【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝90°，∴CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形；（2）∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠GAE＝45°，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AF+BF＝BE+BF，即AB＝EF，∴EF＝AD，在△EGF和△AGD中，，∴△EGF≌△AGD（SAS）．3．（2019春?魚臺縣期末）如圖，在△ABC中，O是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過O點(diǎn)作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）試說明：OE＝OF；（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）略（2）O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)【解答】（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，證明如下：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECA+∠ACF＝（∠ACB+∠ACD）＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形能力提升能力提升 4．（高陽縣一模）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)