滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué) 22.2 相似三角形的判定（學(xué)習(xí)、上課課件）

22.2相似三角形的判定第二十二章相似形學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1相似三角形平行線截三角形相似的定理利用角的關(guān)系判定三角形相似的定理利用邊角關(guān)系判定三角形相似的定理利用三邊關(guān)系判定三角形相似的定理直角三角形相似的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)流程2知識(shí)點(diǎn)相似三角形知1－講11.定義如果兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖22.2-1，在△ABC和△A'B'C'中，

△ABC∽△A′B′C′知1－講2.

相似三角形的表示方法相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”.如圖22.2-2，△ABC與△A'B'C'相似，記作“△ABC∽△A'B'C'”，讀作“△ABC相似于△A'B'C'”.知1－講特別警示：用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.如△ABC∽△A'B'C'表示頂點(diǎn)A與A'，B與B'，C與C'分別對(duì)應(yīng)；如果僅說“△ABC與△A'B'C'

相似”，沒有用“∽”連接，則需要分類討論它們頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.知1－講

知1－練例1如圖22.2-3，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”求解.知1－練

(1)求△ABC與△ADE的相似比；知1－練

(2)求∠AED的度數(shù)和DE的長(zhǎng).知1－練感悟新知1-1.如圖，已知△ABC∽△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°.(1)

求∠AED和∠ADE的度數(shù)；解：∵∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝95°.

∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠ABC＝95°.知1－練感悟新知(2)求DE的長(zhǎng)．知2－講知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理21.定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，截得的三角形與原三角形相似.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖22.2-4所示，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.知2－講2.

作用本定理是相似三角形判定定理的預(yù)備定理，它通過平行證三角形相似，再由相似證對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.知2－講特別提醒根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有BC∥DE，圖22.2-4①②很像大寫字母A，故我們稱之為“A”型相似；圖22.2-4③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯?dāng)?shù)字“8”).知2－練如圖22.2-5，已知在ABCD中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB＝3BE，DE與BC相交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.例2知2－練解題秘方：緊扣“平行線截三角形兩邊的兩種基本圖形——‘A’型和‘X’型”進(jìn)行查找.知2－練

知2－練感悟新知2-1.如圖，在ABCD中，E

是AB

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，那么圖中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)

A.6對(duì)B.5對(duì)C.4對(duì)D.3對(duì)B知2－練如圖22.2-6，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC為_______米．例37知2－練解題秘方：判斷是用“平行線截線段成比例”，還是用“平行線截三角形相似的對(duì)應(yīng)邊成比例”解題是關(guān)鍵.

知2－練感悟新知3-1.如圖，在ABCD中，AC

與BD相交于點(diǎn)O，E

為OD

的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，則DF∶FC=(

)A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.1∶2D知3－講知識(shí)點(diǎn)利用角的關(guān)系判定三角形相似的定理31.

定理如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似(可簡(jiǎn)單說成：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖22.2-7所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知3－講特別提醒由兩角分別相等判定兩個(gè)三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般地，相等的角是對(duì)應(yīng)角．如：公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)等都是相等的角，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知3－講2.

常見的相似三角形的類型(1)平行線型：如圖22.2-8①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC；(2)相交線型：如圖22.2-8②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC；知3－講(3)“子母”型：如圖22.2-8③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC；(4)“K”型：如圖22.2-8④，若點(diǎn)A，C，D共線，且∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC，圖形整體像一個(gè)橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.知3－練感悟新知如圖22.2-9，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E

分別在CB，AC

的延長(zhǎng)線上，∠ADE=60°．求證：△ABD∽△DCE.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”找到兩組角對(duì)應(yīng)相等即可．證明：∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠DCE=120°．∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°，∠ADB+∠EDC=∠ADE=60°，∴∠DAB=∠EDC．∴△ABD∽△DCE．知3－練感悟新知4-1.

[期末·六安]如圖，在△ABC

與△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2，證明：△ABC

∽△ADE.證明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE.又∵∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE.知3－練感悟新知

例5知3－練感悟新知解題秘方：先利用勾股定理求出BC

的長(zhǎng)，再分類討論.根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”和“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”計(jì)算．知3－練感悟新知

知3－練感悟新知答案：D

知3－練感悟新知5-1.如圖，在△ABC中，按如下步驟作圖：(1)以點(diǎn)B為圓心，BA

長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC

于點(diǎn)D；(2)以點(diǎn)C為圓心，CA

長(zhǎng)為半徑畫弧，交CB

于點(diǎn)E．若AB=AC=2，∠B=36°，求ED

的長(zhǎng)．知3－練感悟新知解：連接AE，AD.由作圖可得BD＝BA＝2，CA＝CE＝2.∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠B＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠ADB＝72°，∠CAE＝∠CEA＝72°，∴∠ADB＝∠CEA，∠BAE＝∠CEA－∠B＝36°，∴AE＝AD，∠BAE＝∠B.∴BE＝AE.∴AE＝BE＝AD.知3－練感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)利用邊角關(guān)系判定三角形相似的定理4

知4－講特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知4－練

例5

知4－練解題秘方：先緊扣“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解決問題．

知4－練感悟新知6-1.如圖，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，一定能得到(

)A.△AED∽△CEDB.△ABE∽△ACBC.△ABC∽△EDCD.△AED∽△CBAC知5－講知識(shí)點(diǎn)利用三邊關(guān)系判定三角形相似的定理5

知5－講特別提醒1.由三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似的方法與三邊對(duì)應(yīng)相等判定三角形全等的方法類似，只需把三邊對(duì)應(yīng)相等改為三邊成比例即可.2.應(yīng)用時(shí)要注意比的順序性，即分子為同一個(gè)三角形的三邊，分母為另一個(gè)三角形的三邊，同時(shí)要注意邊的對(duì)應(yīng)情況，用大邊對(duì)大邊、小邊對(duì)小邊的思路找對(duì)應(yīng)邊.感悟新知知5－練[期中·安慶]如圖22.2-14，正方形網(wǎng)格中的小正方形的面積都為1，網(wǎng)格中有△ABC

和△DEF(三角形中的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)．這兩個(gè)三角形相似嗎？請(qǐng)說明你的理由．例7知5－練感悟新知解題秘方：先根據(jù)勾股定理分別求出△ABC和△DEF的三邊長(zhǎng)，再判斷它們是否對(duì)應(yīng)成比例即可．

知5－練感悟新知

知5－練感悟新知7-1.如圖，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是________．(填序號(hào))①③知6－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形相似的判定61.

定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似(可簡(jiǎn)單說成：斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似).知6－講2.

直角三角形相似的判定方法(1)一組銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；(2)兩組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似；(3)斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.知6－講

知6－講思路總結(jié)判定兩個(gè)三角形相似的思路：已知平行于三角形一邊的直線，直接找兩個(gè)三角形相似；已知一角對(duì)應(yīng)相等，找另一角對(duì)應(yīng)相等，或夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；已知兩邊對(duì)應(yīng)成比例，找夾角相等，或與第三邊成比例；已知直角三角形，找一組銳角相等，或兩組直角邊對(duì)應(yīng)成比例，或斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例.知6－練[母題教材P84練習(xí)T3]在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列條件中，不能判定這兩個(gè)三角形相似的是()A.∠A＝55°，∠D＝35°B.

AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C.

AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D.

AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9例8知6－練解題秘方：緊扣“直角三角形相似的判定方法”一一進(jìn)行驗(yàn)證