海南省某中學2024-2025學年高三年級上冊8月摸底考試 數(shù)學試題（含解析）

海南省農(nóng)墾實驗中學2025屆高三8月摸底考試數(shù)學試卷

滿分：150

單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。）

1.集合&={xEN\-l<x<4}的子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

2.不等式“”>產(chǎn)成立,是不等式“因>IW”成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

x2+l,x<1

/（X）=2

3.設函數(shù)》比>1,則八3）等于（）

1213

A.5B.3C.3D.v

4.下列命題中正確的是（）

A.當*>1時，％+二2B.當?shù)?lt;。時，x+x~~2

C.當0<%<1時，亞+耳1D.當％>2時，口+122M

5.已知定義在R上的奇函數(shù)TO）滿足人>+2）=則/（8）的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

6.設函數(shù)/㈤=3MI）在區(qū)間（0；）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）

（?！霍?）

A.(一8,—1)B.[-3,0)C.D.8

7.若命題叼％6[-2,1],32+23+3￡1>1”為假命題，貝ija的最大值為（）

1111

A.6B.3C.2D.4

8.已知奇函數(shù)/（X）在（一00,°）上為增函數(shù)，且/（—3）=0,則關(guān)于x的不等式（x—2）/Q）<0的解集是（

）

A.(—3,0)U(2,3)B(-3,0)U(0,3)

C.(—8,-3)U(2,3)D.(—8,—3)U(0,3)

二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。)

9.下列說法不正確的是()

A.函數(shù)/(%)=x+1與g(x)=(后閂丫是同一個函數(shù)

B.若函數(shù)/(%)的定義域為[0,3],則函數(shù)/(3幻的定義域為[。,1]

C.不等式(2久一1)(1一久)<0的解集為｛久《<“<1｝

D.當xeR時，不等式收2+日+1>0恒成立，貝肚的取值范圍是(0,4)

10.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當Xe(0,+8)時，f(x)^x2+x,則下列說法正確的是

()

A.八―1)=-2B./(%)在定義域R上為增函數(shù).

2

C.當xe(-8,0)時，f(X)=x-xD.不等式/■(久一1)<2的解集為(0,2)

11.已知定義在R上的函數(shù)"x)滿足/(x+y)=/(%)+〃>),當x〉0時，/(x)>0,/(2)=4,則

()

A./⑸=1。B."X)為奇函數(shù)

C.“X)在R上單調(diào)遞減D.當欠<一1時，/■(XHZA/'Q久)

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知｛4｝是等比數(shù)列，且公比為q,S.為其前n項和，若%是卬、52的等差中項，54=15,則q=_

,.

13.函數(shù)f(W=聲方一x的最小值為.

”久)=無，°<久W2

14.已知函數(shù)八JI2%-3,%>2,若f(a+1)-f(2a—1)20,則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15(13分)已知AABC內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,設(sEB-sinC)2=siMa—s譏Bs譏C.

⑴求4

是

(2)若b+c=4,44BC的面積為2,求a的值.

16(15分).

(1)已知f(C+2)=x+4G,求函數(shù)/(久)的解析式；

(2)已知/(久)是二次函數(shù)，且滿足八。)=1,/(X+1)=/(%)+2x,求函數(shù)外幻的解析式;

(3)已知/■(x)+2f(一久)=2久+3,求"久)的解析式.

17(15分).小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友4如果4猜中，4將

獲得紅包里的所有金額；如果力未猜中，力將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友/如果B猜中，AB平分紅包里

的金額；如果B未猜中，B將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C,如果C猜中，4、8和C平分紅包里的金額；如

111

果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設4、B、c猜中的概率分別為3,2,3,且4、B、C是否

猜中互不影響.

(1)求4恰好獲得8元的概率；

⑵設4獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學期望.

18（17分）.如圖，棱柱"88-44GA的所有棱長都為2,4CCBD=°,側(cè)棱人公與底面ABC。的

所成角為60°，401平面4BCDF為DQ的中點.

D>C,

B\/

（1）證明:BD’AA、

（2）求平面與平面C441夾角的余弦值.

19（17分）.

，y2_

已知焦點在X軸上的橢圓c：/+”=1（a>b>0\短軸長為2正，橢圓左頂點到左焦點的距離為1.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，已知點。0。），點4是橢圓的右頂點，直線/與橢圓。交于不同的兩點瓦尸，民廠兩點都

在x軸上方，且乙4PE=NOPF.證明直線1過定點，并求出該定點坐標.

參考答案:

1.D

【分析】先求出集合，再求出子集個數(shù)即可.

【詳解】由題意，得4={0，1，2,3},故集合/子集個數(shù)為24=16個.

故選：D.

2.D

【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義判斷.

【詳解】由1>一2,但1<|-2|=2,所以由“x>y”不能推出“因>切”；

又1一2|>|1|,{0-2<1,所以由“因>加”不能推出“x>y”，

即不等式“%>產(chǎn)成立，是不等式“因〉成立的既不充分也不必要條件.

故選：D

3.C

【分析】根據(jù)題中分段函數(shù)解析式運算求解.

2

【詳解】因為3>1,所以八3)=工

故選：C.

4.B

【分析】結(jié)合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.

1、。I~~1c

xH—N,——2_1_1

【詳解】解:選項A-％>1,xNx，等號成立的條件是等號取

不到，所以故A錯誤；

選項B.當時，f>0,%+x=-卜")+」W-2J(-x).r=一2,當且僅當％=一1時

等號成立，故B正確；

選項C.O<x<l,—+Q2J.?應=2,等號成立的條件是％=1,等號取不到，即

口+\>2,故C錯誤；

選項D.當％>2時，口+622^后反=2/，等號成立的條件是即x=2時，

但條件%>2,所以等號取不到，故口+口>2遂，故D錯誤.

故選：B

5.B

【分析】根據(jù)f(x)為奇函數(shù)，得到/(0)=0,根據(jù)f(x+2)==/(%),得到f(x)的周期為4,

進而運用周期求解/(8).

【詳解】由/(尤)為定義在R上的奇函數(shù)，得/(-0)=-△。),得f(0)=。,

由f(K+2)=-/⑶得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(久)的周期為4,

所以/(8)=/(。)=0.

故選：B.

6.D

【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性法則，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.

【詳解】函數(shù)y=3"在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(X)=3穴~。)在區(qū)間(0a上單調(diào)遞減，

則有函數(shù)、==卜―ip—1在區(qū)間(°。上單調(diào)遞減，

a3

因此225,解得口23,所以實數(shù)a的取值范圍是3,+8).

故選：D

7.A

【分析】由題意可得命題“Vxe[—2,1],口/+25+3口三1，，是真命題，貝|

1

a*(，+2工+3設譏在[―2,1]上恒成立,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意知命題“V%e[-2,1],ax2+2ax+3a<1”是真命題.

<1=1

因為汽2+2%+3=(%+I)2+2>0,所以"—%2+2%+3(X+1)2+2.

當汽=I時，函數(shù)y=(%+1)2+2的最大值為6,

1111

則。+1)2+2的最小值為%,所以。二%,即a的最大值為盛

故選：A.

8.A

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，解不等式/。)<°和“X)>0,由。-2)f0)<0,

分尤-2<0和x-2>0進行討論，把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，求得結(jié)果.

【詳解】奇函數(shù)/(X)在(一°°,0)上為增函數(shù)，且/(—3)=0,

則“X)在(0，+°°)上為增函數(shù),且八3)=0,

/W<0,解得x<-3或。<%<3；〃x)>0,解得—3<x<0或x>3

(x-2>0(x—2<0

不等式Q—2)/(久)<0,等價于V(x)<?；騐(x)>0,

解得2<%<3或-3<x<0,

故選：A

9.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可判斷A；根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法判斷B；解一元二次不等

式判斷C；根據(jù)不等式恒成立，討論左的取值，結(jié)合一元二次不等式恒成立，判斷D.

【詳解】對于A,函數(shù)〃x)=x+l的定義域為R,9(久)=(^^)2的定義域為［-1,+8),

故函數(shù)八久)=%+1與9(%)=6/%+1)2不是同一個函數(shù),A不正確；

對于B,函數(shù)/(X)的定義域為［0,3］,即0WXW3,

則對于函數(shù)f(3x)有0-3,二0—W1,故其定義域為［0,1］,B正確;

1

對于C,不等式(2%-1)(1一%)<。即(2久一1)(%-1)>0,則久<2或X>1,

其解集為{M"C或")1},C不正確；

對于D,當久6R時，不等式依2+收+1>0恒成立，當k=0時，1>0恒成立，

(k>0

當上40時，則需滿足(△=/一〃<0'二<<,

綜合可得上的取值范圍是［°，4),D不正確，

故選：ACD

10.CD

【分析】對于A,利用f(久)的奇偶性直接求得/(-1)；對于BC,利用fO)的奇偶性求得

/(%)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于D,利用/'(%)的單調(diào)性與奇偶性解不

等式即可得解.

【詳解】對于A：因為/(X)是定義域為R上的偶函數(shù)，所以八久)=/(一為，

又當久6(0,+8)時，/(%)=x2+x,所以⑴=2,故A錯誤；

對于B：由二次函數(shù)'="2+”=1+5)2—4可知，/'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因為函數(shù)/(乃是定義在R上的偶函數(shù)，即/(幻的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以八幻在(-8,0)上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C：當xe(—8,0)時，一萬6(0,+8),貝爐(久)=/(一尤)=/一,故c正確；

對于D：由f。)的奇偶性與單調(diào)性可知，/0-1)<2可化為/(|%-1|)<〃1),

所以|x-1|<1,解得0<x<2,故D正確.

故選：CD.

11.ABD

【分析】A選項，賦值法得到f(1)=2,"4)=f(2)+〃2)=8,f(5)=10；B選項,先

賦值得到f(o)=o,令得f(x)+f(-x)=o,故B正確；c選項,令*=叼)=%2一%,

且叼>叼，當X>0時，/(x)>0；故/(%2)—/■(比1)="叼―"1)>°,從而/(X)在R上單調(diào)

遞增；D選項，先變形得到/■。)-2=/(久)一/(1)又無<一1,故久一1>2%由函

數(shù)單調(diào)性得到D正確.

【詳解】A選項，fO+y)=f(X)+〃>)中，令x=y=i得，f(2)=f(i)+y(i),

又"2)=4,故/?⑴=2,

令f(x+y)=/(X)+f(y)中，令尤=y=2得/'(4)=f(2)+f(2)=8,

畬久=4,y=l得/1(4+1)=/(4)+/(1)=8+2=10,即/⑸=10,A正確;

B選項,fQ+y)=/(久)+f(y)中，令％=y=o得/'(0)=/(。)+f(o),解得/(o)=o,

f(x+y)=f(x)+/(y)中，令y=r得/'(X)+/(f)=/(0)=0,

故〃x)為奇函數(shù)，B正確；

c選項，/Q+y)=/。)+/(y)中，令”=叼)=叼—叼，且叼>“1,

故/(久1+X2-X1)-/(X1)=f(久2-/),即/'(%2)一/(久1)=f(久2一萬1),

當了>0時,〃X)>0,故/(久2)-/(%1)=/(、2一%1)>°,

即f(X2)>f(K1),故"X)在R上單調(diào)遞增，c錯誤；

D選項，/(1)=2,/(x)-2=/(x)-/(l)=/(x-l),

又乂<一1,故久一1>2匕

又“X)在R上單調(diào)遞增，所以/(幻―2>/(2x),D正確.

故選：ABD

12.21

【分析】利用已知條件可得出2a2=%+$2,化簡可得q的值，再利用等比數(shù)列的求和公式

可求得％的值.

4Cj_—"一—z2.

【詳解】由題意可得2a2=%+52=2%+&2,?--a2=2a1；則為,

%(1一勺4)

$4=^^=15%=15,解得%=1

故答案為：2；1.

1

13,-2/-0.5

【分析】運用函數(shù)單調(diào)性求最值即可.

【詳解】/(幻="^—X的定義域滿足1—2x20,即則函數(shù)定義域為(一8」.

y=聲石在(-8,習內(nèi)單調(diào)遞減，y=—x在(-8,且也是單調(diào)遞減，

則-2x-x在定義域(―、內(nèi)單調(diào)遞減，則f(“)(東啊

_1

故答案為：2.

14.I<a-2

【分析】先求解函數(shù)/(幻的單調(diào)性，接著根據(jù)已知條件結(jié)合函數(shù)定義域和單調(diào)性即可求解.

【詳解】因為當xe(0,2］時，是單調(diào)遞增函數(shù)，此時f(x)Wf(2)=l,

當工6(2,+8)時，〃X)=2x—3是單調(diào)遞增函數(shù)，此時/(久)>/(2)=1,

0/12x

f(油=「°先居°<久W2

所以八1〔2X-3,X>2是定義在(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以若/(。+l)-f(2a-l)>0即/(a+1)>/(2a-l),

則。+1之2。-1>0,<a-2,

.7T

15.(1)A=3

(2)a=M

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進行化簡，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得兒=6,結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)原式化簡可得：siv^B—2sinBsinC+sin^C=sin^A—sinBsinC9

整理得：sin^B+sin^C—sin^A=sinBsinCf

由正弦定理可得：M+c2—a2=bc,

.b2+c2—a21Ti

COSA==7因此三角形的內(nèi)角A=3;

(2),：SAABC=lbcsinA=lbc-T=T,

???be=2,

???a2=h2+c2-2bccosA=(b+c)2—3bc=16—6=10,

???a=y/10

2

16.(1)/(x)=%-4(X>2).⑵/㈤=/_尤+i；(3)/(x)=-2x+1.

【分析】

(1)用換元法，設t=G+2,解出x后代入可得，注意t的取值范圍；

(2)設/(%)=a/+6*+或(1K0),代入已知條件解方程組可得；

(3)用一x替換門乃+2/(-%)=2久+3中的左兩式組成方程組后解之可得；

【詳解】⑴設1=6+2,則壯2,口=t—2,即久=(t—2)2,

所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=產(chǎn)—4,所以f(x)=%2-4(X>2).

(2)因為/'(W是二次函數(shù)，所以設/(x)=ax2+6x+c(aK。).由/(0)=1,得°=i.

由/(%+1)=/(%)+2%,得◎(%+I)2+b(x+1)+1=ax2+bX+1+2%,

整理得(2a—2)久+(a+b)=0,

(2a-2=0(a=1

所以［a+b=0,所以伍=—1,所以/■(>)=/-x+i.

(3)用一x替換/'(%)+2f(-幻=2x+3中的x,得f(-x)+2/(%)=-2x+3,

(f(x)+2/(—%)=2%+3

由l2f(x)+/(-x)=-2x+3,解得/'(%)=-2久+1.

1

17.(1)9

(2)分布列見解析，磯*)=芍

【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算即可；

（2）由題意，X的可能取值為0,8,12,24,計算對應的概率值，寫出X的分布列與數(shù)

學期望值.

【詳解】（1）若4恰好獲得8元紅包，則結(jié)果為4未猜中，B未猜中，C猜中，

故/恰好獲得8元的概率為5X2X3=9.

(2)X的可能取值為0,8,12,24,

則P(X=8)=",P(X=0)=|xgx|=|,

P(X=12)=fx|=i)P(X=24)=：

所以X的分布列為：

X081224

2111

p

9933

數(shù)學期望為E(X)=0X|+8X"12X2+24X3^

18.⑴見解析

⑵見解析

V5

⑶5

【分析】（1）利用線面垂直證明線線垂直即可；

（2）利用線面平行的判定定理即可；

（3）利用三垂線法求二面角即可.

【詳解】（1）棱柱/8S-4且GA的所有棱長都為2,

所以底面4BCD為菱形，故4C1BD,

Ai°1平面c平面4BCD,

A1。_LBD且4］。nAC=04。,ZCu平面A1。。

???BD1平面&℃,

且c平面&oc,

BD1AAX

（2）連接BO,

?，.OF〃BC\,且BC\u平面。尸0平面BCCi片,

」?。尸〃平面8"品

(3)4°