天津市北辰區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

天津市北辰區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.2．在空間直角坐標系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.3．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.4．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.255．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.6．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.97．已知數(shù)列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.648．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴廣交會的四個不同地方服務，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.9．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.3210．下列關(guān)于命題的說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點，則”的逆命題為真命題11．已知直線：恒過點，過點作直線與圓：相交于A，B兩點，則的最小值為（）A. B.2C.4 D.12．已知一組數(shù)據(jù)為：2，4，6，8，這4個數(shù)的方差為（）A.4 B.5C.6 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的距離是_________.14．在等差數(shù)列中，，那么等于______.15．已知兩平行直線與間的距離為3，則C的值是________.16．已知數(shù)列滿足0，，則數(shù)列的通項公式為____，則數(shù)列的前項和______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）甲、乙兩人獨立地對某一目標射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：（1）甲、乙恰好有一人擊中的概率；（2）目標被擊中的概率19．（12分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點.（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求的長.20．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點．當軸時，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍21．（12分）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點坐標為，且經(jīng)過點；（2）焦點在坐標軸上，經(jīng)過點.22．（10分）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題.2、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.【詳解】設平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A3、D【解析】求出導函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項中只有是的必要不充分條件.選項AC是的充分不必要條件，選項B是充要條件.故選：D4、A【解析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A5、A【解析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【詳解】因為得，因此，.故選：A.6、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【點睛】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.7、A【解析】根據(jù)題中條件，得出數(shù)列公差，進而可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量運算，屬于基礎題型.8、B【解析】先按要求分為四組，再四個不同地方，四個組進行全排列.【詳解】兩個組各2人，兩個組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個不同地方服務，則不同的分配方案有種.故選：B9、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C10、D【解析】根據(jù)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導數(shù)在函數(shù)中應用、全稱量詞與存在量詞等相關(guān)知識一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構(gòu)成關(guān)系,可知A正確；B,當a=2>1時,函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，當函數(shù)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)時，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點，例如:函數(shù),則=0，即x=0就不是極值點,所以“若為的極值點，則”的逆命題為假命題,故選D.【點睛】本題主要考查命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導數(shù)在函數(shù)中應用、全稱量詞與存在量詞等相關(guān)知識，需牢記并靈活運用相關(guān)知識.11、A【解析】根據(jù)將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點，圓心，半徑，已知點P在圓內(nèi)，過點作直線與圓相交于A，兩點，記圓心到直線的距離為d，則，所以當d取得最大值時，有最小值，結(jié)合圖形易知，當直線與線段垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，此時，所以.故選：A.12、B【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由平均數(shù)的計算公式，可得，所以這4個數(shù)的方差為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】確定，，利用點到平面的距離為，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，設與的夾角為，則所以點到平面的距離為故答案為：14、14【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，求得，再由，即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，解答，又由.故答案為：14.15、【解析】根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【詳解】兩平行直線與間的距離為3，所以，所以故答案為：16、①.②.【解析】第一空：先構(gòu)造等比數(shù)列求出，即可求出的通項公式；第二空：先求出，令，通過錯位相減求出的前項和為，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，則；第二空：，設，前項和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標以及平面的一個法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點，連接，，因為是邊長為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因為面面，面面，，面，所以平面，因為面，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設平面的一個法向量，由，可得，令，則，所以，因為，所以，因為面，所以平面.【小問2詳解】，，，設平面的一個法向量，由，令，，，所以，設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）；（2）.【解析】（1）分為甲擊中且乙沒有擊中，和乙擊中且甲沒有擊中兩種情況，進而根據(jù)獨立事件概率公式求得答案；（2）先考慮甲乙都沒有擊中，進而根據(jù)對立事件概率公式和獨立事件概率公式求得答案.【小問1詳解】設甲、乙分別擊中目標為事件，，易知，相互獨立且，，甲、乙恰好有一人擊中的概率為.【小問2詳解】目標被擊中的概率為.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因為曲線（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，得.，.所以.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率及通徑長求出橢圓方程；（2）分直線AB斜率存在和斜率不存在兩種情況得到的范圍，進而得到答案.【小問1詳解】當軸時，取代入橢圓方程得：，得，所以，又，解得，，所以橢圓方程為【小問2詳解】由，記，當軸時，由（1）知：，所以，當AB斜率為k時，直線AB為，，消去y得，所以，，所以，綜上，的范圍是.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用雙曲線定義求出雙曲線的實軸長即可計算作答.（2）設出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【小