貴州省遵義2025屆高三數(shù)學試題聯(lián)合模擬考試試題（含解析）

貴州省遵義第二教育集團2025屆高三數(shù)學試題聯(lián)合模擬考試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.

例（左）視圖

A.26■龜S，且B.2也史S，且26cs

C.2后eS，且2asD.2拒eS，且2百eS

2.在棱長為2的正方體中，尸為AiZ>i的中點，若三棱錐尸-48C的四個頂點都在球。的球面上，則

球。的表面積為（）

A.12兀B.—C.—D.lOn

24

3.設(shè)耳,E分別是雙曲線￡-4=1（“>0,6>0）的左右焦點若雙曲線上存在點P,使4班=60。，且歸耳|=2儼閶，

ab

則雙曲線的離心率為（）

A.73D.76

4.已知拋物線C：9=2加（夕>0）,直線丁=中?〉0）與。分別相交于點A,4與C的準線相交于點N,

^\AM\=\MN\,貝!］左=（）

272

c.2V2

5.已知拋物線C：V=4x和點。（2,0）,直線尤="-2與拋物線C交于不同兩點A,B,直線6D與拋物線。交于

另一點E.給出以下判斷:

①以班為直徑的圓與拋物線準線相離；

②直線0B與直線0E的斜率乘積為-2；

③設(shè)過點A,B,E的圓的圓心坐標為S,切，半徑為r，則r=4.

其中，所有正確判斷的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學書的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

24510

7.設(shè)曲線y=a（x—1）—Inx在點（1,0）處的切線方程為y=3x—3,則。=（）

A.1B.2C.3D.4

8.如圖所示，直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,

則球的體積為（）

9.公差不為零的等差數(shù)列{礪}中，”|+“2+。5=13,且41、。2、05成等比數(shù)列，則數(shù)列{麗}的公差等于（）

A.1B.2C.3D.4

10.復數(shù)滿足z+|z|=4+8i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.已知集合A={y|y=|x|-1,x￡R},B={x|x>2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.-3WAB.3^BC.AAB=BD.AUB=B

22i

12.如圖所示，在平面直角坐標系龍。丁中，b是橢圓鼻+方=i（a〉6〉o）的右焦點，直線與橢圓交于3,c

兩點，且N5FC=90°,則該橢圓的離心率是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

'3x-2y+4>0,

13.設(shè)x,V滿足約束條件x+4y+620,,則z=/+/的最大值為,

x-2<0,

14.已知半徑為4的球面上有兩點---=s、F球心為O,若球面上的動點C滿足二面角的大小

為"，:，則四面體二二二二的外接球的半徑為.

15.學校藝術(shù)節(jié)對同一類的A,B,C,。四件參賽作品，只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同

學對這四項參賽作品預測如下：

甲說：“。或。作品獲得一等獎”；乙說：“3作品獲得一等獎”；

丙說：“A,。兩項作品未獲得一等獎”；丁說：“C作品獲得一等獎”.

若這四位同學中有且只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是.

16.成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計分析，近似服從正態(tài)分布X?NQOO,b?),且P(86<X<100)=0.15,若

該市有8000人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績X大于114分的人數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠

鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年

代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)

是一定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈

沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=2|x—2]—7"(">0),若〃%+2)<0的解集為(—2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正實數(shù)b,c滿足a+2b+3c=加，求證：一+一+一之一.

a2b3c4

19.(12分)數(shù)列｛a“｝滿足。，產(chǎn)0,q=1且。〃+1+3。“+4=0.

(1)證明：數(shù)列工是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛。屋4,+1｝的前幾項和S..

1

20.(12分)已知函數(shù)/(%)=/+9,其中〃>一1.

(I)當，=1時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)丸(尤)=/(x)+以一；12—In%,求證：h(x)>2；

(ni)若/(刈23/+%+6對于xeR恒成立，求b—。的最大值.

21.(12分)選修4—5；不等式選講.

已知函數(shù)"x)=|x|-|X-II.

(1)若/(x)才m-11的解集非空，求實數(shù)機的取值范圍；

⑵若正數(shù)X。滿足/+，M為(1)中機可取到的最大值，求證：x+y>2xy.

22.(10分)設(shè)不等式一2<上一1|—|%+2|<。的解集為M,a,beM.

11,1

(1)證明:—a+—b<；

364

(2)比較|1—4/與2|a—4的大小，并說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長度，進一步求出個各棱長.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，

如圖所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=26，BE=7（2A/2）2+22=2^.

故選：D.

本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

取BiCi的中點Q,連接尸。，BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ-ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐Pi42c有相同的

外接球，求出等腰三角形Q2C的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑

【詳解】

如圖，取BiCi的中點。，連接尸。，BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ-A。尸為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都

在球。的球面上，AQBC的外接圓直徑為2r=—1篇=],球。的半徑R滿足代=/+（空）2=上，所以球。的

smZQCB2216

41兀

2

表面積S=4兀R=---,

4

故選：C.

此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬

于中檔題.

3.A

【解析】

由歸國=2歸閭及雙曲線定義得歸國和歸耳|(用。表示)，然后由余弦定理得出a,c的齊次等式后可得離心率.

【詳解】

由題意尸耳］=2|尸周，.?.由雙曲線定義得|期|—|「國=2。,從而得歸周=4a,|尸閶=2a,

在月中，由余弦定理得(2c)2=(4a)2+(2a)2—2x4ax2acos60。，化簡得e=￡=JL

a

故選：A.

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用。表示出P到兩焦點的距離，再由余弦定理得出。的齊

次式.

4.C

【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.

【詳解】

顯然直線y=小一。(左〉0)過拋物線的焦點/已。］

如圖，過作準線的垂直，垂足分別為C,D,過M作AC的垂線，垂足為E

根據(jù)拋物線的定義可知AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點，所以為三角形乂4c的中位線，故

1

MD=CE=EA=-AC

2

設(shè)則AF=AC=2t,所以AM=3f,在直角三角形中，ME=7AM2-A￡2=^9t2-t2=

所以左=tan/MAE="￡=冥2=2后

AEt

故選：c

本題考查求拋物線的焦點弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.

5.D

【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用4=幺土旦也＞些=尺可判斷；

222

對于②，設(shè)直線OE的方程為x=my+2,與拋物線聯(lián)立，用坐標表示直線08與直線0E的斜率乘積，即可判斷；

對于③，將尤="-2代入拋物線。的方程可得，力%=8,從而，以=-%，利用韋達定理可得

|BE|2=16m4+48m2+32,再由「=|小『+（與1],可用m表示產(chǎn)，線段助的中垂線與x軸的交點（即圓心

N）橫坐標為2〃?2+4,可得a,即可判斷.

【詳解】

如圖，設(shè)歹為拋物線C的焦點，以線段3E為直徑的圓為M,則圓心〃為線段班的中點.

設(shè)6,E到準線的距離分別為4,d2,OM的半徑為R,點〃到準線的距離為d,

顯然3,E，尸三點不共線，

則六安生=”產(chǎn)＞中=心所以①正確.

222

由題意可設(shè)直線DE的方程為x=my+2,

代入拋物線C的方程，有丁―4切-8=0.

設(shè)點3,E的坐標分別為（國,%）,（尤2，%），

則%+%=4加，％%=-8.

所以王馬=（沖1+2）（沖2+2）="%必+2m（％+%）+4=4.

則直線08與直線OE的斜率乘積為"=-2.所以②正確.

xtx2

將尤="-2代入拋物線C的方程可得，力為=8,從而，.根據(jù)拋物線的對稱性可知，

A，E兩點關(guān)于％軸對稱，所以過點A,B,E的圓的圓心N在x軸上.

由上，有％+%=4加，%+/=4〃/+4,

242

則|BE|=（玉+%）一一4尤1%+（%+y2y—4%%=16m+48m+32.

所以，線段班的中垂線與x軸的交點（即圓心N）橫坐標為2〃「+4，所以4=2m2+4.

242

于是，r=\MN\"=[2"+4_Xj]+["%]+4m+12m+8,

42

代入x,+x2=4m2+4,%+為=4根，得，=4m+16m+12，

所以4—/=Q療+4）2-（4m4+16m2+12）=4.

所以③正確.

故選：D

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.

6.D

【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.

【詳解】

3本不同的語文書編號為A&C,2本不同的數(shù)學書編號為a]，從中任意取出2本，所有的可能為:

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10個，恰好都是數(shù)學書的只有ah一種，.?.所求概率為尸=!.

10

故選：D.

本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數(shù)計算概率.

7.D

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解

【詳解】

因為y'=a—工，且在點(1,0)處的切線的斜率為3,所以a—1=3,即a=4.

故選：D

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題

8.A

【解析】

設(shè)球心為一，三棱柱的上底面-的內(nèi)切圓的圓心為一,，該圓與邊-.一切于點-，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得——

為直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓-半徑，進而求得球的半徑，最后可求出球的體積.

J]

【詳解】

如圖，設(shè)三棱柱為二二二一二二；二/且二二=/二二二=5,二二=/3,高口口

所以底面為斜邊是——的直角二角形，設(shè)該二角形的內(nèi)切圓為圓—，圓-與邊——切于點一，

一一1-1-1-7-J-1-1-1-

則圓一的半徑為.

口)匚=-；—=/

設(shè)球心為一，則由球的幾何知識得------為直角三角形，且--=

?ULJJL4UJ

所以

□□=JT+4,=26

即球二的半徑為入5,

所以球「的體積為

X（孫9=

故選A.

本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個：

(1)構(gòu)造以球半徑二、球心到小圓圓心的距離二和小圓半徑二為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,

這是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法.

(2)若直角三角形的兩直角邊為-斜邊為-，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑_____,合理利用中間結(jié)論可提

—+一——

高解題的效率.

9.B

【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為d,d/O.由q+g+/=匕，卬,。2，%成等比數(shù)列，列關(guān)于4,d的方程組，即求公差d.

【詳解】

設(shè)數(shù)列的公差為d,dw。，

,/勾+4+%=13,二3%+5d-13①.

：%,%,生成等比數(shù)列，+d)2=q(q+4d)②，

解①②可得d=2.

故選：B.

本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

設(shè)z=a+bi(a,人eR),則z+忖=a+bi+y/a2+b2=4+8i,可得一+‘/+/=’,即可得到工，進而找到對應(yīng)的點所

b=8

在象限.

【詳解】

設(shè)z=a+4(a,/?eH)，則z+\z\=a+bi+yjcr+b2=4+8z,

.a+^la2+b2=4[a=-6

?...Z——0+ol,

b=8b=8

II

所以復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(-6,8),在第二象限.

故選:B

本題考查復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限,考查復數(shù)的模，考查運算能力.

11.C

【解析】

試題分析：集合A={y|y?-1}:.B^A:.Ar>B=B

考點：集合間的關(guān)系

12.A

【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得3和C的坐標，然后利用向量垂直的坐標表示可得3c2=2儲，由離心率定義可得結(jié)果.

【詳解】

旦+

/廿一'所以51咚。，3

由<

b

y=2

由題意知尸(c,0),所以加=

因為ZBFC=90°,所以耐，CF,所以

而”/+且］［立］+￡2_g2/一02￥

--a2=0.

I22J4442

所以3c2=2",所以e=￡=4l,

a3

故選：A.

本題考查了直線與橢圓的交點，考查了向量垂直的坐標表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.29

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為以原點為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代

入目標函數(shù)得答案.

【詳解】

-3x-2y+4>0,

由約束條件（x+4y+6>0,作出可行域如圖:

%-2<0,

3x-2y+4=0,

聯(lián)立《，解得4(2,5),

x—2=0,

目標函數(shù)2=必+尸是以原點為圓心，以后為半徑的圓，

由圖可知，此圓經(jīng)過點A時，半徑、口最大，此時z也最大，

最大值為z=22+52=29-

所以本題答案為29.

線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何

意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最

值取法、值域范圍.

【解析】

設(shè)上----所在截面圓的圓心為一,，—中點為—，連接——'-，

易知------，即為二面角------的平面角，可求出------，-及然后可判斷出四面體------外接球的球心一在

直線--上，在----中，一廠一一;，結(jié)合I，可求出四

MAU/UL-；-十一】一___-n-/r-;nn_nnn-ir小i

口1口J口口一口口八口匚=口，口」匚=|口-、叫

N

面體一二二二的外接球的半徑「

【詳解】

設(shè)＞一所在截面圓的圓心為一，中點為一，連接---.一，

OA=OB,所以，ODLAB,同理OiDLAB,所以，------即為二面角-_一一一的平面角，

一二二一/—一」L一—

二二二二/=60"

因為--_所以.——是等腰直角三角形，.--_

LJLJ-LJU-U」一*T、N**UlUu??！□□―/、'/

在Rt,,----中，由cos60°=_得一，二=\F由勾股定理，得：二二，=、彳，

因為Oi到A、B、C三的距禺相等，所以，四面體------外接球的球心—在直線，上，

設(shè)四面體二二二二外接球半徑為二，

本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.

15.B

【解析】

首先根據(jù)“學校藝術(shù)節(jié)對4B、C、O四件參賽作品只評一件一等獎”，故假設(shè)A、B、C,。分別為一等獎，然后判

斷甲、乙、丙、丁四位同學的說法的正確性，即可得出結(jié)果.

【詳解】

若A為一等獎，則甲、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；

若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯誤，滿足題意；

若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；

若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；

綜上所述，故B獲得一等獎.

本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時候，可以采用依次假設(shè)

4B、C、O為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.

16.2800.

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)，結(jié)合P(86<X<100)=0.15求得>114)=1-0.15=0.35,即可得解.

【詳解】

根據(jù)正態(tài)分布X?NCIOO,。?)，且P(86<X《100)=0.15,

所以P(X>114)=；—0.15=0.35

故該市有8000人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績X大于H4分的人數(shù)為8000x0.35=2800.

故答案為：2800.

此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線的對稱性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)79顆；(2)5.5秒.

【解析】

(1)利用各小矩形的面積和為1可得。，進而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；

(2)平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.

【詳解】

(1)第一到第六組的頻率依次為

0.1,0.2,03,0.2,2a,0.05,其和為1

所以2a=1-(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a=0,075,

所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有93x(1—0.15)=79.05a79(顆).

(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5（秒）.

故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.

18.(1)m=4；(2)證明見詳解.

【解析】

(1)將不等式/(尤+2)<0的解集用機表示出來，結(jié)合題中的解集，求出加的值;

(2)利用柯西不等式證明.

【詳解】

rri

解:(1)f(x+2)=2\x\-m<Q,|.r|<—,

2

mm

--<x<—

22

因為〃x+2)<0的解集為(―2,2),所以￡=2,

.\m=4；

(2)由⑴a+2b+3c=4

由柯西不等式d+L+，Xa+2A+3c)2(l+l+l)2=9,

a2b3c

1119

,——I1>—

"a2b3c-4

424

當且僅當。=—,b=—,c=—,等號成立.

339

本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.

[72

19.(1)證明見解析，a=-------；(2)--------

n3r1—23〃+1

【解析】

11。

(1)利用。〃+1-4+34+]%=0,推出--------=3,然后利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解;

an+lan

(2)由(1)知/。“+1==(」二-彳1),利用裂項法，即可求解數(shù)列的前"項和.

33n—23〃+1

【詳解】

(1)由題意，數(shù)列｛%｝滿足。，產(chǎn)。且=0

可得-1------1-+3c=0c,即一1?—1一=c3,

a.4+14+1an

111,

所以數(shù)列4—是公差2=3,首項一=；=1的等差數(shù)歹！1,

故一=1+3(〃-1)=3〃-2,所以4=—i—.

??3/7-2

1111、

⑵由⑴知-=(3〃-2)(3〃+1)^^一罰)'

所以數(shù)列｛%4+J的前〃項和：

s-1FO________O+O_________O+P_______

"3](3xl—23xl+lJ(3x2—23x2+lJ'\3n-23n+lJ]

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及“裂項法”求解數(shù)列的前n項和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項公

式，合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.

20.(I)函數(shù)Ax)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0)；(II)證明見解析；(III)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求導可得廣(無)=e'+l>0,所以廣(無)在R上為增函數(shù)，進而可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),

單調(diào)減區(qū)間為(-嗎0)；(II)利用導數(shù)可得O(x)=〃'(x)=/-工在區(qū)間(0,+co)上存在唯一零點，所以函數(shù)h(x)在(0,x0)

X

遞減，在(%,+8)遞增，貝沙(?/(%)=*-/%='-/時,進而可證；(III)條件等價于/-依-尤.2對于xeR恒

玉)

成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e、-融-尤，利用導數(shù)可得g(x)的單調(diào)性，即可得到g(x)的最小值為

g(加(a+l))=o+l—(a+l)/〃(a+l),再次構(gòu)造函數(shù)9(a)=1-(a+l)Zn(a+1),a>-l,利用導數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進而

求得最大值.

【詳解】

1,

(I)當a=l時，f(x)=—x+—x,

則r(x)="-l+x,所以/''(0)=0,

又因為f"(x)=ex+l>0,所以f(%)在R上為增函數(shù),

因為/'(0)=0,所以當x>0時，f(x)>Q,/Xx)為增函數(shù),

當％<0時，r(x)<o,r(x)為減函數(shù)，

即函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(f0)；

(II)h(x)=ex-ax-^—x2+ax--^-Inx-ex-Inx，

22

則令9(x)=〃(x)=e'-,，則9(1)=e—1>0,奴工)=血一2<0,

x2

所以°(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點，

1x1

設(shè)零點為七，則與僅彳,1),且*=一，

2xo

當XW(O,Xo)時，〃(無)<0,當xe?,+co),h'(x)>0,

所以函數(shù)/z(x)在(0,小)遞減，在(%,+S)遞增，

h(x)..h(x0)=e%—lruc0=---lnx0,

%

玄11

由e°=一,得所以〃(毛)=無0+—..2,

/飛

由于/h(x0)>2,從而〃(x)>2；

(III)因為/'(x)…gx?+尤+匕對于XGR恒成立，即e*-ox-尤..6對于xeR恒成立,

不妨令g(x)="-ax-x,

因為g'(x)=e*—(a+1),a>—1>

所以g'(尤)=0的解為x=及(。+1),

則當x>加(a+1)時，gr(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

當x</〃(a+l)時，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)，

所以g(x)的最小值為g(ln(a+l))=a+l-(a+l)Zn(a+1),

則b—62,,1—(a+1)歷(a+1),

不妨令夕(。)=1-3+1)歷3+1),a>—l,

貝(a)=—歷(〃+1)—1=。，解得〃=一1+1,

e