云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，，則A. B.C. D.2．函數(shù)的最小正周期為，若其圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱3．集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知?jiǎng)t當(dāng)最小時(shí)的值時(shí)A.﹣3 B.3C.﹣1 D.17．《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其外形由圓柱和長(zhǎng)方體組合而成.已知某組合體由圓柱和長(zhǎng)方體組成，如圖所示，圓柱的底面直徑為1寸，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3.8寸，3寸，1寸，該組合體的體積約為12.6立方寸，若取3.14，則圓柱的母線長(zhǎng)約為（）A.0.38寸 B.1.15寸C.1.53寸 D.4.59寸8．若，，且，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（）A. B.C. D.9．下列函數(shù)中，與的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（）A. B.C. D.10．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小值為__________12．已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則___________.13．函數(shù)y=的定義域是______.14．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.15．設(shè)函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意都有使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______16．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過點(diǎn)且傾斜角為的弦.（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，寫出直線的方程.18．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間（2，3）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．已知函數(shù)（1）若的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；20．已知函數(shù)．求：（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域21．函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】A項(xiàng)：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線的等價(jià)條件即可判斷.B項(xiàng)：利用向量模的公式即可判斷.C項(xiàng)：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出數(shù)量積即可比較大小.D項(xiàng)：利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以與不共線.B選項(xiàng)：，，顯然，不正確.C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，不正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，正確；答案為D.【點(diǎn)睛】主要考查向量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，還有向量模的公式以及向量共線的等價(jià)條件的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】求得，求出變換后的函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件求出的值，然后利用代入檢驗(yàn)法可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意可得，則，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，，則，故，因?yàn)?，，故函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.故選：C.3、B【解析】確定集合的元素個(gè)數(shù)，利用集合真子集個(gè)數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】集合的元素個(gè)數(shù)為，故集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：B.4、B【解析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則，選B.【考點(diǎn)定位】三視圖與幾何體的體積5、A【解析】根據(jù)圖象可得：，，，.，則.令，，求函數(shù)的值域，即可得出結(jié)果.【詳解】畫出函數(shù)的大致圖象如下：根據(jù)圖象可得：若方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則，，，.，，，則.令，，而函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助圖象分析問題，屬于中檔題.6、B【解析】由題目已知可得：當(dāng)時(shí)，的值最小故選7、C【解析】先求出長(zhǎng)方體的體積，進(jìn)而求出圓柱的體積，利用求出的圓柱體體積和圓柱的底面半徑為0.5寸，求出圓柱的母線長(zhǎng)【詳解】由題意得，長(zhǎng)方體的體積為(立方寸)，故圓柱的體積為(立方寸).設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，則由圓柱的底面半徑為0.5寸，得，計(jì)算得：(寸).故選：C8、B【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象按和分類討論【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)定義域是，A錯(cuò)；C中指數(shù)函數(shù)圖象，則，為減函數(shù)，C錯(cuò)；BD中都有，則，因此為增函數(shù)，只有B符合故選：B9、C【解析】先求得函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)，利用函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)于A中，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)，且時(shí)，則，因?yàn)榍?，所以，所以，即，所以在為增函?shù)，符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意.故選：C.10、C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長(zhǎng)則，，，選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.所以答案應(yīng)填：.考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；2、二次函數(shù)的最值.12、【解析】先設(shè)冪函數(shù)解析式，再將代入即可求出的解析式，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，，，，故答案為：13、【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足，函數(shù)定義域?yàn)榭键c(diǎn)：函數(shù)定義域14、【解析】正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積15、【解析】先根據(jù)的單調(diào)性求出的值域A，分類討論求得的值域B，再將條件轉(zhuǎn)化為A，進(jìn)行判斷求解即可【詳解】是上的遞減函數(shù)，∴的值域?yàn)椋預(yù)=，令的值域?yàn)锽，因?yàn)閷?duì)任意都有使得，則有A，而，當(dāng)a=0時(shí)，不滿足A；當(dāng)a>0時(shí)，，∴解得；當(dāng)a<0時(shí)，，∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域及單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的關(guān)系，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題16、2【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可得，進(jìn)而有，整理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)又兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即，得，即，所以.故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出直線AB的斜率即可寫出其點(diǎn)斜式方程，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，由此可求出直線AB的斜率，寫出其點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）依題意，直線AB的斜率為，又直線AB過點(diǎn)，所以直線AB的方程為：，圓心到直線AB的距離為，則，所以；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，因?yàn)?，所以，直線AB的點(diǎn)斜式方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程、直線截圓所得弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)或.【解析】（1）由為冪函數(shù)知，得或又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)不符合舍去當(dāng)時(shí)，，符合題意；.(2)由（1）得，即函數(shù)的對(duì)稱軸為，由題意知在（2，3）上為單調(diào)函數(shù)，所以或，即或.19、（1）（2）【解析】（1）轉(zhuǎn)化為，可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為時(shí)，利用基本不等式對(duì)求最值可得答案【小問1詳解】由題意得恒成立，得，解得，故a的取值范圍為【小問2詳解】由，得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立故，a的取值范圍為20、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為；對(duì)稱軸為，；對(duì)稱中心為，；（2）【解析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得到，然后結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出單調(diào)遞減區(qū)間，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；（2）由求得，即可求出值域.【詳解】（1）化簡(jiǎn)可得，由，，可得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，可得，故函數(shù)的對(duì)稱軸為，；令，得，故函數(shù)的對(duì)稱中心為，（2）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?1、（1）（2）答案見解析【解析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，分，和，三種情況討論，結(jié)