專題44二次函數(shù)中的特殊四邊形問題(原卷版+解析)

專題44二次函數(shù)中的特殊四邊形問題【題型演練】一、解答題1．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線經(jīng)過B（3，0）、兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），①當點E在直線BC的下方運動時，求的面積的最大值；②在①的條件下，點M是拋物線的對稱軸上的動點，在該拋物線上是否存在點P，使以C、E、P、M為頂點的四角形為平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝，其圖象與直線y＝x＋2交于C，D兩點，其中點C在y軸上，點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P的橫坐標為x0，當x0為何值時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．3．（2022·廣東佛山·西南中學(xué)校考三模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)已知為正數(shù)，當時，的最大值和最小值分別為，，且，求的值；(3)點是平面內(nèi)任意一點，在拋物線對稱軸上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D，且．(1)求拋物線的解析式及直線BC的表達式；(2)在線段BC上找一點E（不與B、C重合），使的值最小，并求出這個最小值；(3)連接AC，是否在拋物線上存在點P，過點P作于點E，使以點A、C、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=?x2+6x?5與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為y=x?5，(1)寫出相應(yīng)點的坐標：A______，B______，C______；(2)點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大，并求出最大值．(3)過點A作AM⊥BC于點M，過拋物線上一動點N（不與點B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標．6．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．點M是y軸右側(cè)拋物線上一動點，過點M作的平行線，交直線于點D，交x軸于點E．(1)請直接寫出點A，B，C的坐標及直線的解析式；(2)當時，求點D的坐標；(3)試探究在點M運動的過程中，是否存在以點A，C，E，M，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．7．（2022·山東濟寧·?？级＃┮阎獟佄锞€與直線交于、兩點，如果點，．(1)求拋物線和直線的解析式．(2)長度為的線段在線段上移動，點與點在上述拋物線上，且線段與始終平行于軸．連接，求四邊形的面積的最大值，并求出對應(yīng)點的坐標，判斷此時四邊形的形狀．8．（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線與軸交于點，對稱軸交軸于點，點是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，交軸于點，交軸于點，軸于點，點是拋物線的頂點，已知在點的運動過程中，的最大值是．(1)求點的坐標與的值；(2)當點恰好是的中點時，求點的坐標；(3)連結(jié)，作點關(guān)于直線的對稱點，當點落在線段上時，則點的坐標為______直接寫出答案9．（2022·山西·山西實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）綜合與探究：已知：二次函數(shù)的圖象的頂點為，與軸交于，A兩點，與軸交于點，如圖：(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點，使得的周長最小，求出點的坐標；(3)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使得以A、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2022·甘肅平?jīng)觥ば？级＃┤鐖D，拋物線交軸于點，交軸于點、C兩點，點為線段上的一個動點（不與重合)，過點作軸，交于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接和，當?shù)拿娣e最大時，求出點的坐標及的最大面積；(3)在平面內(nèi)是否存在一點，使得以點A，M，N，P為頂點，以為邊的四邊形是菱形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．11．（2022·重慶大渡口·重慶市第三十七中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于A，B兩點，其中，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點P，Q為直線下方拋物線上任意兩點，且滿足點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標為，過點P和點Q分別作y軸的平行線交直線于C點和D點，連接，求四邊形面積的最大值；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移2個單位，得到新的拋物線，點E為點P的對應(yīng)點，點F為的對稱軸上任意一點，點G為平面直角坐標系內(nèi)一點，當點構(gòu)成以為邊的菱形時，直接寫出所有符合條件的點G的坐標．12．（2022·山東日照·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，直線與拋物線在第一象限交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，若過點O的直線交線段于點P，將三角形的面積分成的兩部分，請求出點P的坐標；(3)若Q是直線上方拋物線上一個動點（不與點A、C重合），當?shù)拿娣e等于的面積時，求出Q點的坐標；(4)在拋物線的對稱軸上有一動點H，在拋物線上是否存在一點N，使以點A、H、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．13．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，動點在原拋物線的對稱軸上，點為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．14．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為，點B的坐標，與y軸交于點C，點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD，過點D作軸于點H，過點A作交DH的延長線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)在線段AE上找一點M，在線段DE上找一點N，求的周長最小值；(3)在（2）問的條件下，將得到的沿射線AE平移得到，記在平移過程中，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使、、、為頂點的四邊形為菱形，若存在，直接寫出平移的距離；若不存在，說明理由．15．（2022·重慶·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．其中點A（﹣2，0），點C（0，﹣4），連接AC、BC．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線BC的下方拋物線上有一點P，過點P作PHy軸交BC于點H，求PHCH的最大值以及此時點P的坐標；(3)將拋物線y沿射線CA方向平移3個單位長度后得到新拋物線y1，點E在新拋物線y1上，點F是原拋物線對稱軸上一點，若以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個F點的過程．16．（2022·重慶·西南大學(xué)附中?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，B兩點，其對稱軸與x軸交于點D．圖1

圖2(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，點P為第四象限內(nèi)的拋物線上一動點，連接PB，PC，CD，求四邊形PBDC面積的最大值和此時點P的坐標；(3)將該拋物線向左平移3個單位長度得到拋物線y'，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點E，點F為拋物線y'對稱軸上的一點，M是原拋物線上的動點，直接寫出所有使得以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來．17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第二十九中學(xué)?？既＃┤鐖D，把兩個全等的RtAOB和RtCOD分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB，OD在x軸上，已知點A(2，4)，拋物線經(jīng)過O，A，C三點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點G為OC上方的拋物線上一動點，求點G到直線OC的最大距離和此時點G的坐標；(3)點P為線段OC上一個動點（不與O，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，是否存在點P，使線段AM與BP相等？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．18．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸分則點A和點，與y軸交于點C，對稱軸為直線，且，P為拋物線上一動點．(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)如圖2，連接AC，當點P在直線AC上方時，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時P點的坐標；(3)設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點P及其對應(yīng)點N的坐標；若不存在，請說明理由．19．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）綜合與探究已知：如圖，二次函數(shù)的圖象的頂點為，與x軸交于B，A兩點，與y軸交于點，點E為拋物線對稱軸上的一個動點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當?shù)闹荛L最小時，點E的坐標為____________；(3)當點E在x軸上方且時，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(4)若點N是y軸上的一點，坐標平面內(nèi)是否存在P，使以D、B、N、P為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．20．（2022·廣西河池·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線與x軸的正半軸相交于點．(1)求點B的坐標和拋物線的解析式；(2)若P為線段AB上一點，，求AP的長；(3)在（2）的條件下，設(shè)M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．專題44二次函數(shù)中的特殊四邊形問題【題型演練】一、解答題1．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線經(jīng)過B（3，0）、兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），①當點E在直線BC的下方運動時，求的面積的最大值；②在①的條件下，點M是拋物線的對稱軸上的動點，在該拋物線上是否存在點P，使以C、E、P、M為頂點的四角形為平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①最大值為；②存在，、、【分析】（1）將B、C兩點分別代入解析式求解即可得；（2）①過點E作軸的平行線交于點，將點B、的坐標代入一次函數(shù)確定函數(shù)解析式，然后設(shè)點，則點，得出，結(jié)合圖象確定面積的函數(shù)表達式即可得出結(jié)果；②分三種情況進行討論分析：a．當四邊形CEPM為平行四邊形時，則CE∥PM，；b．當四邊形CEMP為平行四邊形時，則CE∥MP，；c．當四邊形CPEM為平行四邊形時，則CP∥EM，，利用平行四邊形的性質(zhì)及點坐標之間的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）將B、C兩點分別代入解析式可得：，解得：∴函數(shù)的表達式為：；（2）①過點E作軸的平行線交于點，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點B、的坐標代入一次函數(shù)表達式得：，解得：，∴函數(shù)表達式為：，設(shè)點，則點，則，∴S△CBE=S△ENC+S△ENB=·NE·3==∵a=＜0，且0＜x＜3，∴當x=時，△CBE面積有最大值，最大值為，此時點E的坐標為（，）．②如圖：C（0，-3）、E（，），設(shè)，M（1，m）a．當四邊形CEPM為平行四邊形時，則CE∥PM，，，即所以b．當四邊形CEMP為平行四邊形時，則CE∥MP，，，即所以c．當四邊形CPEM為平行四邊形時，則CP∥EM，，，即所以所以，符合題意的點P有、、．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)與四邊形、三角形的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題，平行四邊形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題的關(guān)鍵．2．（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝，其圖象與直線y＝x＋2交于C，D兩點，其中點C在y軸上，點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P的橫坐標為x0，當x0為何值時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．【答案】(1)(2)x0＝1或2或【分析】（1）根據(jù)對稱軸和C點坐標即可確定拋物線解析式；（2）因為OC和PE都垂直于x軸，所以只要PF＝OC就能確定以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，求出此時x0的值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x＝，∴對稱軸x＝＝＝，∴b＝，又∵直線y＝x+2與y軸交于C，∴C（0，2），∵C點在拋物線上，∴c＝2，即拋物線的解析式為；（2）解：∵點P的橫坐標為x0，且在拋物線上，∴P，∵F在直線y＝x+2上，∴F（x0，x0+2），∵PF∥CO，∴當PF＝CO時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，①當0＜x0＜3時，PF＝，∵OC＝2，∴，解得x01＝1，x02＝2，即當x0＝1或2時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，②當x0≥3時，PF＝，∵OC＝2，∴，解得x03＝，x04＝（舍去），即當x0＝時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，綜上當x0＝1或2或時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及平行四邊形的性質(zhì)等知識點，難點在第二小題中要分情況考慮P點在F點上和下兩種情況．3．（2022·廣東佛山·西南中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)已知為正數(shù)，當時，的最大值和最小值分別為，，且，求的值；(3)點是平面內(nèi)任意一點，在拋物線對稱軸上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或或【分析】（1）求出點和點坐標，從點和點坐標將拋物線的解析式設(shè)為交點式，將點坐標代入，進一步求得結(jié)果；先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值，進而求得的值，進而求得點的值；只需滿足三角形為等腰三角形即可．設(shè)點的坐標，進而表示出，及，進而根據(jù)，及分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：當時，，點，當時，，，點，設(shè)，將點代入得，，，；（2）解：拋物線的對稱軸為直線：，，，當時，當時，最小值，，，當時，，，舍去，，；（3）解：設(shè)點，，，，，，當時，，，，，當時，，，，當時，，，，，綜上所述：或或或或【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，兩點間坐標距離公式等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，準確計算．4．（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D，且．(1)求拋物線的解析式及直線BC的表達式；(2)在線段BC上找一點E（不與B、C重合），使的值最小，并求出這個最小值；(3)連接AC，是否在拋物線上存在點P，過點P作于點E，使以點A、C、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點P的坐標為【分析】（1）先求出拋物線與y軸交于點，可得，從而得到，，進而得到B（3，0），A（－1，0），再利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）過點E作EN⊥x軸于點N．先求出拋物線頂點D坐標為，再由，可得∠CBO＝30°，從而得到，進而得到當D，E，N三點共線且垂直于x軸時，值最?。纯汕蠼?；（3）過點P作PE⊥BC于點E，根據(jù)勾股定理逆定理可證得∠ACB＝90°，從而得到當PE＝AC＝2時，以點A、C、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形．然后過點P作PF∥y軸交BC于點F，交x軸于點G，可得∠PFE=60°，從而得到，然后設(shè)，則再分兩種情況討論，即可求解．（1）解∶∵拋物線與y軸交于點，∴，∵，∴，，∴B（3，0），A（－1，0），把B（3，0），A（－1，0）代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點E作EN⊥x軸于點N．∵，∴拋物線頂點D坐標為，在Rt△BOC中，，∴∠CBO＝30°，∵EN⊥x軸，∴，∴，∴根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短，則當D，E，N三點共線且垂直于x軸時，值最?。啵?）解：存在，理由如下：如圖：過點P作PE⊥BC于點E，∵A（﹣1，0），B（3，0），，∴AB＝4，AC＝2，，∴，∴∠ACB＝90°，∵PE⊥BC∴∠PEC＝90°，∴PE∥AC，∴當PE＝AC＝2時，以點A、C、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形．過點P作PF∥y軸交BC于點F，交x軸于點G，∴∠BFG＝∠OCB＝60°，∵∠BFG

=∠PFE，∴∠PFE=60°，在Rt△PFE中，，設(shè)直線BC的解析式為y＝mx＋n，將B（3，0），代入得：，解得，，∴直線BC的解析式為，設(shè)，則當0＜t＜3時，，整理得，，∴，∴此方程無實根．當t＜0或t＞3時，整理得，，解得（舍去），∴點P的坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，平行四邊的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊的判定和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．5．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=?x2+6x?5與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為y=x?5，(1)寫出相應(yīng)點的坐標：A______，B______，C______；(2)點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大，并求出最大值．(3)過點A作AM⊥BC于點M，過拋物線上一動點N（不與點B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標．【答案】(1)（1，0），（5，0），（0，-5）(2)當t=2時，S△BEP最大為2；(3)點N的橫坐標為：4或或．【分析】（1）分別令y=0和x=0進行求解即可；（2）作ED⊥x軸于D，表示出ED，從而表示出S△BEP，利用二次函數(shù)求最值；（3）過A作AE∥y軸交直線BC于E點，過N作NF∥y軸交直線BC于點F，則NF=AE=4，設(shè)N（m，-m2+6m-5），則F（m，m-5），從而有NF=|-m2+5m|=4，解方程即可求出N的橫坐標．（1）解：令-x2+6x-5=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0），令x=0，則y=-5，∴C（0，-5），故答案為：（1，0），（5，0），（0，-5）；（2）解：作ED⊥x軸于D，由題意知：BP=4-t，BE=2t，∵B（5，0），C（0，-5），∴OB=OC=5，∴∠OBC=45°，∴ED=sin45°×2t=t，∴S△BEP=×BP×ED=×(4?t)×t=-t2+2t，當t=-=2時，S△BEP最大為2．∴當t=2時，S△BEP最大為2；（3）解：過A作AE∥y軸交直線BC于E點，過N作NF∥y軸交直線BC于點F，當x=1時，y=1?5=-4，∴E（1，-4），∴AE=4，∵AMQN是平行四邊形，∴AM=QN，AM∥QN，∴△AEM≌△NFQ，則NF=AE=4，設(shè)N（m，-m2+6m-5），則F（m，m-5），∴NF=|-m2+5m|=4，∴m2-5m+4=0或m2-5m-4=0，∴m1=1（舍），m2=4，或m3=，m4=，∴點N的橫坐標為：4或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)求最值、以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，將AM=NQ轉(zhuǎn)化為NF=AE是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．點M是y軸右側(cè)拋物線上一動點，過點M作的平行線，交直線于點D，交x軸于點E．(1)請直接寫出點A，B，C的坐標及直線的解析式；(2)當時，求點D的坐標；(3)試探究在點M運動的過程中，是否存在以點A，C，E，M，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．【答案】(1)，，，(2)點(3)存在，點M的坐標為（3,4）或【分析】（1）令拋物線y=0，得，進行計算即可得點A，點B的坐標，令拋物線x=0，得，即可得點C的坐標，令直線的解析式為，將點B的坐標和點C的坐標代入即可得；（2）過點D作軸，垂足為F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)軸，可得，即可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，在直角中，根據(jù)勾股定理得，AC=5，則，設(shè)點D橫坐標為t，則，即可得出EF，DE，根據(jù)，，求解出t即可；（3）分情況討論，過點C作軸交拋物線于點M，作，則四邊形AEMC為平行四邊形，此時點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，即當y=4時，，進行計算求出滿足要求的解；當且時，四邊形AEMC為平行四邊形，此時M的橫坐標為-4，即y=-4時，，計算求出滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：令拋物線y=0，得，解得，，，∴，，令拋物線x=0，得，∴，令直線的解析式為，將點和點代入得，解得，，∴直線BC的解析式為：；（2）解：過點D作軸，垂足為F，∵，∴，∵軸，∴∴，∴，在直角中，根據(jù)勾股定理得，，∴，設(shè)點D橫坐標為t，則，∴，，∵，，∴，解得，當時，，∴點．（3）解：①過點C作軸交拋物線于點M，作，則四邊形AEMC為平行四邊形，此時點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，∴當y=4時，，整理得∴解得，（舍），，∴；②如圖所示，當且時，四邊形AEMC為平行四邊形，此時M的縱坐標為-4，∴y=-4時，，整理得解得，，（不合題意，舍去），∴點M的坐標為；綜上，M的坐標為（3,4）或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．7．（2022·山東濟寧·?？级＃┮阎獟佄锞€與直線交于、兩點，如果點，．(1)求拋物線和直線的解析式．(2)長度為的線段在線段上移動，點與點在上述拋物線上，且線段與始終平行于軸．連接，求四邊形的面積的最大值，并求出對應(yīng)點的坐標，判斷此時四邊形的形狀．【答案】(1)，；(2)最大為，，四邊形為平行四邊形．【分析】（1）將兩點坐標代入二次函數(shù)求解即可，設(shè)直線解析式為，將兩點坐標代入求解即可；（2）延長交軸于點，作，設(shè)直線交軸于點，設(shè)，確定出點坐標，表示出四邊形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．【詳解】（1）解：將，代入二次函數(shù)可得解得即設(shè)直線解析式為，將，代入可得，解得即；（2）解：延長交軸于點，作，設(shè)直線交軸于點，如下圖：設(shè)，則，由題意可得：軸，，，，，∴，∴，∴，∴，，∴，，即，線段在線段上移動，則，解得，由題意可得：由此可得，時，最大，為，此時此時，又∵，∴四邊形為平行四邊形．綜上，最大為，，四邊形為平行四邊形．【點睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．8．（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線與軸交于點，對稱軸交軸于點，點是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，交軸于點，交軸于點，軸于點，點是拋物線的頂點，已知在點的運動過程中，的最大值是．(1)求點的坐標與的值；(2)當點恰好是的中點時，求點的坐標；(3)連結(jié)，作點關(guān)于直線的對稱點，當點落在線段上時，則點的坐標為______直接寫出答案【答案】(1)B（2，0），a＝；(2)E（，0）；(3)E（，0）．【分析】（1）求出拋物線對稱軸為x＝2，可得點B的坐標為（2，0），由題意可證明△DEF是等腰直角三角形，可得EF的最大值為4，即MB＝4，將拋物線解析式化成頂點式，進而得出2?4a＝4，即可求出a的值；（2）求出直線CD的表達式，再與拋物線解析式聯(lián)立，求出交點橫坐標即可得出點E的坐標；（3）設(shè)點F（x，），則點E（x，0），證明四邊形FPDE是正方形，可得點P的坐標為（，），求出直線AM的表達式，將點P坐標代入求出x的值，即可得出點E的坐標．（1）解：拋物線與y軸交于點A，對稱軸交x軸于點B，∵當x＝0時，y＝2，∴A（0，2），∵對稱軸為x＝?＝2，∴點B的坐標為（2，0），∴OA＝OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∵FC⊥AB交y軸于點C，交x軸于點D，EF⊥x軸于點E，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴DF＝EF，∵FD的最大值是，∴EF的最大值為4，∴MB＝4，∵，∴2?4a＝4，∴a＝；（2）∵點D恰好是OB的中點，∴D（1，0），∵∠CDO＝∠FDE＝45°，∴OC＝OD＝1，∴點C的坐標為（0，?1），設(shè)直線CD的表達式為y＝kx＋b（k≠0），代入C（0，?1），D（1，0）得：，解得：，∴直線CD的表達式為：y＝x?1，由（1）知拋物線解析式為，聯(lián)立，解得：，（不合題意，舍去），∴點E的坐標為（，0）；（3）：設(shè)點F（x，），則點E（x，0），∵EF＝ED，∴點D的橫坐標為：x?（）＝，如圖，點與點關(guān)于直線對稱，連接DP、FP、PE，∴DF垂直平分PE，∴FP＝FE，DP＝DE，∵EF＝ED，∴FP＝FE＝DP＝DE，∴四邊形FPDE是菱形，又∵∠FED＝90°，∴菱形FPDE是正方形，∴點P的坐標為（，），∵A（0，2），M（2，4），設(shè)直線AM的表達式為y＝mx＋n，代入A（0，2），M（2，4），得，解得：，∴直線AM的表達式為y＝x＋2，當點P落在線段AM上時，有，解得：x＝或x＝（舍去），∴點E的坐標為（，0），故答案為：（，0）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直線與拋物線的交點，軸對稱的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是證出△DEF是等腰直角三角形．9．（2022·山西·山西實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）綜合與探究：已知：二次函數(shù)的圖象的頂點為，與軸交于，A兩點，與軸交于點，如圖：(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點，使得的周長最小，求出點的坐標；(3)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使得以A、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)或或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)頂點式求出二次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)軸對稱最短路徑問題得到點E的位置，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，令代入計算得到答案；（3）根據(jù)平行四邊形的判定定理畫出可能的圖形，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征解答．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為，∴設(shè)函數(shù)表達式為.∵圖象過點，∴當時，，∴，解得，，∴函數(shù)表達式為，即；（2）解方程，得：，，∴點的坐標為，點A的坐標為．如圖1，連接，∵A、關(guān)于對稱軸對稱，點在對稱軸上，∴，∴的周長，當、、在同一直線上時，的周長最小．設(shè)直線的函數(shù)解析式為.則，解得，∴直線的函數(shù)解析式為.∵點的橫坐標為，所以點的坐標為；（3）如圖2，當點與點重合，點與點關(guān)于軸對稱時，四邊形的對角線互相平分，∴四邊形是平行四邊形，此時點的坐標為.當，時，四邊形是平行四邊形，此時點的橫坐標為，∴的縱坐標為：，∴點的坐標為.當，時，四邊形是平行四邊形，此時點的橫坐標為，的縱坐標為：，∴點的坐標為.∴以A、、、四點為頂點的四邊形為平行四邊形，點的坐標為：或或.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定、靈活運用分情況討論思想、掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關(guān)鍵．10．（2022·甘肅平?jīng)觥ば？级＃┤鐖D，拋物線交軸于點，交軸于點、C兩點，點為線段上的一個動點（不與重合)，過點作軸，交于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接和，當?shù)拿娣e最大時，求出點的坐標及的最大面積；(3)在平面內(nèi)是否存在一點，使得以點A，M，N，P為頂點，以為邊的四邊形是菱形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)當時，有最大值，最大值為8，此時D；(3)P或．【分析】（1）將A，B的坐標代入拋物線的解析式組成二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)D，根據(jù)坐標的特點，可得出點M，N的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式可表達的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意，易證，由此得出和的長，再根據(jù)題意需要分兩種情況討論：①當時，②當時，分別求解即可．【詳解】（1）解：將點，點代入拋物線，∴，∴．∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵點，點，∴直線的解析式為：；設(shè)D，∵軸，點M在直線上，點N在拋物線上，∴，∴，∴的面積，∵，∴當時，有最大值，最大值為8，此時D；（3）解：存在，如圖，過點M作軸于點E，∴，∴，∴，∴，中，，∴，∴，∴．根據(jù)題意，需要分兩種情況討論：①時，如圖，此時，

解得或t=0（舍），∴，∴，∵，∴點P在y軸上，∴，∴P；②當時，如圖，此時與互相垂直平分，設(shè)與交于點F，∴，∵，∴，解得或（舍），∴，∴P．綜上，存在點P，使得以點A，M，N，P為頂點，以為邊的四邊形是菱形，此時P或．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)、分類討論的思想等知識，能力要求較高，難度較大，關(guān)鍵是掌握菱形的對稱性和進行正確的分類討論．11．（2022·重慶大渡口·重慶市第三十七中學(xué)校校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于A，B兩點，其中，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點P，Q為直線下方拋物線上任意兩點，且滿足點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標為，過點P和點Q分別作y軸的平行線交直線于C點和D點，連接，求四邊形面積的最大值；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移2個單位，得到新的拋物線，點E為點P的對應(yīng)點，點F為的對稱軸上任意一點，點G為平面直角坐標系內(nèi)一點，當點構(gòu)成以為邊的菱形時，直接寫出所有符合條件的點G的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)、、．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意，求得直線解析式，以及四點坐標，得到、長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得的表達式，分兩種情況，討論求解即可．【詳解】（1）解：將，代入二次函數(shù)解析式，可得，解得即；（2）設(shè)直線解析式，代入，，可得，解得即，則，，，，，，即當時，最大，為；（3）由（2）可知，直線為與軸的交點為，與軸的交點為，兩點之間的距離為，沿射線平移個單位，可看成向右移動了4個單位，向下移動了2個單位，∴，則平移后，拋物線的對稱軸為，設(shè)，當時，如圖：則，解得，∴或，當時，平移到，平移到，∴，當時，平移到，平移到，∴，當時，如下圖：，解得，平移到，平移到，可得，綜上點的坐標為、、．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，四邊形面積、菱形的性質(zhì)及應(yīng)用等知識解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度．12．（2022·山東日照·校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，直線與拋物線在第一象限交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，若過點O的直線交線段于點P，將三角形的面積分成的兩部分，請求出點P的坐標；(3)若Q是直線上方拋物線上一個動點（不與點A、C重合），當?shù)拿娣e等于的面積時，求出Q點的坐標；(4)在拋物線的對稱軸上有一動點H，在拋物線上是否存在一點N，使以點A、H、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點或；(3)或；(4)或或．【分析】（1）將點、的坐標代入拋物線表達式即可求解；（2）OP將的面積分成1：2的兩部分，則或，由或，可得：或，再求解直線為，即可求解；（3）如圖，先求解，可得，把直線向上平移4個單位可得一次函數(shù)的解析式為：，則直線與拋物線的交點滿足，再建立方程組可得答案；（4）如圖，先求解拋物線的對稱軸為：直線，設(shè)，，再分三種情況討論：當為對角線時，當為對角線時，當為對角線時，則，再利用中點坐標公式列方程求解即可．【詳解】（1）解：將點、的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖，點、，∴，將的面積分成的兩部分，∴或，∴或，解得：或，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，當時，則，當時，則，∴點或；（3）如圖，由（2）可得直線為，當時，，則，此時，把直線向上平移4個單位可得一次函數(shù)的解析式為：，則直線與拋物線的交點滿足，∴，解得：或，∴或；（4）如圖，，，∵拋物線為：，∴拋物線的對稱軸為：直線，設(shè)，，當為對角線時，則，解得：，則，當為對角線時，如圖，則，解得：，∴，∴，當為對角線時，則，解得：，∴，∴，綜上：的坐標為：或或．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，二次函數(shù)與圖形面積以及二次函數(shù)與特殊四邊形問題，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及中點坐標公式解題是關(guān)鍵．13．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，動點在原拋物線的對稱軸上，點為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．【答案】(1)(2)當時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標為(3)點的坐標為，，【分析】（1）將，代入拋物線，列方程組求解即可得到答案；（2）延長交軸于點，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，將，代入列方程組求解得出解析式，設(shè)，根據(jù)軸得到，，根據(jù)三角形面積公式用t表示出，利用函數(shù)性質(zhì)即可得到最值；（3）根據(jù)，得到，結(jié)合拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，得到新拋物線解析式，設(shè)點，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分分類討論根據(jù)中點坐標公式即可得到答案．【詳解】（1）解：將，代入拋物線得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：如圖，延長交軸于點，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，∵，，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達式為，設(shè)，其中，∴，，∴，∵，，∴，∴當時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標為；（3）解：∵，，∴，∵拋物線沿射線方向平移個單位長度，∴拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，∴平移后的拋物線解析式為，∵點在原拋物線對稱軸上，∴設(shè)點，①當以為對角線時，，即，∴，∵點為新拋物線上一點，∴，②當以為對角線時，，即，，∵點為新拋物線上一點，∴，③當以為對角線時，，即，，∵點為新拋物線上一點，∴，綜上所述，點的坐標為，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像上點坐標的特征，平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度．14．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為，點B的坐標，與y軸交于點C，點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD，過點D作軸于點H，過點A作交DH的延長線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)在線段AE上找一點M，在線段DE上找一點N，求的周長最小值；(3)在（2）問的條件下，將得到的沿射線AE平移得到，記在平移過程中，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使、、、為頂點的四邊形為菱形，若存在，直接寫出平移的距離；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，理由見解析【分析】（1）將A，B兩點的坐標代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，過點作交的延長線于點，連接，則的周長為最小值為的長，勾股定理即可求解；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，證明四邊形是菱形，求得的長，求得直線與坐標軸的交點坐標，證明，即可求得平移距離．（1）解：∵已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為，點B的坐標，∴，解得，；（2）如圖，作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，過點作交的延長線于點，連接，交AE、DE于M′、N′，，，的周長為，當四點共線時，取得最小值，即與重合，與重合，的周長為最小值為的長，軸于點H，三點共線，三點共線，根據(jù)題意可知點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，軸，由對稱軸為，則，與軸的交點為，即點，點A的坐標為，，，，∴，，，，，，，在中，，即的周長最小值為；（3）存在，，理由如下，由（2）可知又在軸上，是等邊三角形，又，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，設(shè)為直線上一點，,，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，，解得或，，，，，，，的中點坐標為，與點重合，，根據(jù)題意，使、、、為頂點的四邊形為菱形，則，平移距離為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)求解析，菱形的性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)，軸對稱求線段和最短距離，解直角三角形，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．15．（2022·重慶·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．其中點A（﹣2，0），點C（0，﹣4），連接AC、BC．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線BC的下方拋物線上有一點P，過點P作PHy軸交BC于點H，求PHCH的最大值以及此時點P的坐標；(3)將拋物線y沿射線CA方向平移3個單位長度后得到新拋物線y1，點E在新拋物線y1上，點F是原拋物線對稱軸上一點，若以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個F點的過程．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）通過點A（﹣2，0），點C（0，﹣4）在拋物線上建立方程組即可求出和得到解析式；（2）設(shè)P點的坐標為，根據(jù)、，得出，將PF的最值，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最大值，即可得到答案；（3）根據(jù)兩種情況分別分析，先根據(jù)平移計算出拋物線y1的解析式，再根據(jù)兩種情況分別求出E點的橫坐標，代入解析式求出縱坐標，再計算出F點的縱坐標．(1)解：∵點A（﹣2，0），點C（0，﹣4）在拋物線上，得，解方程組得，；∴拋物線的解析式為：(2)當時，，解方程得，，∴點B的坐標為（4，0），∴，如下圖所示，設(shè)CH的中點為N，過點N作EFOB軸，交PH于點F，延長PH交OB于點M，∵EFOB∴四邊形是矩形∵，EFOB∴，∵∴∴設(shè)P點的坐標為，得，∵,∴∵∴∴當時，PF最大，且最大值為∴故PF最大值為，此時P點的坐標為；(3)解：∵拋物線∴對稱軸為：，設(shè)點移動到點，作軸，垂足為N，∵,，∴，∵軸∴,∴，∴∵，,,∴，，∴拋物線y沿軸向左移動了，沿軸向上移動得到y(tǒng)1，∴，當時，如下所示，設(shè)拋物線的對稱軸交于點D，過E點作，垂足為G，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，且為等腰直角三角形，∴，∴，∵E在拋物線上，當時，，∴∴F的坐標為；當時，過點E作軸，垂足為G，過點C作，垂足為L，∵，∴∵，∴∴，∴，∵E在拋物線上，當時，，∴,∴,∴F的坐標為；故點F的坐標為或．【點睛】本題考查拋物線的相關(guān)知識，熟練掌握拋物線的解析式的計算方法、對稱軸的計算方法、最大值的計算方法、平移的相關(guān)知識，并將線段的最大值問題轉(zhuǎn)換成拋物線頂點的問題是解本題的關(guān)鍵．16．（2022·重慶·西南大學(xué)附中?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，B兩點，其對稱軸與x軸交于點D．圖1

圖2(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，點P為第四象限內(nèi)的拋物線上一動點，連接PB，PC，CD，求四邊形PBDC面積的最大值和此時點P的坐標；(3)將該拋物線向左平移3個單位長度得到拋物線y'，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點E，點F為拋物線y'對稱軸上的一點，M是原拋物線上的動點，直接寫出所有使得以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來．【答案】(1)；(2)的最大值為，此時點的坐標為，；(3)點的坐標為或或．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，過點作軸交于點，如圖1，設(shè)，，則，得出，再運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得，新拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，可得，又，由以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①當、為對角線時，、的中點重合，②當、為對角線時，、的中點重合，③當、為對角線時，、的中點重合，分別畫出圖形，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：（1）拋物線經(jīng)過點，其對稱軸，，解得：，該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：如圖，連接BC，作PH∥y軸，交BC于H，點與點關(guān)于對稱軸對稱，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)，，則，，，，，，當時，的最大值為，此時點的坐標為，；（3）解：將拋物線向左平移3個單位長度得到拋物線，即，新拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，當時，，，又；①當、為對角線時，、的中點重合，，解得：，，；②當、為對角線時，、的中點重合，，解得：，，；③當、為對角線時，、的中點重合，，解得：，，；綜上所述，點的坐標為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點坐標的特征，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點的坐標及相關(guān)線段的長度．17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第二十九中學(xué)?？既＃┤鐖D，把兩個全等的RtAOB和RtCOD分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB，OD在x軸上，已知點A(2，4)，拋物線經(jīng)過O，A，C三點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點G為OC上方的拋物線上一動點，求點G到直線OC的最大距離和此時點G的坐標；(3)點P為線段OC上一個動點（不與O，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，是否存在點P，使線段AM與BP相等？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)G點到直線OC的最大距離為，此時G（2，4）；(3)【分析】（1）根據(jù)Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖1，連接GO，GC，過G點作x軸的垂線交OC于點K，GH⊥OC于點H．設(shè)G點的橫坐標為m（0＜m＜4），則．運用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式,得出GK，進而得出S△GOC=-（m-2）2+6，運用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；（3）如圖所示，過點M作MR⊥AB于點R，過點P作PT⊥AB于點T，先證明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR=BT，設(shè)點M的橫坐標為t（0＜t＜4），則，進而建立方程求解即可．（1）∵A（2，4），∴OB=2，AB=4，∵Rt△AOB≌Rt△OCD，∴OD=AB=4，CD=OB=2，∴C（4，2），∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O，A，C三點，∴，解得：，∴拋物線解析式為（2）如圖1，連接GO，GC，過G點作x軸的垂線交OC于點K，GH⊥OC于點H．令G點的橫坐標為m（0＜m＜4），則．設(shè)直線OC的解析式為y=kx，把C（4，2），代入得：4k=2，解得：k=，∴直線OC的解析式為y=x，∴∴，∴∴當m=2時，S△GOC的值最大為6，此時GH的值為最大，∵∴∴∴G點到直線OC的最大距離為，此時G（2，4）；（3）存在．如圖所示，過點M作MR⊥AB于點R，過點P作PT⊥AB于點T，設(shè)MP交x軸于點N,∴∠ARM=∠MRT=∠PTR=∠BTP=90°，∴MR∥PT，由題意：MN∥AB，∴四邊形MPTR是矩形，∴MR=PT，∵AM=BP，∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），∴AR=BT，設(shè)點M的橫坐標為t（0＜t＜4），則由（2）知：直線OC的解析式為，則P（t，t），當時，解得：（舍）當時，無實數(shù)解，當，此時．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．18．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸分則點A和點，與y軸交于點C，對稱軸為直線，且，P為拋物線上一動點．(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)如圖2，連接AC，當點P在直線AC上方時，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時P點的坐標；(3)設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點P及其對應(yīng)點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，P點的坐標為(3)存在，，；，；，【分析】（1）根據(jù)已知條件，列出方程組求出a，b，c的值即可；（2）方法一：設(shè)，四邊形PABC的面積，用m表示出S，并求出S的最大值與此時P點的坐標；方法二：易知，，故直線AC的方程為，設(shè)，表示出PQ，并用x表示出△APC的面積，再表示出S，并求出S的最大值與此時P點的坐標；（3）根據(jù)題目要求，分類討論當當N在y軸上時；當N在x軸負半軸上時，設(shè)，用t表示出點P的坐標，解出t，寫出點P及其對應(yīng)點N的坐標．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，對稱軸為直線，，∴，解得，∴拋物線的解析式為：．（2）解：方法一：連接OP，設(shè)，易知，，∵，，∴四邊形PABC的面積，∴又∵，∴∴當時，，∴此時P點的坐標為；方法二：易知，，故直線AC的方程為設(shè)，∵過點P作PQ⊥x軸，交AC于點Q，∴，∵點P在AC上方，∴，∴，∴四邊形PABC面積，∴當時，S有最大值，∴此時P點的坐標為．（3）存在點N．①當N在y軸上時，∵四邊形PMCN為矩形，此時，，；②當N在x軸負半軸上時，如圖所示，四邊形PMCN為矩形，過M作y軸的垂線，垂足為D，過P作x軸的垂線，垂足為E，設(shè)，則，∴，∵四邊形PMCN為矩形，∴，，∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵點M在對稱軸上，，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴P點的坐標為，∵P點在拋物線上，∴解得，（舍），∴，；③當N在x軸正半軸上時，如圖所示，四邊形PMCN為矩形，過M作y軸的垂線，垂足為D，過P作x軸的垂線，垂足為E，設(shè)，則，∴，∵四邊形PMCN為矩形時，∴，，∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵點M在對稱軸上，，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴P點的坐標為，∵P點在拋物線上，∴解得（舍），，∴，，綜上：，；，；，【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、二次函數(shù)綜合問題，矩形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．19．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）綜合與探究已知：