2024-2025學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊（配湘教版）2.2.4 直線的方向向量與法向量

2.2.4直線的方向向量與法向量A級必備知識基礎(chǔ)練1.直線l:x+2y-3=0的一個方向向量為()A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2)2.經(jīng)過點(1,1),且方向向量為(1,2)的直線方程是()A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=03.若直線l經(jīng)過點A(-1,4),B(3,2),則直線l的一個法向量n=()A.(1,-2) B.(4,-2) C.(4,2) D.(1,2)4.過點A(2,3),且法向量為向量a=(2,1)的直線方程為()A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=05.已知點P(2,3),Q(5,t)在直線l上,且直線l的一個方向向量是v=(1,2),則t=.

6.若直線l的傾斜角為3π4,則直線l的一個方向向量d可以是(只需填寫一個)7.已知直線m的一個方向向量為v=(3,3),直線l的傾斜角為直線m的傾斜角的2倍.求當直線l分別滿足下列條件時直線l的點斜式方程.(1)過點P(3,-4);(2)與y軸的交點為(0,-3).B級關(guān)鍵能力提升練8.已知直線l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直線l的一個方向向量,則實數(shù)m的值為()A.-1 B.1C.2 D.-1或29.(多選題)下列說法正確的是()A.若直線的一個方向向量為d=(u,v),則直線l的斜率為vB.若直線的斜率為vu,則直線l的一個方向向量為d=(u,vC.若直線的斜率為k,則直線l的一個方向向量為d=(k,k2)D.若直線的一個方向向量為d=(u,v),則直線的一個法向量為t=(-v,u)10.(多選題)已知直線l的一個方向向量為u=-36,12,且直線l經(jīng)過點(1,-A.直線l的傾斜角等于120°B.直線l與x軸的交點坐標為2C.直線l與直線y=3x+2垂直D.直線l與直線y=-3x+2平行11.已知△ABC的頂點C的坐標為(1,1),AC所在直線的方向向量為(1,2),AC邊上的中線所在的直線方程為x+y-1=0,則點A的坐標為()A.13B.2C.23D.112.若一條直線的斜率為k,則該直線的一個方向向量是,一個法向量是.

13.已知兩條直線l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若直線l1的一個法向量恰為直線l2的一個方向向量,則a=.

14.已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,2),B(4,-1),C(6,5).求:(1)AB邊所在直線的一個方向向量與一個法向量;(2)AB邊的中垂線的一般式方程.15.已知直線l:(a2-2a+4)x-ay-3=0.(1)若直線l過點A(1,0),試寫出直線l的一個方向向量;(2)若實數(shù)a≠0,求直線l斜率的取值范圍.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.(多選題)已知經(jīng)過坐標平面內(nèi)A(1,2),B(-2,2m-1)兩點的直線的方向向量為(1,sinα),則實數(shù)m的值可以為()A.-1 B.0 C.2 D.3

2.2.4直線的方向向量與法向量1.A由題知,直線l的斜率為k=-12,設(shè)直線l的方向向量為(x,y),則yx=-2.A∵直線的方向向量為(1,2),∴直線的斜率k=2.∴直線的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故選A.3.D因為A(-1,4),B(3,2),所以AB=(4,-2).若n=(1,-2),則AB·n=4+4=8≠0,不滿足;若n=(4,-2),則AB·n=16+4=20≠0,不滿足;若n=(4,2),則AB·n=16-4=12≠0,不滿足;若n=(1,2),則AB·n=4-4=0,滿足.故選D.4.A設(shè)P(x,y)是所求直線上除點A外任一點,則AP⊥a,∵AP=(x-2,y-3),∴2(x-2)+(y-3)=0,即2x+y-7=0.經(jīng)檢驗,點A在直線2x+y-7=0上,故直線方程為2x+y-7=0.5.9由直線l的一個方向向量是v=(1,2),可知直線l的斜率為k=2,因此t-35-2=6.(1,-1)(答案不唯一)設(shè)直線l的一個方向向量d=(x,y),因為直線l的傾斜角為3π4,所以直線l的斜率k=tan3π4=-1,故令x=1,則y=-1,故方向向量d可以是(1,-1).7.解(1)∵直線m的一個方向向量為v=(3,3),∴直線m的斜率為33,則直線m的傾斜角為30°則直線l的傾斜角為60°,即直線l的斜率為tan60°=3.∵直線l過點P(3,-4),∴直線l的點斜式方程為y-(-4)=3(x-3).(2)由(1)知直線l的斜率為3.∵直線l與y軸的交點為(0,-3),∴直線l的點斜式方程為y-(-3)=3(x-0).8.D由題可得,11-m=-m2,解得m=-19.BD當u=0時,斜率不存在,故A錯誤;由方向向量與斜率的關(guān)系,可知B正確;當k=0時,方向向量為零向量,故C錯誤;由于d·t=-uv+uv=0,故D正確.故選BD.10.AD因為直線l的一個方向向量為u=-36,12,所以直線l的斜率k=12-36=-3,則得直線直線l的方程為y+2=-3(x-1),當y=0時,x=1-233,即直線l與x軸交于點1-23直線y=3x+2的一個法向量為(3,-1),則3×-36+(-1)×12=-1≠0,即直線l與直線y=3x+2不垂直直線y=-3x+2的斜率為-3,直線l的斜率為-3,且兩條直線在y軸上的截距不相等,則直線l與直線y=-3x+2平行,故D正確.11.A設(shè)點A的坐標為(x0,y0),AC所在直線的方向向量為(1,2),則AC所在直線的斜率k=1-y01-x0=21,即1×(1-y0)-2(1-x0)=0,所以A(x0,2x0-1),則線段AC的中點坐標為1+x因為AC邊上的中線所在的直線方程為x+y-1=0,則線段AC的中點1+x02,x0在直線x+y-1=0上,即1+x02+x0-1=0,解得x12.(1,k)(k,-1)(答案不唯一)因為直線的斜率為k,所以它的一個方向向量為(1,k),設(shè)直線的一個法向量為(x,y),則(x,y)·(1,k)=x+ky=0,不妨取x=k,y=-1,則它的一個法向量是(k,-1).13.3因為直線l1:ax-2y-3=0的一個法向量恰為直線l2:4x+6y-3=0的一個方向向量,所以l1⊥l2.直線l1的一個法向量為(a,-2),直線l2的一個法向量為(4,6),所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3.14.解(1)由A(1,2),B(4,-1)知,AB邊所在直線的一個方向向量是AB=(3,-3).故AB邊所在直線的一個法向量為(3,3).(答案不唯一)(2)設(shè)線段AB的中點為M,則點M52設(shè)AB邊的中垂線的一個方向向量為d,則d⊥AB.因為AB=(3,-3),所以取d=(1,1),則中垂線斜率為k=1,則可得中垂線的方程為y-12=1×x整理得AB邊的中垂線的一般式方程是x-y-2=0.15.解(1)把A(1,0)的坐標代入直線l的方程得a2-2a+1=0,解得a=1,此時直線l的方程為3x-y-3=0,故直線l的一個方向向量為(1,3).(答案不唯一)(2)設(shè)直線l的斜率為k,因為a≠0,所以直線l的斜率k=a2-2a+4a=a+4a-2,所以當a>0時,k=a+4a-2≥2a·4a當a<0時,k=-(-a)+-4a-2≤-2(-