2025屆湖南省衡陽市第二十六中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

2025屆湖南省衡陽市第二十六中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正方體中中，，若點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.4C.3 D.23．設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.134．若是真命題，是假命題，則A.是真命題 B.是假命題C.是真命題 D.是真命題5．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關(guān)系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.36．橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.4C. D.7．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.8．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個是真命題 D.命題，只有一個是真命題9．已知雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.10．若拋物線的準(zhǔn)線方程是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.11．設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內(nèi)的點，若的三個內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，若乙的總成績是445，則污損的數(shù)字是________14．設(shè)等差數(shù)列，前項和分別為，，若對任意自然數(shù)都有，則的值為______.15．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________16．若，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值.18．（12分）已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在正方體中，、、分別是、、的中點（1）證明：平面平面；（2）證明：21．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求實數(shù)的取值范圍；若問題中的不存在，請說明理由設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，___________，，，是否存在實數(shù)，對任意都有？22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零，求a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A2、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C3、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過點時截距最小，求出點A坐標(biāo)，代入目標(biāo)式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過點時截距最小，由，得，則.故選：C.4、D【解析】因為是真命題，是假命題，所以是假命題，選項A錯誤，是真命題，選項B錯誤，是假命題，選項C錯誤，是真命題，選項D正確，故選D.考點：真值表的應(yīng)用.5、D【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】由焦點坐標(biāo)得到，求解即可.【詳解】根據(jù)焦點坐標(biāo)可知，橢圓焦點在y軸上，所以有，解得故選：C.7、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點是曲線上的任意一點，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，點到直線的最小距離.故選：D.8、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個為真命題，為假命題,說明二者至少有一個為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個是真命題，故選：D9、B【解析】由漸近線方程得到，焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為：，利用點到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為：焦點到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B10、D【解析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，可直接得出拋物線的焦點，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】準(zhǔn)線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：則準(zhǔn)線方程為：解得：則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故選：D11、B【解析】設(shè)點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設(shè)點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.12、B【解析】根據(jù)題意，依次求出，觀察規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列的周期，然后通過周期性求得答案.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，所以，，，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】設(shè)污損的葉對應(yīng)的成績是x，由莖葉圖可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污損的數(shù)字是3.考點：莖葉圖.14、【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．再利用已知即可得出【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：對于任意的都有，則故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進(jìn)而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了和的關(guān)系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.16、【解析】分別令和，再將兩個等式相加可求得的值.【詳解】令，則；令，則.上述兩式相加得故答案為：.【點睛】本題考查偶數(shù)項系數(shù)和的計算，一般令和，通過對等式相加減求得，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最值.【小問1詳解】，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.18、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，故有.（2）由①當(dāng)時，，此時函數(shù)的減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；②當(dāng)時，令可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個零點，必須且，可得，此時，又由，當(dāng)時，由(1)有，取時，顯然有，當(dāng)時，故函數(shù)有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，根據(jù)零點求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：連接，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，在中，、分別為、的中點，所以，，所以，，因為平面，平面，所以，平面因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面又，所以，平面平面【小問2詳解】證明：在正方體中，平面，平面，,因為四邊形為正方形，則，因為，則平面由知（1）平面平面，所以，平面，平面，因此，21、答案見解析【解析】由已知條件可得，假設(shè)時，取最小值，則，若補充條件是①，則可求得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，若補充條件是②，則可得，該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，若補充條件是③，則可得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，【詳解】解：等差數(shù)列的公差為d，當(dāng)時，，得，從而，當(dāng)時，得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，由對任意，都有，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的前n項和存在最小值時，假設(shè)時，取最小值，所以；若補充條件是①，因為，，從而，由得，所以，由等差數(shù)列的前n項和存在最小值，則，得，又，所以.所以，故實數(shù)的取值范圍為若補充條件是②，由，即，又，所以.所以，由于該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，故實數(shù)不存在以下為嚴(yán)格的證明：由等差數(shù)列的前n項和存在最小值，則，得，所以，所以不存在k，使得取最小值，故實數(shù)不存在若補充條件是③，由，得，又，所以，所以由等差數(shù)列的前n項和存在最小值，則，得，又，所以.所以存在，使得取最小值，所以，故實數(shù)的取值范