期末難點特訓(xùn)(二)和反比例函數(shù)綜合有關(guān)的壓軸題(原卷版+解析)

期末難點特訓(xùn)二（和反比例函數(shù)綜合有關(guān)的壓軸題）1．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OAPB是矩形，反比例函數(shù)（k＞0）經(jīng)過點P，反比例函數(shù)的圖象分別交線段AP，BP于C，D兩點，連接CD，點G是線段CD上一點．(1)若點C的橫坐標(biāo)為6，點D的縱坐標(biāo)為3，求反比例函數(shù)y（k＞0）的表達(dá)式；(2)在（1）的條件下，當(dāng)∠DPG＝30°時，求點G的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點G是OP與CD的交點，點M是線段OP上的點，連接MC、MD，當(dāng)DM⊥MC時，請寫出MG與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．如圖，過A(2，0)，B(0，2)的直線y＝﹣x+2與雙曲線y＝（x＞0）交于P(，)，Q(，)兩點，連接OQ．點C是線段OA上一點（不與O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．設(shè)CA＝a．(1)求AQ的長；(2)當(dāng)a為何值時，CE＝AC？(3)設(shè)OQ，EC相交于點F，是否存在這樣的點C，使得OEF為等腰三角形？若存在，求出此時點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上的點，AB平行于y軸，且交x軸于點，點C的坐標(biāo)為，AC交y軸于點D，連接BD，．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)點P是反比例函數(shù)圖象上一點，點Q是直線AC上一點，若以點O，P，D，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)；(3)若點是該反比例函數(shù)圖象上的點，且滿足∠MDB>∠BDC，請直接寫a的取值范圍．4．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點．(1)求點A，B的坐標(biāo)；(2)如圖1，點E是線段AC上一點，連接OE，OA，若，求的值；(3)如圖2，將直線AB沿x軸向右平移m個單位長度后，交反比例函數(shù)的圖象于點P，Q，連接AP，BQ，若四邊形ABQP的面積恰好等于，求m的值．5．反比例函數(shù)的圖象與直線交點為A、B，點A在點B的左側(cè)．(1)如圖1，連結(jié)OA、OB，求點A的坐標(biāo)和△AOB的面積；(2)如圖2，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OP，點P在反比例函數(shù)（）的圖象上，求k的值；(3)如圖3，過點A作x軸的平行線與反比例函數(shù)（m＜0，x＜0）圖象的交點為D，從點D作x軸垂線，垂足為E，連結(jié)AE，作點O關(guān)于直線AE的對稱點，若點到AD的距離等于4時，求m的值．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABOC為矩形，點A坐標(biāo)為（6，3），反比例函數(shù)y的圖像分別與AB，AC交于點D，E，點F為線段DA上的動點，反比例函數(shù)y（k≠0）的圖像經(jīng)過點F，交AC于點G，連接FG．(1)求直線DE的函數(shù)表達(dá)式；(2)將△AFG沿FG所在直線翻折得到△HFG，當(dāng)點H恰好落在直線DE上時，求k的值；(3)當(dāng)點F為線段AD中點時，將△AFG繞點F旋轉(zhuǎn)得到△MFN，其中A，G的對應(yīng)點分別為M，N，當(dāng)MNDE時，求點N的坐標(biāo)．7．如圖1，直線y＝﹣x+4與x，y軸的交點分別為點A，B，與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象的兩交點分別為點C，D，點M是反比例函數(shù)上一動點．(1)求△OCD的面積；(2)是否存在點M，使得△ODM∽△OAD？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，是否存在點M，使得矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，點是反比例函數(shù)的圖象上一動點，過點作直線軸交直線于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，且，連接，．(1)求，的值．(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)．(3)設(shè)的中點為，點為軸上一點，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為正方形時，求出點的坐標(biāo)．9．如圖1，一次函數(shù)y＝kx﹣3（k≠0）的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)的圖象交于點A（8，1）．（1）k＝；m＝；（2）點C是線段AB上一點（不與A，B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖象交于點D，連接OC，OD，AD，當(dāng)四邊形OCAD的面積等于24時，求點C的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O′C′D′，若點O的對應(yīng)點O′恰好落在該反比例函數(shù)圖象上（如圖2），請直接寫出此時點D的對應(yīng)點D′的坐標(biāo)．10．如圖1，已知直線的圖象與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點C，D．(1)直接寫出B點坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，求k的值；(3)若點N在x軸上，連接，且滿足的N點有且只有一個，請求出N點的坐標(biāo)．11．如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足+（a+b+3）2＝0，平行四邊形ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線y＝上經(jīng)過C、D兩點．（1）a＝，b＝；（2）求反比例函數(shù)表達(dá)式；（3）點P在雙曲線y＝上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點Q的坐標(biāo)；（4）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當(dāng)T在AF上運動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，直接寫出其變化范圍；若不改變，請直接寫出其值．12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B．已知點A的坐標(biāo)為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點）．（1）求實數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標(biāo)．（其中點E和點A，點C和點B分別是對應(yīng)點）13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點在軸的正半軸上，在第一象限內(nèi)以為邊作，點和邊的中點都在反比例函數(shù)的圖象上，已知的面積為（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）點是軸上一個動點，求最大時的值；（3）過點作軸的平行線（如圖2），在直線上是否存在點，使為直角三角形？若存在，請直接寫出所有的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．如圖：在中，，，軸，雙曲線經(jīng)過點B，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應(yīng)點D落在x軸正半軸上．AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點O．（1）求證是等邊三角形；（2）求出雙曲線的解析式，并判斷點C是否在雙曲線上．請說明理由；（3）在y軸上是否存在一點P．使的周長最小．若存在．求點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．期末難點特訓(xùn)二（和反比例函數(shù)綜合有關(guān)的壓軸題）1．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OAPB是矩形，反比例函數(shù)（k＞0）經(jīng)過點P，反比例函數(shù)的圖象分別交線段AP，BP于C，D兩點，連接CD，點G是線段CD上一點．(1)若點C的橫坐標(biāo)為6，點D的縱坐標(biāo)為3，求反比例函數(shù)y（k＞0）的表達(dá)式；(2)在（1）的條件下，當(dāng)∠DPG＝30°時，求點G的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點G是OP與CD的交點，點M是線段OP上的點，連接MC、MD，當(dāng)DM⊥MC時，請寫出MG與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)點C的橫坐標(biāo)為6，點D的縱坐標(biāo)為3，得出P點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）過點G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，設(shè)GN＝x，則GM＝x，再根據(jù)S△PCD＝S△PDG＋S△PCG得出x的值，然后計算G點坐標(biāo)即可；（3）設(shè)P點坐標(biāo)為（a，），則C（，），D（a，），求出直線OP和直線CD的解析式，根據(jù)G點是直線CD和直線OP的交點得出G點坐標(biāo)，根據(jù)G點是CD的中點，即可得出MG＝CD．（1）解：∵點C的橫坐標(biāo)為6，點D的縱坐標(biāo)為3，四邊形OAPB是矩形，∴P（6，3），∵反比例函數(shù)y（k＞0）經(jīng)過點P，∴k＝6×3＝18，∴反比例函數(shù)y的解析式為y；（2）過點G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，設(shè)MG＝x，∵∠DPG＝30°，∴GN＝MP＝＝x，由（1）知P（6，3），又∵反比例函數(shù)y＝的圖象分別交線段AP，BP于C，D兩點，∴C（6，1），D（2，3），∴PD＝6?2＝4，PC＝3?1＝2，∵S△PCD＝S△PDG＋S△PCG，∴PD?PC＝PD?MG＋PC?GN，即×4×2＝×4x＋×2×x，解得x＝8?4，∴MG＝8?4，GN＝8?12，即G（18?8，4?5）；（3）MG＝CD，理由如下：設(shè)P點坐標(biāo)為（a，），則C（，），D（a，），設(shè)直線OP的解析式為y＝rx，代入P點坐標(biāo)得＝ra，∴r＝，即直線OP的解析式為y＝x，即直線CD的解析式為y＝sx＋t，代入C點和D點的解析式得：，解得：，即直線CD的解析式為y＝x＋，∵點G是直線OP和直線CD的交點，∴x＝x＋，解得x＝，∴G（，），∵D（，），C（a，），∴線段CD的中點坐標(biāo)為（，），∴點G是線段CD的中點，又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．2．如圖，過A(2，0)，B(0，2)的直線y＝﹣x+2與雙曲線y＝（x＞0）交于P(，)，Q(，)兩點，連接OQ．點C是線段OA上一點（不與O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．設(shè)CA＝a．(1)求AQ的長；(2)當(dāng)a為何值時，CE＝AC？(3)設(shè)OQ，EC相交于點F，是否存在這樣的點C，使得OEF為等腰三角形？若存在，求出此時點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時，CE=AC；(3)存在，點C的坐標(biāo)為或或【分析】（1）如圖1中，過點Q作QN⊥OA于點N．證明△ANQ是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（2）如圖1中，過點D作DG⊥OA于點G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可；（3）存在．分三種情形：①如圖2中，當(dāng)EF=OF時，②如圖3中，當(dāng)OE=OF時，③當(dāng)OE=EF時，分別利用等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即可．（1）如圖1中，過點Q作QN⊥OA于點N．∵Q（），∴QN=，∵∠BOA=90°，OA=OB=2，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴AQ=QN=；（2）如圖1中，過點D作DG⊥OA于點G．∵∠OAB=45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形，∴DG=CA=a，∵DE⊥OB，∴四邊形OEDG是矩形，∴OE=DG=a，∵CE=AC，∴（2-a）2+（a）2=a2，解得，（舍去），或，∴當(dāng)時，CE=AC；（3）存在．由（2）可知，C（2-a，0），E（0，），∴直線CE的解析式為y=，∵Q（），∴直線OQ的解析式為y=，由，解得，，①如圖2中，當(dāng)EF=OF時，過點F作FH⊥OE于點H，則OH=OE，∴，解得，a=0（舍去）或a=，∴C（，0）．②如圖3中，當(dāng)OE=OF時，則OF=a，過點F作FH⊥OC于點H．∵，∴FH=OH，∴FH=OF=，∴解得，a=0（舍去）或a=∴C（，0）．③當(dāng)OE=EF時，過點E作EK⊥OF于點K，F(xiàn)H=OH，則OK=OF=FH，EK⊥OF，，又，△EOK∽△OFH，，OE=OK=5FH，即FH=OE，∴，解得，a=0（舍去）或a=∴C（，0），綜上所述，滿足條件的點C的坐標(biāo)為點C的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．3．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上的點，AB平行于y軸，且交x軸于點，點C的坐標(biāo)為，AC交y軸于點D，連接BD，．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)點P是反比例函數(shù)圖象上一點，點Q是直線AC上一點，若以點O，P，D，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)；(3)若點是該反比例函數(shù)圖象上的點，且滿足∠MDB>∠BDC，請直接寫a的取值范圍．【答案】(1)(2)，，(3)或【分析】（1）由AB∥y軸，AD=可得AC，BC=2，再利用勾股定理即可求得AB，得出點A(1，4)，運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=2x+2，設(shè)Q(m，2m+2)，分類討論：當(dāng)OD為平行四邊形的邊時，運用平行四邊形對邊平行且相等建立方程求解即可；當(dāng)OD為平行四邊形的對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分建立方程求解即可；（3）分兩種情況：當(dāng)點M(a，b)在第三象限時，設(shè)直線AC與雙曲線在第三象限的交點為E，求得點E的橫坐標(biāo)即可得出答案；當(dāng)點M(a，b)在第一象限時，如圖4，將△DBC沿著DB翻折得到△DBE，過點B當(dāng)點M(a，b)在第一象限時，如圖|4，將△DBC沿著DB翻折得到△DBE，過點B作BK⊥CD于點K，過點E作EF⊥x軸于點F，延長DE與雙曲線在第一象限的交點為G，運用翻折的性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)求出點E的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法求得直線DE的解析式，求出直線DE與雙曲線的交點橫坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，C∴OB=OC=1∵AB∥y軸，AD=∴AC，BC=2∵∠ABC=90°∴AB=∴A（1，4）∵點A是反比例函數(shù)圖象上的點∴解得k=4∴反比例函數(shù)的解析式是（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，∵A(1，4)，C(-1，0)∴解得∴直線AC的解析式為y=2x+2設(shè)Q（m，2m+2）當(dāng)OD為平行四邊形的邊時，如圖1，則PQ∥OD，PQ=OD，∴∴PQ=|2m+2-|在Rt△CDO中，OD=∴|2m+2-|=2解得或∵點P在第一象限∴m>0∴或∴，，當(dāng)OD為平行四邊形的對角線時，如圖2則∵所在直線AC的解析式為y=2x+2∴所在的直線的解析式為y=2x聯(lián)立可得2x=∴∵點P在第一象限∴∵四邊形是平行四邊形∴PK=DK，∴解得∴綜上，點Q的坐標(biāo)為，，．（3）當(dāng)點M（a，b）在第三象限，如圖，設(shè)直線ACAC與雙曲線在第三象限的交點為E，由，解得x=1或x=-2∴E（-2，-2）∵a<-2當(dāng)點M（a，b）在第一象限時，如圖4將△DBC沿著DB翻折得到△DBE，過點B做BK⊥CD于K，過點E作EF⊥x軸于F，延長DE與雙曲線在第一象限的交點為G，∵∴∴DK=由翻折知：∠DBE=∠DBC，∠DEB=∠DCB，∠BDE=∠BDC，BE=BC=2∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=CD∴BD=CD△∴∠DBC=∠DCB∴∠DBE=∠DBC=∠DEB=∠DCB∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∠DBC+∠DBE+∠EBF=180°∴∠EBF=∠BDC∵∠BFE=∠BKD=90°∴△BEF∽△DBK∴即∴BF=，EF=∴OF=OB+BF=1+∴設(shè)直線DE的解析式為y=cx+d∵D（0，2），∴解得∴直線DE的解析式是由，解得∴綜上，a的取值范圍是或．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解決問題．4．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點．(1)求點A，B的坐標(biāo)；(2)如圖1，點E是線段AC上一點，連接OE，OA，若，求的值；(3)如圖2，將直線AB沿x軸向右平移m個單位長度后，交反比例函數(shù)的圖象于點P，Q，連接AP，BQ，若四邊形ABQP的面積恰好等于，求m的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）聯(lián)立得，再解方程組即可；（2）先求出，再證，求出，再得出，，即可得到答案；（3）設(shè)平移后，由四邊形ABQP的面積恰好等于m2，得到PQ=-，再由，得到，列方程求解即可.（1）解：有題意得，∴解得，，，∴，（2）解：∵交x軸于點C∴，∵，∴，∴∴∵，，∴，，∴，，∴（3）解：設(shè)平移后，如圖，過點D作DF⊥PQ于點F,則ED=m,DF=∴，∴PQ=-有題意得，解得，，，∴QH=x1-x2=,∴,∴=-∴，∴解得（舍），，即【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)，三角形的相似，列方程組求解等知識，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似和列出方程組求解.5．反比例函數(shù)的圖象與直線交點為A、B，點A在點B的左側(cè)．(1)如圖1，連結(jié)OA、OB，求點A的坐標(biāo)和△AOB的面積；(2)如圖2，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OP，點P在反比例函數(shù)（）的圖象上，求k的值；(3)如圖3，過點A作x軸的平行線與反比例函數(shù)（m＜0，x＜0）圖象的交點為D，從點D作x軸垂線，垂足為E，連結(jié)AE，作點O關(guān)于直線AE的對稱點，若點到AD的距離等于4時，求m的值．【答案】(1)A（2，6），16；(2)；(3)或．【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)求出A點和B點的坐標(biāo)，設(shè)直線AB與x軸交于點E，根據(jù)S△AOB=S△AOE-S△BOE計算即可；（2）過點P作OP的垂線交OA的延長線于點F，過點P作y軸的平行線與x軸交點為G，過點F作x軸的平行線交直線GP于點H，根據(jù)AAS證△POG≌△FPH，設(shè)P點坐標(biāo)為（a，b），再用a和b表示出F點的坐標(biāo)，得出OA的解析式，聯(lián)立方程組求出a、b的值即可得出P點坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出k值即可；（3）過O'作AD的垂線，垂足為M，連接OO'交AE于點N，過點N作x軸的垂線，垂足為Q，分O'點在AD上方和AD下方兩種情況分別求m的值即可．（1）解：，解得A（2，6），B（6，2），設(shè)直線AB與x軸交點為E，則E點坐標(biāo)（8，0），由，∴；（2）解：過點P作OP的垂線，與OA的延長線交于點F，過點P作y軸的平行線，與x軸交點為G，過點F作x軸的平行線，與直線GP的交點為H，∵∠AOP＝45°，∠OPF＝90°，∴△POF為等腰直角三角形，OP＝PF，∵∠GPO＋∠HPF＝∠HPF＋∠HFP＝90°，∴∠GPO＝∠HFP，在△POG和△FPH中，，∴△POG≌△FPH，∴OG＝HP，PG＝HF，設(shè)P點坐標(biāo)為（a，b），則OG＝HP＝－a，PG＝HF＝b，∴，點F的坐標(biāo)為（a＋b，b－a），由題意可得：，直線OA的解析式為??＝3??，∴，解得，∴P點坐標(biāo)為，將P點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)（），得；（3）解：過O'作AD的垂線，垂足為M，連接OO'交AE于點N，過點N和A作x軸的垂線，垂足為Q和C，由題知，O'M=4，O'A=OA==2，∴AM==2，①若點在AD下方，如圖，∴O'的坐標(biāo)為（2-2，2），∵AE垂直平分OO'，∴N點的坐標(biāo)為（1-，1），∴NQ=1，∵NQ∥AC，∴△ENQ∽△EAC，∴，∴，得，∴E點坐標(biāo)為，∴D點坐標(biāo)為，將D點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得；②若點在AD上方，如圖，∴O'的坐標(biāo)為（2-2，10），∵AE垂直平分OO'，∴N點的坐標(biāo)為（1-，5），∴NQ=5，∵NQ∥AC，∴△ENQ∽△EAC，∴，∴=5，∴EQ=5×（+1）=5+5，∴E點坐標(biāo)為（-6-4，0），∴D點坐標(biāo)為（-6-4，6），將D點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得m=（-6-4）×6=-36-24，∴點到AD的距離等于4，或．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABOC為矩形，點A坐標(biāo)為（6，3），反比例函數(shù)y的圖像分別與AB，AC交于點D，E，點F為線段DA上的動點，反比例函數(shù)y（k≠0）的圖像經(jīng)過點F，交AC于點G，連接FG．(1)求直線DE的函數(shù)表達(dá)式；(2)將△AFG沿FG所在直線翻折得到△HFG，當(dāng)點H恰好落在直線DE上時，求k的值；(3)當(dāng)點F為線段AD中點時，將△AFG繞點F旋轉(zhuǎn)得到△MFN，其中A，G的對應(yīng)點分別為M，N，當(dāng)MNDE時，求點N的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x+(2)(3)點N的坐標(biāo)為（，）或（，）【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)y＝的圖象分別與AB，AC交于點D，E，求得的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可；（2）連接AH交FG于點K，求得直線FG的解析式為y＝x++3，則FG∥DE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，AH⊥FG，AK＝HK，根據(jù)點F、G分別為AD、AE的中點，建立方程，解方程求解即可；（3）①如圖2，過點M作MT⊥AB于點T，過點N作NR⊥MT于點R，證明△MFT∽△FGA，△MNR∽△FMT，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得MR＝，NR＝，根據(jù)RT＝MT+M即可求得的坐標(biāo)，②如圖3，過點M作MT⊥AB于點T，過點N作NR⊥MT于點R，方法同①，根據(jù)RT＝MT﹣MR即可求得的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象分別與AB，AC交于點D，E，∴D（1，3），E（6，），設(shè)直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+b，則，解得：，∴直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+；（2）如圖1，連接AH交FG于點K，∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交AB于點F，交AC于點G，∴F（，3），G（6，），∴AF＝6﹣，AG＝3﹣，設(shè)直線FG的解析式為y＝a′x+b′，則，解得：，∴直線FG的解析式為y＝x++3，∴FG∥DE，∵將△AFG沿FG所在直線翻折得到△HFG，∴AH⊥FG，AK＝HK，∴，∴點F、G分別為AD、AE的中點，∴＝，解得：k＝；（3）①如圖2，過點M作MT⊥AB于點T，過點N作NR⊥MT于點R，∵M(jìn)N∥DE，F(xiàn)G∥DE，點F為線段AD中點∴MN∥FG，AF＝，AG＝，在Rt△FGA中，F(xiàn)G＝＝＝，由旋轉(zhuǎn)得：△FMN≌△FAG，∴∠FMN＝∠FAG＝90°，∠MFN＝∠AFG，F(xiàn)M＝AF＝，MN＝AG＝，F(xiàn)N＝FG＝，∴∠MFA+∠AFG＝90°，∵∠FGA+∠AFG＝90°，∴∠MFA＝∠FGA，∵∠MTF＝90°＝∠FAG，∴△MFT∽△FGA，∴＝＝，即＝＝，∴MT＝，F(xiàn)T＝，∵∠MRN＝90°＝∠FMN，∴∠NMR+∠FMT＝∠NMR+∠MNR＝90°，∴∠MNR＝∠FMT，∴△MNR∽△FMT，∴＝＝，即＝＝，∴MR＝，NR＝，∴RT＝MT﹣MR＝﹣＝，∴點N的橫坐標(biāo)為：++＝，縱坐標(biāo)為：3+＝，∴N（，）；②如圖3，過點M作MT⊥AB于點T，過點N作NR⊥MT于點R，∵DE∥FG，MN∥DE，∴MN∥FG，∴∠MFG＝∠FMN＝90°，∴∠MFT+∠AFG＝90°，∵∠AGF+∠AFG＝90°，∴∠MFT＝∠AGF，∴△MFT∽△FGA，∴＝＝，即＝＝，∴MT＝，F(xiàn)T＝，∵∠MRN＝90°＝∠FMN，∴∠NMR+∠FMT＝∠NMR+∠MNR＝90°，∴∠MNR＝∠FMT，∴△MNR∽△FMT，∴＝＝，即＝＝，∴MR＝，NR＝，∴RT＝MT﹣MR＝﹣＝，∴點N的橫坐標(biāo)為：+-＝，縱坐標(biāo)為：3-＝，∴N（，）；綜上，點N的坐標(biāo)為（，）或（，）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形、一次函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．如圖1，直線y＝﹣x+4與x，y軸的交點分別為點A，B，與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象的兩交點分別為點C，D，點M是反比例函數(shù)上一動點．(1)求△OCD的面積；(2)是否存在點M，使得△ODM∽△OAD？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，是否存在點M，使得矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)8(2)存在，M(3)存在，M(2，3)或M(3，2)【分析】（1）先求點B的坐標(biāo)為(0，)，點C坐標(biāo)為，點D坐標(biāo)為，過點D作DH⊥OB于點時，得；（2）存在點M，使得△ODM∽△OAD，假設(shè)存在點M，使得△ODM∽△OAD，此時∠MDO=45°，以O(shè)D為直角邊構(gòu)建等腰直角△NOD，過點N作NP⊥OB于點P，過點D作DQ⊥OA于點Q，先證明△NPO∽△DQO，得點N的坐標(biāo)為(-，3)，先求直線DN的函數(shù)關(guān)系式為：，再解方程組：，得點M坐標(biāo)為，再通過計算得AD:OA=DM:OD，且∠MDO=∠DAO=45°，即可證出△MOD∽△DOA；（3）如圖，重疊面積為四邊形MSOT，設(shè)點M坐標(biāo)為(m，)，先表示出點T的坐標(biāo)為(m，m)，點S的坐標(biāo)為，根據(jù)矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于，得方程，即可求解．（1）解：當(dāng)時，∴，∴點B的坐標(biāo)為(0，)，解方程組：得：或∴點C坐標(biāo)為，點D坐標(biāo)為，過點C作CG⊥OB于點G，過點D作DH⊥OB于點H，∴；（2）存在點M，使得△ODM∽△OAD，假設(shè)存在點M，使得△ODM∽△OAD，此時∠MDO=∠A=45°，以O(shè)D為直角邊構(gòu)建等腰直角△NOD，過點N作NP⊥OB于點P，過點D作DQ⊥OA于點Q，∴∠NOP+∠POD=∠DOQ+∠POD=90°，∴∠NOP=∠DOQ，∵∠NPO=∠DQO=90°，NO=DO，∴△NPO≌△DQO（AAS），∴PN=QD=，PO=QO=3，∴點N的坐標(biāo)為(-，3)，設(shè)直線DN的關(guān)系式為：y=kx+b，把點D(3，)，N(-，3)代入，得’解得：，直線DN的函數(shù)關(guān)系式為：，解方程組：，解得：或’∴點M坐標(biāo)為，∴，，，，∴AD：OA=2：=：4；．∴AD:OA=DM:OD，且∠MDO=∠DAO=45°，∴△MOD∽△DOA，此時M點坐標(biāo)為；（3）如圖，重疊面積為四邊形MSOT，設(shè)點M坐標(biāo)為(m，)，根據(jù)點D坐標(biāo)為(3，)，得OD的關(guān)系式為：，當(dāng)x=m時，，∴點T的坐標(biāo)為(m，m)，∴OE=m，TE=m根據(jù)點C坐標(biāo)為(，3)，得OC的關(guān)系式為：y=3x，當(dāng)y=時，3x=，解得：∴點S的坐標(biāo)為，∴，∵矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于，∴化簡得，，解得：m=土2或土3，∵m>0，∴m=2或3，∴m點坐標(biāo)為(2，3)或(3，2)．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，三角形面積求法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)建等腰直角三角形，運用方程思想解決問題．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，點是反比例函數(shù)的圖象上一動點，過點作直線軸交直線于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，且，連接，．(1)求，的值．(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)．(3)設(shè)的中點為，點為軸上一點，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為正方形時，求出點的坐標(biāo)．【答案】(1)3(2)(3)或【分析】將點代入，求得，進(jìn)而求得，將點坐標(biāo)代入求得；表示出的長，根據(jù)求得，進(jìn)而得出點的坐標(biāo)；分為是邊，點在軸正半軸上和在負(fù)半軸上，以及為對角線．當(dāng)為邊時，點在軸正半軸上時，過點作軸，作，證明≌，進(jìn)而得出，從而求得的值，另外兩種情況類似方法求得．（1）解：直線過點，，，直線過點，，，過點，；（2）解：，，，，，，，，；（3）解：如圖，，，，當(dāng)是邊，點在軸正半軸上，作于，作于，，，，，，，≌，，，，，，舍去，如圖，當(dāng)點在軸的負(fù)半軸上時，由上知：，，，當(dāng)是對角線時，當(dāng)是對角線時，可得：，，，，，綜上所述：或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出列方程的等量關(guān)系．9．如圖1，一次函數(shù)y＝kx﹣3（k≠0）的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)的圖象交于點A（8，1）．（1）k＝；m＝；（2）點C是線段AB上一點（不與A，B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖象交于點D，連接OC，OD，AD，當(dāng)四邊形OCAD的面積等于24時，求點C的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O′C′D′，若點O的對應(yīng)點O′恰好落在該反比例函數(shù)圖象上（如圖2），請直接寫出此時點D的對應(yīng)點D′的坐標(biāo)．【答案】（1），8；（2）；（3）【分析】(1)將A(8,1)代入解析式中，利用待定系數(shù)法即可解決問題；(2)設(shè)C(a，a-3)(0＜a＜8)，則D(a，)，根據(jù)四邊形的面積構(gòu)建方程即可求出C點坐標(biāo)；(3)根據(jù)一次函數(shù)，利用方程組求出點O’的坐標(biāo)，再根據(jù)平移規(guī)律即可求出D’坐標(biāo)．【詳解】解：(1)把點A（8，1）分別代入y＝kx﹣3和中，得：1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，故答案為，8；(2)設(shè)C(a，a﹣3)（0＜a＜8），則D(a，)，∴CD＝-a+3，設(shè)A、C的橫坐標(biāo)分別用表示，∴，∵S四邊形ADOC＝24，即，∴a2+6a-16＝0，∴a1＝-8，a2＝2，經(jīng)檢驗：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，∵0＜a＜8，∴a＝2，代回C點坐標(biāo)中，∴C(2，﹣2)，故答案為：C(2，﹣2)；(3)由平移可知：OO′∥AB，∴直線OO′的解析式為y＝x，由，解得或(舍去)，∴O′(4，2)，即O(0,0)通過往右平移4個單位，往上平移2個單位得到O′(4，2)，又由(2)中知D坐標(biāo)為(2，4)，∴D(2，4)往右平移4個單位，往上平移2個單位得到D′(6，6)，故答案為：D′(6，6)．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，點的平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型．10．如圖1，已知直線的圖象與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點C，D．(1)直接寫出B點坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，求k的值；(3)若點N在x軸上，連接，且滿足的N點有且只有一個，請求出N點的坐標(biāo)．【答案】(1)(4，0)(2)(3)（2，0）【分析】（1）將y＝0代入y＝kx﹣4k中，即可得出點B的坐標(biāo)；（2）作CG⊥y軸于G，DH⊥y軸于H，得△ACG∽△ADH，則，設(shè)C（m，），則D（3m，），由點C，D在直線y＝kx﹣4k上，得，解方程組即可求解；（3）由直線y＝kx﹣4k與雙曲線y＝的交點為C，D點，得kx﹣4k＝，設(shè)C、D兩點的橫坐標(biāo)為m、n，則m+n＝4，mn＝﹣，設(shè)N（x，0），則，化簡得x2﹣4x﹣＝0，當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0時，可知k＝﹣1時，存在唯一的點N，滿足∠CND＝90°，從而解決問題．【詳解】（1）解：對于直線，令，則，解得，∴點B的坐標(biāo)為(4，0)．（2）解：如圖，作CG⊥y軸于G，DH⊥y軸于H，∴CG∥DH，∴△ACG∽△ADH，∴，∵AD＝3AC，∴DH＝3CG，設(shè)C（m，），則D（3m，），∵點C，D在直線y＝kx﹣4k上，∴，解得m＝1，k＝﹣，∴k＝﹣；（3）解：∵直線y＝kx﹣4k與雙曲線y＝的交點為C，D點，∴kx﹣4k＝，∴kx2﹣4kx﹣2＝0，設(shè)C、D兩點的橫坐標(biāo)為m、n，則m+n＝4，mn＝﹣，作CP⊥x軸于P，DQ⊥x軸于Q，當(dāng)∠CND＝90°時，△CPN∽△NQD，∴，設(shè)N（x，0），則，∴x2﹣4x﹣＝0，當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0時，∴k＝﹣1時，存在唯一的點N，滿足∠CND＝90°，此時x2﹣4x+4＝0，∴，∴N（2，0）．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的根的判別式求解．11．如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足+（a+b+3）2＝0，平行四邊形ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線y＝上經(jīng)過C、D兩點．（1）a＝，b＝；（2）求反比例函數(shù)表達(dá)式；（3）點P在雙曲線y＝上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點Q的坐標(biāo)；（4）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當(dāng)T在AF上運動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，直接寫出其變化范圍；若不改變，請直接寫出其值．【答案】（1）﹣1；﹣2；（2）y＝；（3）Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）為定值，等于．【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值；（2）故可得出A、B兩點的坐標(biāo)，設(shè)D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t的值即可；（3）由（2）知k=4可知反比例函數(shù)的解析式為y＝，再由點P在雙曲線y＝上，點Q在y軸上，設(shè)Q（0，y），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標(biāo)；（4）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵a、b滿足+（a+b+3）2＝0，則，解得，故答案是：﹣1；﹣2；（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E為AD中點，∴xD＝1，設(shè)D（1，t），又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴C（2，t﹣2）．∴t＝2t﹣4．∴t＝4．∴D（1，4），∵D（1，4）在雙曲線y＝上，∴k＝xy＝1×4＝4．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（3）∵點P在雙曲線y＝上，點Q在y軸上，∴設(shè)Q（0，y），P（x，），①當(dāng)AB為邊時：如圖1所示：若ABPQ為平行四邊形，則＝0，解得x＝1，此時P1（1，4），Q1（0，6）；如圖2所示：若ABQP為平行四邊形，則﹣＝x，解得x＝﹣1，此時P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如圖3所示：當(dāng)AB為對角線時：AP＝BQ，且AP∥BQ；∴﹣＝，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；綜上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）如圖4，連接NH、NT、NF，∵M(jìn)N是線段HT的垂直平分線，∴NT＝NH，∵四邊形AFBH是正方形，∴∠ABF＝∠ABH，在△BFN與△BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，∴△BFN≌△BHN（SAS），∴NF＝NH＝NT，∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，四邊形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四邊形ATNH內(nèi)角和為360°，所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．∴MN＝HT，∴=．即為定值，等于．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識，難度較大．12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B．已知點A的坐標(biāo)為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點）．（1）求實數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標(biāo)．（其中點E和點A，點C和點B分別是對應(yīng)點）【答案】（1）a=1，b=3，k=4；（2）（8，），或（2，）【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入可求得k的值，根據(jù)△AOB的面積求得點B坐標(biāo)，把點A，B的坐標(biāo)代入，可求得a，b，的值；（2）分兩種情況（i）將△繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到△，（ii）作△關(guān)于x軸的對稱圖形△，進(jìn)行解答．【詳解】解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有解得，于是，直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）所以點B的坐標(biāo)為（，）因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以，解得（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸