北師版九年級(jí)數(shù)學(xué) 4.4探索三角形相似的條件（學(xué)習(xí)、上課課件）

4探索三角形相似的條件第四章圖形的相似逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2相似三角形兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似三邊成比例的兩個(gè)三角形相似判定兩個(gè)三角形相似的基本思路黃金分割知識(shí)點(diǎn)相似三角形知1－講1

???????????知1－講

知1－講特別提醒用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如△

ABC∽△A′B′C′表示頂點(diǎn)A

與A′，B

與B′，C與C′分別對(duì)應(yīng)；如果僅說(shuō)“△ABC

與△A′B′C′相似”，沒(méi)有用“∽”連接，那么需要分類討論各頂點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.知1－練例1如圖4-4-2，已知△ABC∽△ADE，∠C=70°，AB=6，BC=6，AD=3.解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”求解.知1－練(1)求△ABC與△

ADE的相似比；

知1－練(2)求∠

AED的度數(shù)和DE

的長(zhǎng).

知1－練

A知2－講知識(shí)點(diǎn)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似2判定定理圖示符號(hào)語(yǔ)言兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′知2－講特別提醒由兩角分別相等判定兩個(gè)三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般選取相等的角作為對(duì)應(yīng)角.如：公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)等，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知2－練如圖4-4-3，在△ABC中，AD

是∠BAC的平分線，AD

的垂直平分線交AD

于點(diǎn)E，交BC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：△

ABF∽△CAF.例2解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”.由于∠

BFA是公共角，因此只需利用圖形的相關(guān)性質(zhì)說(shuō)明∠B=∠4即可證明.知2－練證明：∵

EF垂直平分AD，∴AF=DF.∴∠FAD=∠3.∵∠B

=∠3－∠1，∠4=∠FAD－∠2，∠1=∠2，∴∠B=∠4.又∵∠BFA

=∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知2－練2-1.如圖，在四邊形ABCD

中，∠ADB

=∠ACB，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E.求證：△

ACE∽△BDE.證明：∵∠ADB

＝∠ACB，∴∠BDE

＝∠ACE.又∵∠E

＝∠E，∴△ACE

∽△BDE.知3－講知識(shí)點(diǎn)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似3判定定理圖示符號(hào)語(yǔ)言兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似知3－講特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS方法.知3－練如圖4-4-4，在正方形ABCD中，P是BC上的一點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn).求證：△ADQ∽△QCP.例3解題秘方：緊扣“邊角關(guān)系判定相似三角形定理”證明即可.知3－練

知3－練解題通法：利用兩邊成比例且夾角相等證兩三角形相似的方法先找出兩個(gè)三角形中相等的那個(gè)角；再分別找出兩個(gè)三角形中夾這個(gè)角的兩條邊，并按大小排列找出對(duì)應(yīng)邊；最后看這兩組對(duì)應(yīng)邊是否成比例，若成比例，則兩個(gè)三角形相似，否則不相似.知3－練3-1.如圖，在△

ABC中，D，E

分別在AB與AC

上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求證：△ADE

∽△ACB.知3－練知4－講知識(shí)點(diǎn)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似4判定定理圖示符號(hào)語(yǔ)言三邊成比例的兩個(gè)三角形相似要注意比的順序性，即分子為同一個(gè)三角形的三邊，分母為另一個(gè)三角形的三邊.知4－講特別提醒由三邊成比例判定兩三角形相似的方法與三邊對(duì)應(yīng)相等判定兩三角形全等的方法類似，只需把三邊對(duì)應(yīng)相等改為三邊成比例即可.知4－練[母題教材P95習(xí)題T2]圖4-4-5，圖4-4-6中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖4-4-6中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖4-4-5中的△

ABC相似？例4知4－練解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求各邊的長(zhǎng)，緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”，用計(jì)算比較法判斷.知4－練

知4－練解題通法：利用三邊判斷三角形是否相似的步驟(1)排：將三角形的三邊分別按從大到小(或從小到大)的順序排列；(2)算：分別計(jì)算最長(zhǎng)邊與最長(zhǎng)邊、最短邊與最短邊、第三邊與第三邊的比值；(3)判：若比值都相等，則這兩個(gè)三角形相似，否則，不相似.知4－練4-1.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC

和△DEF

的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上.知4－練(1)填空：∠ABC=______°，AC=______；(2)判斷：△ABC

與△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論.135知5－講知識(shí)點(diǎn)判定兩個(gè)三角形相似的基本思路51.判定兩個(gè)三角形相似的基本思路

判定兩個(gè)三角形相似2.有關(guān)三角形相似的基本圖形如下表：知5－講類型所需條件圖形平行線型“A”字型：如圖①，DE∥BC，則△ADE∽△ABC.“8”字型：如圖②，DE∥BC，則△ADE∽△ABC知5－講類型所需條件圖形斜交型有公共角∠

A(如圖①②③)或?qū)斀恰?與∠2(如圖④)，可找另一組角相等或夾公共角(對(duì)頂角)的兩邊成比例知5－講類型所需條件圖形旋轉(zhuǎn)型如圖，已知∠1=∠2，可找另一組角相等或夾∠B′A′C′與∠BAC

的兩邊成比例一線三等角型如圖①②③，點(diǎn)C

在邊BE上，∠B=∠ACD=∠E，則△ABC∽△CED知5－講類型所需條件圖形雙垂直型如圖①②，∠ACB=90°，DE⊥AB，則△ABC∽△ADE模型解讀“雙垂直模型”，可應(yīng)用于求角和邊.求邊時(shí)的思路常有三種：①結(jié)合面積；②利用勾股定理；③構(gòu)造比例式.知5－講特別解讀證明特殊三角形相似的方法：1.有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；2.直角邊和斜邊或兩條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似；3.有一個(gè)底角或頂角相等的兩個(gè)等腰三角形相似；4.所有的等邊三角形相似；5.所有的等腰直角三角形相似.知5－練如圖4-4-7，已知點(diǎn)D是△

ABC(三邊不相等)的邊AC

上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D畫線段DE，使點(diǎn)E

在△ABC的邊上，且點(diǎn)D，E

和△ABC

的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與△ABC

相似，則這樣的畫法有(

)A.2種 B.3種C.4種 D.5種例5知5－練思路導(dǎo)引：知5－練解：如圖4-4-7，①作∠ADE1=∠B；②作DE2∥BC；③作∠CDE3=∠B；④作DE4∥AB.其中，①③畫法的依據(jù)為“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”；②④畫法的依據(jù)為“兩角分別相等或兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”.因此共有4種畫法.答案：C知5－練5-1.如圖，E

為矩形ABCD

的CD

邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE

交AD于G，AF⊥BE

于F，圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是()A.5 B.7C.8 D.10D知6－講知識(shí)點(diǎn)黃金分割6

知6－講

一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).知6－講

知6－講方法二：如圖4-4-11，已知線段AB.(1)以線段AB

為邊作正方形ABCD；(2)取AD的中點(diǎn)E，連接EB；(3)延長(zhǎng)DA

至F，使EF=EB；(4)以AF

為邊作正方形AFGH.點(diǎn)H

即為線段AB

的黃金分割點(diǎn).知6－講

知6－練科學(xué)研究表明，當(dāng)人的下半身長(zhǎng)與身高之比為黃金分割比時(shí)，看起來(lái)最美.某成年女士的身高為155cm，以肚臍為分界點(diǎn)下半身長(zhǎng)94cm，按此比例，該女士所穿高跟鞋的鞋跟最佳高度約為多少？(結(jié)果精確到0.1cm)例6解題秘方：緊扣黃金分割的比例列出方程解決問(wèn)題.知6－練

知6－練

B知6－練[新考法分類討論法]已知線段AB=6，點(diǎn)C

為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC=a，BC=b，求a－b

和a·b

的值.例