江蘇無錫市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

江蘇無錫市玉祁高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上第一次月考試卷

選擇題（共7小題）

1.某校/、B、C、D、￡五名學(xué)生分別上臺演講，若4須在8前面出場，且都不能在第3號位置，則不

同的出場次序有（）種.

A.18B.36C.60D.72

2.對兩組變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系

數(shù)分別為片，S2,R；,第二組對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為廠2，s/R/貝卜）

A.若r1＞冷，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強

B.若r：＞r|，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強

C.若s；＞S&則第一組變量比第二組變量擬合的效果好

D.若R；〉R|，則第二組變量比第一組變量擬合的效果好

3.有5個相同的球，其中3個紅色、2個藍色，從中一次性隨機取2個球，則下列說法正確的是（）

A.“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球“是互斥事件

B.“恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”是互斥事件

C.“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率

D.“至多取到1個紅球”的概率大于“至多取到1個藍球”的概率

4.對于一個古典概型的樣本空間。和事件4,B,C,D,其中〃(C)=60,n(A)=30,n(5)=10,

n(C)=20,n(D)=30,nC4U2)=40,nC4AC)=10,n(ZU。)=60,則()

A./與8不互斥B./與?；コ獾粚α?/p>

C.C與D互斥D./與C相互獨立

5.擲紅藍兩個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件4：紅骰子的點數(shù)為2,A2：紅骰子的點數(shù)為3

,43：兩個骰子的點數(shù)之和為7,A4：兩個骰子的點數(shù)之和為9,則()

A.小與均對立B.也與不互斥

C.4與為相互獨立D.均與4相互獨立

6.拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個正面”“兩個正面一個反面”“兩個反面一個正面”分別為事件B

,C,則下列說法錯誤的是()

A.事件4,B,C兩兩互斥

B-P(A)+P(B)+P(C)]

o

C.P(B)+P(C)=4P(A)

D.事件4+2,3+C相互獨立

7.甲箱中有3個黃球、2個綠球，乙箱中有2個黃球、3個綠球（這10個球除顏色外，大小、形狀完全

相同），先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，記事件N2C分別表示事件“取出2個黃球”，“取出2個

綠球”，“取出一黃一綠兩個球”，再從乙箱中摸出一球，記事件。表示摸出的球為黃球，則下列說法正

確的是（）

A.A,8是對立事件B.事件5,。相互獨立

c-p(D)m-D-P(CD)[

ODOD

二.多選題（共4小題）

B-■恒成

C.f（x+y）=2f（x）f（y）

D.滿足條件的/（x）不止一個

（多選）9.第一組樣本數(shù)據(jù)xi，X2，…，xn,第二組樣本數(shù)據(jù)方，p2，…，為，其中％=2%-1（，=1,2,

…，〃），則（）

A.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍

B.第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍

C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差的2倍

D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍

(多選)10.已知在伯努利試驗中，事件/發(fā)生的概率為p(0<p<l),我們稱將試驗進行至事件/發(fā)

生r次為止，試驗進行的次數(shù)X服從負(fù)二項分布，記作(r,p),則下列說法正確的是()

A.若X?y)>則P(X=k)=(?^)，卜=1，2,3,-

r

B.若X?NB(r,p),則尸(X=k)=p(1-p)…,k=r>什i,r+2,...

C.若X?NB(r,p),丫?B(〃，p),則尸(XW〃)=P(y2r)

D.若X?NB(r,p),則當(dāng)先取不小于二1的最小正整數(shù)時，P(X=k)最大

P

(多選)11.某校體育活動社團對全校學(xué)生體能情況進行檢測，以鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉.學(xué)生的體

能檢測結(jié)果X服從正態(tài)分布N(75,81),其中60為體能達標(biāo)線，90為體能優(yōu)秀線，下列說法正確的

有()

附：隨機變量孑服從正態(tài)分布N⑺，。2),則尸⑺-。<m<u+。)=06826,P(n-2o<^<|i+2o

)=0.9544,P(n-3o<^<|i+3o)=0.9974.

A.該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的期望為75

B.該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為81

C.該校學(xué)生的體能達標(biāo)率超過0.98

D.該校學(xué)生的體能不達標(biāo)的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

三.填空題(共4小題)

12.若直線y=Ax+b(6V0)是曲線歹=^-2的切線，也是曲線的切線，則6=.

13.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式,其定義如下：設(shè)/5，乃），B（%2＞及），則

22

A,8兩點間的曼哈頓距離d（4B）=|xi-x2\+\yi-yi\-已知"（4,6）,點N在圓C：x+y+6x+4y=0

上運動，若點尸滿足d（M,P）=2,則|即的最大值為-

14.隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮"、宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要

與“琮琮”、蓮蓮"、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為

（用數(shù)字作答）

15.曲線y=sinx在點在（-o）處的切線方程為

X

四.解答題(共2小題)

16.為考察藥物M對預(yù)防疾病/以及藥物N對治療疾病”的效果，科研團隊進行了大量動物對照試驗.

根據(jù)100個簡單隨機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：(單位：只)

藥物M疾病月合計

未患病患病

未服用301545

服用451055

合計7525100

(1)依據(jù)a=0.1的獨立性檢驗，分析藥物加■對預(yù)防疾病/的有效性；

(2)用頻率估計概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機抽樣的方法每次選取1只，用藥物N進行治療.已知

藥物N的治愈率如下：對未服用過藥物〃的動物治愈率為工，對服用過藥物M的動物治愈率為3.若

24

共選取3次，每次選取的結(jié)果是相互獨立的.記選取的3只動物中被治愈的動物個數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

附：乂2=------------n(ad-bc)-------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)__________________

a0.1000.0500.0100.001

xa2.7063.8416.63510.828

17.某大學(xué)數(shù)學(xué)建模社團在大-新生中招募成員，由于報名人數(shù)過多，需要進行選拔.為此，社團依次進

行筆試、機試、面試三個項目的選拔，每個項目設(shè)置優(yōu)、良、中三個成績等級；當(dāng)參選同學(xué)在某個項目中

獲得“優(yōu)”或“良”時，該同學(xué)通過此項目的選拔，并進入下一個項目，否則該同學(xué)在此項目中不通過，

且不能參加后續(xù)的項目，通過了全部三個項目的同學(xué)進入到數(shù)學(xué)建模社團.現(xiàn)有甲同學(xué)參加數(shù)學(xué)建模社團

選拔，已知該同學(xué)在每個項目中得優(yōu)、良、中的概率都分別為工，R,艮，且甲在每個項目中的成績均相

623

互獨立.

（1）求甲能進入到數(shù)學(xué)建模社團的概率；

（2）設(shè)甲在本次數(shù)學(xué)建模社團選拔中恰好通過X個項目，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

參考答案與試題解析

選擇題(共7小題)

1.【解答】解：先排3號位置，有3種方法，其它位置任意任意排，再除以的順序數(shù)，

故有3?一彳=36種不同的出場次序，

4

故選：B.

2.【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于若人|＞正|，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強，4錯誤;

對于8,若r；〉r/必有1網(wǎng)＞於I，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強，8正確；

對于C,若s；〉S合則第二組變量比第一組變量擬合的效果好，C錯誤；

對于。，若R；〉R2，則第一組變量比第二組變量擬合的效果好，。錯誤.

故選：B.

3.【解答】解：有5個相同的球，其中3個紅色、2個藍色，從中一次性隨機取2個球，

對于N,“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故N錯誤;

對于瓦恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故2錯誤；

02+C%1

對于C,“至少取到1個紅球”的概率4=0.9,

C2

Cn+CnCj

“至少取到1個藍球”的概率尸='1"=0.7,

C2

?,?“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率，故C正確；

Cn+CnCj

對于D,“至多取到1個紅球”的概率P=232=0.7,

c2

,2+C%1

”至多取到1個藍球”的概率尸=亡；：3'"=0.9,

C2

“至多取到1個紅球”的概率小于“至多取到1個藍球”的概率，故。錯誤.

故選：C.

4.【解答］解：'：n(4)=30,n(B)=10,nG4U2)=40,

：.nC4U3)=n(A)+n(8),與8互斥，故N錯誤;

由"（NU。）=n（/）+n（￡＞）=n（Q）=60,/、?；コ馇覍α?，故8錯誤;

n(C)=20,nUAC)=10,則〃(DCC)=10,C與。不互斥，故C錯誤;

由尸由）n(A)_1P(C)n(C)=1P(y4AC)n(AAC)=1

n(Q)Tn(Q)3n(Q)6

：.P(4CC)=P(A)P(C),與c相互獨立，故。正確.

故選：D.

5.【解答】解：對于N,事件?。杭t骰子的點數(shù)為2,A2：紅骰子的點數(shù)為3,

4與，2互斥但不對立，因為紅骰子的點數(shù)還有其他情況，比如4,N錯誤;

對于8,A3：兩個骰子的點數(shù)之和為7,

4：兩個骰子的點數(shù)之和為9,為與4不可能同時發(fā)生，故也與4互斥，8錯誤;

對于C,兩個骰子的點數(shù)之和為7的情況有1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1,

則P（AI）卷「色）=含卷P（A[A3）=含，

所以尸（?。㏄（?。?P（4/3），所以為與小相互獨立，C正確;

對于。，兩個骰子的點數(shù)之和為9的情況有3+6=4+5=5+4=6+3,

P(A2)春P(AP=含卷P(A2A4)=-^=^

所以尸（4）P（4）￥P（Z2/4），D錯誤.

故選：C.

6.【解答】解：拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個正面”“兩個正面一個反面”“兩個反面一個正面”分

別為事件4B,C,

對于4事件4B,C中任意兩個事件都不能同時發(fā)生，

事件/,B,C兩兩互斥，故/正確；

對于8,P(A)+P(B)+P(C)=工秘金=工，故8正確；

8888

對于c,P(B)+pco=3/=3,p(A)=A,

8848

：.P(5)+P(C)W4P(A),故C錯誤；

對于，PC4+2)=P(A)+P(B)=_1金=1_,

882

P(2+C)=P(B)+P(C)

884

P[G4+5)(3+C)]=P(3)=3=尸(/+B)P(S+C),故。正確.

8

故選：C.

7.【解答]解：事件4與事件8不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥但不對立事件，故/錯誤;

事件2發(fā)生與否，影響事件。，.?.事件2,。不是相互獨立事件，故8錯誤;

P(。)=P(A)P+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

i-i21i-t2ri1J_I1<_i1<-i1

=4xS1+4xx；故0正確；

/-i2j-i1/-12/-i1ri2/-?1QR

C5C7C5C7C5C7

cjcjClQ

P(CD)=P(C)P(D|C)=、3X一二2,故。錯誤.

c2c135

^5J

故選：c.

二.多選題(共4小題)

8.【解答]解：令x=y=O,可得/(0)=2f(0)f(a),結(jié)合f(0)解得f(a)=工，故/正確

22

令y=0,原式化為/(x)=/(x)f(a)V<0)/(a-x),

代入f(a)=/可得/(X)=f(。-x),所以原式即：f(x+y)=2f(x)f(y),故C正確；

再令y=x得/(2x)=2[f(x)產(chǎn)對，即函數(shù)值非負(fù)，

令了=。-x,可得f(a)=2,(x)]2,即f(x)=4-A(負(fù)值舍去)，故8正確；

所以僅有一個函數(shù)關(guān)系式/G)■滿足條件，故。錯誤.

故答案為：ABC.

9.【解答]解：A中，由g=2x「1可得，第二組數(shù)的平均數(shù)；=2彳-1,所以《不正確；

2中，由1可得第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍減1,所以2不正

確；

C中，第一組的標(biāo)準(zhǔn)差&=/[(x1彳)2+…(彳)2],

Vn1n

第二組的標(biāo)準(zhǔn)差S2=[y-y)2+...+(y-y)2=

Vn1n

J-(2xi-l-2x+1)2+...+(2x-1-2x+1)2]:[(x<-x)..(x-x)2]=2Si,所以

Vn1nVn1n

。正確；

。中，由%=2/-1可知第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍，所以。正確

故選：CD.

10.【解答】解：對于/選項，因為X?NB(1,A),

=(1[)(1[)...(1-y)(y)k>故/對;

則P(X=K)

乙乙乙乙乙

1(kH)^'

對于8選項,因為(r,p),

則P(X=k)=CjZjp，"1(1-P)八勿=優(yōu)二產(chǎn).(1-P)…，k=r,r+1,r+2,故8錯;

對于C選項，因為從｛1,2,〃｝中取出巾個數(shù)嗎的取法有CL+j種，

這些取法可按％的值分類，即即=r+z，(OWiW"-"/)時的取法有「r-1ri種,

vr-l+in-r-i

n-r-j

所以，ycr-Lc1.=cr+j>

J^r-l+in-r-i

i=0

因為X?g(r,p),丫?B(n,p),設(shè)q=l-p,貝ljp+q=l,

n-rn-r

所以P(X(qn)=E年，prq、￡C：二工p。q[(p+q)m

i=0i=0

n-r..n-r-i

=Lr<rTr工「nJjn-r-i-j

E，r-l+iP。‘n-r-iP。

i=0j=0

n-r-in-rn-r,r+i

=yV「1「Jnp'_an"r"J

乙乙^r-l+i^nrr^i。

j=0i=0

=/rc：+JpHJqkLj=p(/N"),故C對；

j=0n

對于。選項，因為X?NB(r,p),P(X=8最大，

KlJ/P(X=k)>qP(X>qk-l)；

lP(X=k)>qP(X>qk+D，

fc^pr(i-p)k-r>c^pr(i-p)^1

所以k1卜2.

解得丘kk4]二，

pp

所以，當(dāng)左取不小于工±的最小正整數(shù)時，P(X=k)最大，故。對.

P

故選：ACD.

11.【解答】解：對于4該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的期望為四=75,故/正確,

對于8,該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為。=倔=9,故3錯誤,

對于C,=75-18=57<60,

：.P(X>60)<P(X>n-2o)=^-^P(kl-2CT<^<H+2o)=0.9772,故C錯誤，

對于D,：60+90=2山

：.P(XW60)=P(X>90),

該校學(xué)生的體能不達標(biāo)的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等，故。正確.

故選：AD.

三.填空題(共4小題)

12.【解答】解：設(shè)尸履+6與尸42和尸質(zhì)x的切點分別為5，e，「2)、3，阮t2)；

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得后=0*「2=」,

x2

曲線y="-2在(孫，eX「2)處的切線方程為>-/「2=(》一肛)，

即歹―e?x+(1-X])e,

曲線V=在點(%2，貶%2)處的切線方程為y-lnx廣1(x-xQ，

2x2

即y=~^~x+lnx之-1，

x2

則《'2,

x-2

(1-Xj)e-=lnx2-l

_=

(lnx2l)0*

x2

解得％2=1，或%2=e?

當(dāng)％2=1時，切線方程為>=x-l，即b=-l,

當(dāng)、2=e時，切線方程為歹=三，不合題意，

e

:.b=-1.

故答案為：-1.

13.【解答】解：M(4,6),點N在圓C：/+/+6%+%=0上運動，若點尸滿足d(M,P)=2,

由題意得，圓C：(%+3)2+(歹+2)2=13,圓心C(-3,-2)

設(shè)點P(沏，澗)，貝啦o-4|+濟-6|=2,

?,?點P的軌跡為如下所示的正方形，其中/(4,8),B(6,6),

（4+3）2+（8+2）2=Ji函，啰q=d（6+3）2+（6+2）2=百后，

/.IPN|<IACI+r=V149+713.

故答案為：^149+713.

14.【解答】解：由題意，甲、乙、丙3位運動員站成一排，有A9種不同的排法，

在三位運動員形成的4個空隙中選3個，插入3個吉祥物，共有A?A；=144種排法.

故答案為：144.

15.【解答】解：曲線yW絲的導(dǎo)數(shù)為/=xcosx-sinx,

xx2

可得曲線在點M(-TT,0)處的切線斜率為

“一兀cos(一兀Asin(一兀)1

"(-兀)2F'

即有曲線在點/(-TT,0)處的切線方程為〉=L(X+1T),

兀

即為x-可+TI=0.

故答案為：X-lty+lT=0.

四.解答題(共2小題)

16.【解答】解：(1)零假設(shè)為Ho：藥物M對預(yù)防疾病A無效果，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得:

x2=_______n(ad-bc)2_______JOOX(30X45)2_lOO?030>2706

(a+b)