2025屆江蘇省江都市仙城中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆江蘇省江都市仙城中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知在四棱錐中，平面，底面是邊長為4的正方形，，E為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．在x軸與y軸上截距分別為，2的直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.90° D.180°3．將的展開式按x的降冪排列，第二項不大于第三項，若，且，則實數(shù)x的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線為，則與坐標軸圍成的三角形面積的最小值為（）A. B.C. D.6．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝07．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.8．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的為A若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n9．已知分別是雙曲線的左、右焦點，動點P在雙曲線的左支上，點Q為圓上一動點，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.510．設(shè)是等差數(shù)列，是其公差，是其前n項的和．若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值11．等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.12．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是_______.14．已知分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有________對15．已知函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，若曲線的一條切線為直線：，則的最小值為___________.16．已知O為坐標原點，橢圓T：，過橢圓上一點P的兩條直線PA，PB分別與橢圓交于A，B，設(shè)PA，PB的中點分別為D，E，直線PA，PB的斜率分別是，，若直線OD，OE的斜率之和為2，則的最大值為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）直線過點與曲線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點，使？若存在，求點坐標，若不存在，請說明理由.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點（1）證明：平面；（2）證明：平面21．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列滿足（1）求，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和22．（10分）已知命題：方程有實數(shù)解，命題：，.（1）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面，底面是邊長為4的正方形，則有，而，故平面，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖：則，，，設(shè)直線與平面所成角為，又由題可知為平面的一個法向量，則故選：B2、A【解析】按照斜率公式計算斜率，即可求得傾斜角.【詳解】由題意直線過，設(shè)直線斜率為，傾斜角為，則，故.故選：A.3、A【解析】按照二項展開式展開表示出第二項第三項，解不等式即可.【詳解】由二項展開式，第二項為：，第三項為：，依題意，兩邊約去得到，即，由知，則，同時約去得到.故選：A.4、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.5、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線為，求x、y軸上截距，進而可得與坐標軸圍成的三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最值即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，又，所以切線為，當時，當時，又，所以與坐標軸圍成的三角形面積為，則，當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，即.故選：C6、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C7、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.8、D【解析】根據(jù)空間線面、面面的平行，垂直關(guān)系，結(jié)合線面、面面的平行，垂直的判定定理、性質(zhì)定理解決【詳解】∵α⊥γ，β⊥γ，α與β的位置關(guān)系是相交或平行，故A不正確；∵m∥α，m∥β，α與β的位置關(guān)系是相交或平行，故B不正確；∵m∥α，n∥α，m與n的位置關(guān)系是相交、平行或異面∴故C不正確；∵垂直于同一平面的兩條直線平行，∴D正確；故答案D【點睛】本題考查線面平行關(guān)系判定，要注意直線、平面的不確定情況9、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當，，三點共線時，最小，最小值為，而，所以故選：A10、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項的和的性質(zhì)可判斷每個選項的正誤，進而可得正確選項.【詳解】由可得，由可得，故選項B正確；由可得，因為公差，故選項A正確，，所以，故選項C不正確；由于是等差數(shù)列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項D正確；所以選項C不正確，故選：C11、D【解析】根據(jù)裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D12、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應(yīng)的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對應(yīng)的區(qū)域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應(yīng)的區(qū)域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題知方程，，有且只有一個零點，進而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)，，有且只有一個零點，所以方程，，有且只有一個零點，令，則，，令，則所以為上的單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以當時，；當時，；所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，且，時，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個零點等價于或.所以實數(shù)的取值范圍是故答案為：14、0【解析】計算每兩個向量的數(shù)量積，判斷該兩個向量是否垂直，可得答案.【詳解】因為，，.所以中任意兩個向量都不垂直，即α，β，γ中任意兩個平面都不垂直故答案為：0.15、【解析】設(shè)直線與曲線相切的切點為，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義用表示出m，n即可作答.【詳解】設(shè)直線與曲線相切的切點為，而，則直線的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，則，，當且僅當時取“=”，所以的最小值為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.16、【解析】設(shè)的坐標，用點差法求和與的關(guān)系同，與的關(guān)系，然后表示出，求得最大值【詳解】設(shè)，，，則，兩式相減得，∴，，則，同理，，又，∴，，當且僅當，即時等號成立，∴，故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查直線與橢圓相交問題，考查橢圓弦中點問題．橢圓中涉及到弦的中點時，常常用點差法確定關(guān)系，即設(shè)弦端點為，弦中點為，把兩點坐標代入橢圓方程，相減后可得三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時，函數(shù)在單調(diào)遞增，無減區(qū)間；時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【解析】（1）對求導(dǎo)得到，分和進行討論，判斷出的正負，從而得到的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，分和進行討論，根據(jù)的單調(diào)性和零點，得到答案.【詳解】解:（1）函數(shù)定義域是，，當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當時，令，得到，即，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，綜上所述，時，函數(shù)在單調(diào)遞增，無減區(qū)間；時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由已知在恒成立，令，，可得，則，所以在遞增，所以，①當時，，在遞增，所以成立，符合題意.②當時，，當時，，∴，使，即時，在遞減，，不符合題意.綜上得【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，屬于中檔題.18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)，求出是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出的通項公式，求出的公差，進而求出的通項公式；（2）分組求和.【小問1詳解】因為①，所以當時，②，①－②得：，即③，令得：，滿足③，綜上：是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故，設(shè)的公差為d，則，因為，所以，解得：或0（舍去），所以【小問2詳解】，則19、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用兩點間的距離公式和直線與圓相切的性質(zhì)即可得出；（2）假設(shè)存在點，滿足題設(shè)條件，設(shè)直線的方程，根據(jù)韋達定理即可求出點的坐標【小問1詳解】設(shè)動圓的圓心，依題意：化簡得：，即為動圓的圓心的軌跡的方程【小問2詳解】假設(shè)存在點，滿足條件，使①，顯然直線斜率不為0，所以由直線過點，可設(shè)，由得設(shè)，，，，則，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在點使得20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）取中點，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）利用菱形特點和線面垂直的性質(zhì)可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）取中點，連接，分別為中點，，四邊形為菱形，為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接，四邊形為菱形，，為等邊三角形，又為中點，，平面，平面，，又平面，，平面.21、（1），；（2）.【解析】（1）由求得的遞推關(guān)系，結(jié)合可得其為等比數(shù)列，從而得通項公式，代入計算得；（2）求出，由錯位相減法求和【詳解】（1）由可得，，即，易知，故..（2）由（1）可知，①，②，①－②得，.【點睛】方法點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式