云南省保山第九中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測試試題文含解析

PAGE19-云南省保山第九中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測試試題文（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.考生留意：必需在答題卡上指定的位置按規(guī)定要求作答，答在試卷上一律無效.第Ⅰ卷（選擇題，共54分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請?jiān)诖痤}卡相應(yīng)的位置上填涂.1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定義干脆求解即可.【詳解】由集合得.故選：B.2.復(fù)數(shù)的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡再利用模長公式得解.【詳解】由已知，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及模長公式，屬于基礎(chǔ)題.3.某學(xué)校組織學(xué)生參與英語測試，成果的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A. B. C. D.【答案】B【解析】依據(jù)頻率分布直方可知成果低于60分的有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成果低于60分的頻率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因?yàn)榈陀?0分的人數(shù)是15人，所以該班的學(xué)生人數(shù)是15÷0.3=50.本題選擇B選項(xiàng).4.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，從而可得結(jié)果.【詳解】解：由，得，所以，所以，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為3，則輸出的值是()A.1 B.2 C.4 D.7【答案】C【解析】試題分析：第一次循環(huán)；其次次循環(huán)；第三次循環(huán)；結(jié)束循環(huán)，輸出選C.考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖探討的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).6.集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各取隨意一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由題意得，從，中各隨意取一個數(shù)，共有種不同的取法，其中這兩數(shù)之和等于，共有兩種選法，所以概率為，故選C．考點(diǎn)：古典概型及其概率的計(jì)算．7.下列選項(xiàng)中，使不等式成立的x的取值范圍是（）A.（0，1） B. C.（-1.0） D.【答案】B【解析】【分析】通過，，2驗(yàn)證不等式是否成立，解除選項(xiàng)、、．即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】利用特別值解除選項(xiàng)，不妨令時，代入，得到，明顯不成立，選項(xiàng)不正確；當(dāng)時，代入，得到，明顯不正確，解除；當(dāng)時，代入，得到，明顯不正確，解除．故選：【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法，由于本題是選擇題，利用特別值驗(yàn)證法是快速解答選擇題的一種技巧．當(dāng)然可以干脆解答，過程比較困難,屬于中檔題．8.已知函數(shù)A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：設(shè)，則，，所以，所以答案為D.考點(diǎn)：1.對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算律；2.換元法.9.已知點(diǎn)A，拋物線C：的焦點(diǎn)F．射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），定點(diǎn)A（2，0），∴拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)P，則FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），∴直線FA為：x+2y-2=0，當(dāng)y=-1時，x=4，即N（4，-1），，=.10.如圖，已知，圓心在上，半徑為的圓在時與相切于點(diǎn)，圓沿以的速度勻速向上移動，圓被直線所截上方圓弧長記為，令，則與時間，單位：的函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，利用二倍角公式可求得函數(shù)的解析式，由此可得出函數(shù)的圖象.【詳解】如下圖所示：當(dāng)時，圓心在直線下方，設(shè)直線、的交點(diǎn)為，圓位于直線上方的圓弧交直線于點(diǎn)，則，，由題意可知，圓弧的弧長為，則，從而可得，所以，，所以，，則二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以，函數(shù)的圖象如B選項(xiàng)中函數(shù)的圖象.故選：B.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；（3）從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢；（4）從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對稱性；（5）從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象．利用上述方法解除、篩選選項(xiàng)．但須要確定函數(shù)解析式，確定函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵.11.已知直三棱柱()A B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹比庵?，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝12.已知橢圓的左焦點(diǎn)為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】代入得，解得,由此可得三角形ABF為直角三角形．OF=5，即c=5.由橢圓為中心對稱圖形可知當(dāng)右焦點(diǎn)為時，,【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓定義，解三角形相關(guān)學(xué)問以及橢圓的幾何性質(zhì)．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填寫在題中的橫線上)13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_______.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)三視圖得出該幾何體是一個圓柱體中間挖去一個正四棱柱而成，然后將圓柱的體積減去正四棱柱的體積即可.【詳解】由三視圖可知，直觀圖為一個圓柱體中間挖去一個正四棱柱，且圓柱的底面半徑為，高為，圓柱的體積為，正四棱柱的底面邊長為，高為，正四棱柱的體積為，因此，該幾何體的體積為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積，利用三視圖確定幾何體的組合方式是解題的關(guān)鍵，考查空間想象實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.14.已知變量滿意約束條件，則的最大值是．【答案】5【解析】【分析】畫出可行域如圖，最優(yōu)解為，的最大值5．【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃求最值問題【詳解】15.設(shè)f（x）=sin3x+cos3x，若對隨意實(shí)數(shù)x都有|f（x）|≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】【詳解】【分析】考點(diǎn)：此題主要考查三角函數(shù)的最值、最值問題的應(yīng)用（恒成立問題），考查分析問題和解決問題的實(shí)力.16.若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是_________.【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝【解析】設(shè)圓圓心坐標(biāo)，半徑為，因?yàn)閳A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線相切，所以，解得，所求圓的方程為，故答案為.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程及演算步驟)17.已知函數(shù)，的三個內(nèi)角的對邊分別為.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若求角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化簡，令解不等式即可求解；（2）由可得，即可得，可得，再利用正弦定理即可求出，進(jìn)而可得，進(jìn)一步求出角.【詳解】，（1）令，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）因?yàn)樗裕驗(yàn)?，所以，所以，可得，所以，由正弦定理可得，所以，因?yàn)椋?，所以，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是嫻熟運(yùn)用二倍角公式和三角函數(shù)得性質(zhì)，將看成一個整體，其次問須要先求出的值，利用正弦定理求，結(jié)合小邊對小角求角.18.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1中點(diǎn).求證：(1)直線BC1∥平面EFPQ.(2)直線AC1⊥平面PQMN.【答案】（1）見解析(2)見解析【解析】【詳解】【分析】試題分析：（1）只需利用三角形中位線定理證明直線BC1平行于平面EFPQ內(nèi)一條直線FP即可；（2）只需證明直線AC1垂直于平面PQMN內(nèi)兩條相交直線MN，PN即可．試題解析：(1)連接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1因?yàn)镕，P分別是AD，DD1的中點(diǎn)，所以FP∥AD1.從而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.(2)連接AC，BD，則AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1.因?yàn)镸，N分別是A1B1，A1D1的中點(diǎn)，所以MN∥BD，從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN=N，所以直線AC1⊥平面PQMN.點(diǎn)晴：本題第一問考查的是直線與平面平行的判定．通過證明平面外的直線與平面內(nèi)的直線線平行，從而證明線面平行．找尋線線平行的一般方法有：一、利用三角形中位線定理，二、利用平形四邊形的性質(zhì);三、利用兩直線都垂直于同一平面，兩直線平行;四、利用線面平行的性質(zhì)等．19.某學(xué)校有12個小學(xué)班級，12個初中班級，6個中學(xué)班級，現(xiàn)實(shí)行分層抽樣的方法從這些班級中抽取5個班級對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.（1）求應(yīng)從小學(xué)初中中學(xué)的班級中分別抽取的數(shù)目；（2）若從抽取的5個班級中隨機(jī)抽取2個班級做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2個班級中至少有一個小學(xué)班級的概率.【答案】（1）抽取2個小學(xué)班級，2個初中班級，1個中學(xué)班級；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題中條件，先求出抽樣比，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）由（1）的結(jié)果，記抽取的2個小學(xué)班級為，；2個初中班級為，，1個中學(xué)班級為；用列舉法列舉出總的基本領(lǐng)件，以及滿意條件的基本領(lǐng)件，基本領(lǐng)件的個數(shù)比即為所求概率.【詳解】（1）由題意，實(shí)行分層抽樣的方法從這些班級中抽取5個班級，則抽樣比為，因此應(yīng)從小學(xué)班級中抽取個；從初中班級中抽取個；從中學(xué)班級中抽取個；（2）由（1），分別記抽取的2個小學(xué)班級為，；2個初中班級為，，1個中學(xué)班級為；從這5個班級中隨機(jī)抽取2個班級，所包含的基本領(lǐng)件有：，，，，，，，，，，共個；抽取的2個班級中至少有一個小學(xué)班級所包含的基本領(lǐng)件有：，，，，，，，共個；則抽取的2個班級中至少有一個小學(xué)班級的概率為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)較少時，可用列舉法列舉出總的基本領(lǐng)件個數(shù)，以及滿意條件的基本領(lǐng)件個數(shù)，基本領(lǐng)件個數(shù)比即為所求概率；（2）古典概型所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)較多時，可依據(jù)排列組合數(shù)的計(jì)算，求出總的基本領(lǐng)件個數(shù)，以及滿意條件的基本領(lǐng)件個數(shù)，進(jìn)而求出所求概率.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，.（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求使的動點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線方程，先得焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到，推出；再由拋物線的焦半徑公式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，得到與的關(guān)系式，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）設(shè)，，，依據(jù)題意，得到，再由，整理得到，分和兩種狀況，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，因此①；又橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，，依據(jù)拋物線的定義可得，，則，代入可得，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即②，由①②可得，即所求橢圓方程為；（2）設(shè)，，，則，，，又，所以，即①因?yàn)?，在橢圓上，所以，兩式作差可得②，將①代入②得，當(dāng)時，得③設(shè)的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，因?yàn)?、、、四點(diǎn)共線，所以，即④，將④代入③得，整理得；當(dāng)時，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在曲線上，所以動點(diǎn)的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程時，先設(shè)所求曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題中條件，確定已知曲線上的點(diǎn)與所求點(diǎn)之間的關(guān)系，用所求點(diǎn)的坐標(biāo)表示出已知點(diǎn)，代入已知曲線方程化簡整理，即可得出結(jié)果；有時也須要用參數(shù)表示出所求點(diǎn)，再消去參數(shù)，即可得出結(jié)果.21.已知函數(shù)f(x)＝alnx＋＋x(a≠0)．(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性．【答案】(1)a＝－1或a＝.(2)當(dāng)a>0時,f(x)在(a,＋)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減．當(dāng)a<0時,所以函數(shù)f(x)在(0,－2a)上單調(diào)遞減,在(－2a,＋)上單調(diào)遞增.【解析】分析：（1）先求出，由題意得：f′（1）=﹣2，解方程求出即可；（2）求出，探討①a＞0時，②a＜0時的狀況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由（2）得，當(dāng)a∈（﹣∞，0）時，函數(shù)f（x）的最小值為f（﹣2a），故g（a）=f（﹣2a），得g′（a）=ln（﹣2a）﹣2，得g（a）在（﹣∞，﹣e2）遞增，在（﹣e2，0）遞減，從而g（a）最大值=e2，進(jìn)而求出g（a）的最大值．詳解：(1)f(x)的定義域?yàn)椋罁?jù)題意,有f′(1)＝－2,所以2a2－a－3＝0,解得a＝－1或a＝(2)當(dāng)a>0時,因?yàn)閤>0,由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>a由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x<a所以函數(shù)f(x)在(a,＋)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減．當(dāng)a<0時,因?yàn)閤>0,由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>－2a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x所以函數(shù)f(x)在(0,－2a)上單調(diào)遞減,在(－2a,＋)所以：當(dāng)a>0時,f(x)在(a,＋)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減．當(dāng)a<0時,所以函數(shù)f(x)在(0,－2a)上單調(diào)遞減,在(－2a,＋)上單調(diào)遞增.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的方程，對導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)學(xué)問的運(yùn)用的敏捷是解題關(guān)鍵，是一道綜合題．請考生在第22、23、24題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4—1：幾何證明選講22.如圖，EP交圓于E、C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且，連接DG并延長交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.（1）求證：AB為圓的直徑；（2）若AC=BD，求證：AB=ED.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）由切割線定理得∠PDA=∠DBA,由PG=PD,得∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA,即B,D,F,G四點(diǎn)共圓，從而∠BDA=∠PFA.而AF⊥EP,所以∠PFA=90°,∠BDA=90°（2）由AC=BD,可得DC∥AB，所以DC⊥EP，即ED為直徑.因此AB=ED.試題解析：證明(1)因?yàn)镻D=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD為切線,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直徑.(2)連結(jié)BC,DC.由于AB是直徑,故∠BDA=∠ACB=90°.