2025屆浙江省杭州市第四中學 數學高一上期末檢測試題含解析

2025屆浙江省杭州市第四中學數學高一上期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知角的終邊在第三象限，則點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．下列函數中為奇函數，且在定義域上是增函數是（）A. B.C. D.3．如圖，在平面內放置兩個相同的直角三角板，其中，且三點共線，則下列結論不成立的是A. B.C.與共線 D.4．設當時，函數取得最大值，則（）A. B.C. D.5．下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間上單調遞增的是（）A. B.C. D.6．下列選項正確的是（）A. B.C. D.7．已知是定義在上的偶函數，那么的最大值是（）A.0 B.C. D.18．，，，則（）A. B.C. D.9．已知指數函數在上單調遞增，則的值為（）A.3 B.2C. D.10．函數的大致圖象是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數，則_________12．函數的定義域為_________________________13．若則函數的最小值為________14．已知且，函數的圖象恒經過定點，正數、滿足，則的最小值為____________.15．某種商品在第天的銷售價格（單位：元）為，第x天的銷售量（單位：件）為，則第14天該商品的銷售收入為________元，在這30天中，該商品日銷售收入的最大值為________元.16．已知一個圓錐的母線長為1，其高與母線的夾角為45°，則該圓錐的體積為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數，其中（1）若當時取到最小值，求a的取值范圍（2）設的最大值為，最小值為，求的函數解析式，并求的最小值18．已知向量，1若

，共線，求x的值；2若，求x的值；3當時，求與夾角的余弦值19．設集合，，（1），求；（2）若“”是“”的充分條件，求的取值范圍20．已知函數.（1）判斷函數的奇偶性，并證明；（2）設函數，若對任意的，總存在使得成立，求實數m的取值范圍.21．已知函數.（1）若，求的解集；（2）若為銳角，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據角的終邊所在象限，確定其正切值和余弦值的符號，即可得出結果.【詳解】角的終邊在第三象限，則，，點P在第四象限故選：D.2、D【解析】結合基本初等函數的單調性及奇偶性分別檢驗各選項即可判斷【詳解】對于函數，定義域為，且，所以函數為偶函數，不符合題意；對于在定義域上不單調，不符合題意；對于在定義域上不單調，不符合題意；對于，由冪函數的性質可知，函數在定義域上為單調遞增的奇函數，符合題意故選：D3、D【解析】設BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三點共線，則CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,故A、B、C成立；而，，即不成立，故選D.4、D【解析】利用輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡解析式：，并求出和，由條件和正弦函數的最值列出方程，求出的表達式，由誘導公式求出的值【詳解】解：函數（其中，又時取得最大值，，，即，，，故選：5、A【解析】根據基本初等函數的單調性與奇偶性的定義判斷可得；【詳解】解：對于A：定義域為，且，即為偶函數，且在上單調遞增，故A正確；對于B：定義域為，且，即為偶函數，在上單調遞減，故B錯誤；對于C：定義域為，定義域不關于原點對稱，故為非奇非偶函數，故C錯誤；對于D：定義域為，但是，故為非奇非偶函數，故D錯誤；故選：A6、A【解析】根據指數函數的性質一一判斷可得；【詳解】解：對于A：在定義域上單調遞減，所以，故A正確；對于B：在定義域上單調遞增，所以，故B錯誤；對于C：因為，，所以，故C錯誤；對于D：因為，，即，所以，故D錯誤；故選：A7、C【解析】∵f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上偶函數，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴，所以.故選C.8、B【解析】根據對數函數和指數函數的單調性即可得出，，的大小關系【詳解】，，，故選：9、B【解析】令系數為，解出的值，又函數在上單調遞增，可得答案【詳解】解得，又函數在上單調遞增，則，故選：B10、A【解析】利用奇偶性定義可知為偶函數，排除；由排除，從而得到結果.【詳解】為偶函數，圖象關于軸對稱，排除又，排除故選：【點睛】本題考查函數圖象的識別，對于此類問題通常采用排除法來進行排除，考慮的因素通常為：奇偶性、特殊值和單調性，屬于常考題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】運用代入法進行求解即可.【詳解】，故答案為：12、(-1,2).【解析】分析：由對數式真數大于0，分母中根式內部的代數式大于0聯立不等式組求解x的取值集合得答案詳解：由，解得﹣1＜x＜2∴函數f（x）=+ln（x+1）的定義域為（﹣1，2）故答案為（﹣1，2）點睛：常見基本初等函數定義域的基本要求(1)分式函數中分母不等于零(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.(4)y＝x0定義域是{x|x≠0}(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)13、1【解析】結合圖象可得答案.【詳解】如圖，函數在同一坐標系中，且，所以在時有最小值，即.故答案為：1.14、9【解析】由指數函數的性質可得函數的圖象恒經過定點，進而可得，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】解：因為函數的圖象恒經過定點，所以，又、為正數，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為9.故答案為：9.15、①.448②.600【解析】銷售價格與銷售量相乘即得收入，對分段函數，可分段求出最大值，然后比較．【詳解】由題意可得（元），即第14天該商品的銷售收入為448元.銷售收入，，即，.當時，，故當時，y取最大值，，當時，易知，故當時，該商品日銷售收入最大，最大值為600元.故答案為：448；600.【點睛】本題考查分段函數模型的應用．根據所給函數模型列出函數解析式是基本方法．16、##【解析】由題可得，然后利用圓錐的體積公式即得.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，高為h,由圓錐的母線長為1，其高與母線的夾角為45°，∴，∴該圓錐的體積為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），最小值為.【解析】（1）求得函數的導數，令，要使得函數在取到最小值，則函數必須先減后增，列出方程組，即可求解；（2）由（1）知，若時，得到函數在上單調遞減，得到；若時，令，求得，分，，三種情況討論，求得函數的解析式，利用一次函數、換元法和二次函數的性質，即可求解.【小問1詳解】解：由函數，可得，令，要使得函數在取到最小值，則函數必須先減后增，則滿足，解得，即實數取值范圍為.【小問2詳解】解：由（1）知，設，若時，即時，，即，函數在上單調遞減，所以，可得；若時，即時，令，即，解得或，①當時，即時，在恒成立，即，可得函數在上單調遞增，所以，可得；②當時，即時，在恒成立，即，可得函數在上單調遞減，所以，可得；③當時，即時，當時，，即，單調遞減；當時，，即，單調遞增，所以當時，函數取得最小值，即，又由，可得，（i）當時，，即，所以，此時；（ii）當時，，即，所以，此時，綜上可得，函數的解析式為，當時，；當時，；當時，令，則，可得，根據二次函數的性質，可得當時，函數取得最小值，最小值為；當時，令，則，可得，則，綜上可得，函數的最小值為.18、（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據題意，由向量平行的坐標公式可得，解可得的值，即可得答案；（2）若，則有，利用數量積的坐標運算列方程，解得的值即可；（3）根據題意，由的值可得的坐標，由向量的坐標計算公式可得和的值，結合，計算可得答案【詳解】根據題意，向量，，若，則有，解可得若，則有，又由向量，，則有，即，解可得.根據題意，若，則有，，【點睛】本題主要考查兩個向量共線、垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式的應用，屬于中檔題19、（1）（2）或【解析】（1）先求集合B的補集，再與集合A取交集；（2）把“”是“”的充分條件轉化為集合A與B之間的關系再求解的取值范圍【小問1詳解】時，，又故【小問2詳解】由題意知：“”是“”的充分條件，即當時，，，滿足題意；當時，，欲滿足則必須解之得綜上得的取值范圍為或20、（1）偶函數，證明見解析（2）【解析】（1）為偶函數，利用偶函數定義證明即可；（2）轉化為，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函數性質求