2024-2025學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊（配湘教版）3.5 圓錐曲線的應(yīng)用

3.5圓錐曲線的應(yīng)用A級必備知識基礎(chǔ)練1.開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律,其中開普勒第一定律又稱為軌道定律,即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在橢圓的一個焦點上.記地球繞太陽運動的軌道為橢圓C,在地球繞太陽運動的過程中,若地球與太陽的最遠距離與最近距離之比為λ,則C的離心率為()A.λ2-1λC.λ-1λ2.若某衛(wèi)星運行的軌道是以地心為一個焦點的橢圓,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為mkm,遠地點離地面的距離為nkm,地球的半徑為Rkm,則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于()A.2(mB.(C.2mn D.mn3.如圖所示,沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=2px(p>0)反射后,與x軸相交于點A(2,0),則p=.

4.某校興趣小組運用計算機對輪船由甲地海灣行駛?cè)胍业睾尺M行了一次模擬試驗.如圖,乙地海灣的入口處有暗礁,其中線段AA1,B1B,CC1,D1D分別關(guān)于坐標軸或原點對稱,線段B1B的方程為y=x,x∈[a,b],b>a>0,過O有一條航道.有一艘正在甲地海灣航行的輪船準備進入乙地海灣,在點M-52a,0處測得該船發(fā)出的汽笛聲的時刻總比在點N52a,0處晚1s(設(shè)海面上聲速為am/s).若該船沿著當前的航線航行(不考慮輪船的體積),則興趣小組觀察到輪船當前航線所在的軌跡是什么?B級關(guān)鍵能力提升練5.如圖所示,一圓柱被與底面成θ0<θ<π2角的平面所截,其截口是一個橢圓,則這個橢圓的離心率為()A.sinθ B.cosθ C.1-sinθ D.1-cosθ6.如圖為一個拋物線型拱橋,當水面經(jīng)過拋物線的焦點時,水面的寬度為36m,則此時欲經(jīng)過橋洞的一艘寬12m的貨船,其船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過()A.6m B.6.5m C.7.5m D.8m7.某市進行科技展覽,其中有一個展品的一個截面由一條拋物線C1和一個“開了孔”的橢圓C2構(gòu)成(小孔在橢圓的左上方).如圖,橢圓與拋物線均關(guān)于x軸對稱,且拋物線的頂點和橢圓的左頂點都在坐標原點,F1,F2為橢圓C2的焦點,同時F1也為拋物線C1的焦點,其中橢圓的短軸長為23,在F2處放置一個光源,其中一條光線經(jīng)過橢圓兩次反射后再次回到F2經(jīng)過的路程為8.由F2處的光源照射的某些光線經(jīng)橢圓反射后穿過小孔,再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.(1)求拋物線C1的標準方程;(2)若由F2處的光源發(fā)出的一條光線經(jīng)由橢圓C2上的點P反射后穿過小孔,再經(jīng)拋物線上的點Q反射后剛好與橢圓相切,求此時的線段QF1的長;(3)在(2)的條件下,求線段PQ的長.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練8.某學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗,設(shè)計方案如圖,航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為x2100+y225=1,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、M0,647為頂點的拋物線的實線部分,降落點為D(8,0).觀測點A(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程;(2)試問:當航天器在x軸上方時,觀測點A,B測得離航天器的距離分別為多少時,應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令?

3.5圓錐曲線的應(yīng)用1.C設(shè)橢圓C的焦距為2c,長軸長為2a,根據(jù)題意可得地球與太陽的最遠距離為a+c,最近距離為a-c,則a+ca-c=λ,易知λ≠-1,解得ca故選C.2.A由題意得n+R=a+c,m+R=a-c,可得a=m+n+2R2,c=n-m2,則2b=23.4∵沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后的光線經(jīng)過拋物線的焦點,∴拋物線的焦點坐標是(2,0),∴p=2×2=4.4.解設(shè)輪船所在的位置為點P,由題意可得|PM|-|PN|=a.∵a<|MN|=5a,∴點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支.設(shè)所求雙曲線的標準方程為x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),則故興趣小組觀察到輪船當前航線所在的曲線方程是x2a24-y2a2所以興趣小組觀察到輪船當前航線所在的軌跡是雙曲線的一支.5.A設(shè)圓柱的底面直徑為d,∵截面與底面成θ角,∴橢圓的短軸長2b=d,橢圓的長軸長2a=dcos根據(jù)c=a2-b2得,橢圓的半焦距c=dsinθ2cosθ,則橢圓的離心率e=c6.D根據(jù)題意,畫出拋物線如圖所示:設(shè)寬度為36m時與拋物線的交點為A,B,寬度為12m時與拋物線的交點為C,D.當水面經(jīng)過拋物線的焦點時,寬度為36m,由拋物線性質(zhì)可知2p=36,則拋物線的標準方程為x2=-36y,則A(18,-9).當寬度為12m時,設(shè)C(6,a),代入拋物線方程可得62=-36a,解得a=-1.所以直線AB與直線CD之間的距離為h=(-1)-(-9)=8,即船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過8m,故選D.7.解(1)設(shè)橢圓C2的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,由題可知,2b=23,4a=8,則b=3,a=2,所以c=1.故拋物線C1的焦點F1(1,0),所以拋物線C1的標準方程為y2=4x.(2)由題可設(shè)Q(m,3),代入拋物線的方程可得m=34,即Q34,所以|QF1|=(3(3)由(2)可知直線QF1的斜率為kQF1=即tan∠QF1F2=-43,由∠QF1F2+∠PF1F2=π,得tan∠PF1F2=43.又∠PF1F2∈(0,π),所以cos∠PF1F2=17設(shè)|PF1|=m,則|PF2|=4-m,易知|F1F2|=2,所以由余弦定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2,即(4-m)2=m2+4-2m·2·17解得m=2113故線段PQ的長為21138.解(1)由題意,設(shè)拋物線的方程為y=-ax2+647(a>因為拋物線經(jīng)過點D(8,0),所以-64a+647=0,解得a=1聯(lián)立x得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-94(舍去)