數(shù)學(xué)建模 建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題：探究茶水溫度與時(shí)間的關(guān)系 教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

數(shù)學(xué)建模建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題：探究茶水溫度與時(shí)間的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教材分析本章節(jié)內(nèi)容選自人教A版（2019）必修第一冊，以“數(shù)學(xué)建?！睘橹黝}，通過探究茶水溫度與時(shí)間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題。這與教材中關(guān)于函數(shù)應(yīng)用的內(nèi)容緊密相連，讓學(xué)生在實(shí)際情境中理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)建模的方法。本節(jié)課將結(jié)合高一上學(xué)期的知識(shí)深度，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，對現(xiàn)實(shí)生活中的問題進(jìn)行定量分析，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下能力：通過實(shí)際問題引入，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象思維；在建立茶水溫度與時(shí)間關(guān)系函數(shù)模型的過程中，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，使其能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行合理的量化分析；同時(shí)，通過小組合作與討論，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)交流與合作能力，加深對數(shù)學(xué)概念和建模過程的理解，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：建立茶水溫度與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：如何從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解并應(yīng)用函數(shù)概念進(jìn)行建模。

解決辦法與突破策略：

1.引入階段，通過實(shí)際情境展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察茶水溫度變化，激發(fā)學(xué)生興趣，為抽象出數(shù)學(xué)模型打下基礎(chǔ)。

2.探究階段，組織學(xué)生分組討論，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)函數(shù)知識(shí)，嘗試描述茶水溫度與時(shí)間的關(guān)系，教師適時(shí)給予指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解建模過程。

3.指導(dǎo)階段，針對學(xué)生在建模過程中遇到的困難，教師進(jìn)行針對性講解，強(qiáng)調(diào)函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用，提供多種建模方法，以便學(xué)生理解和掌握。

4.實(shí)踐階段，讓學(xué)生獨(dú)立或合作完成建模任務(wù)，通過實(shí)際操作，加深對函數(shù)建模的理解，提高解決實(shí)際問題的能力。

5.總結(jié)階段，組織學(xué)生分享建模成果，互相交流學(xué)習(xí)心得，教師點(diǎn)評并強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)難點(diǎn)，鞏固所學(xué)知識(shí)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都備有人教A版（2019）必修第一冊數(shù)學(xué)教材，以便查閱相關(guān)函數(shù)建模內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備茶水溫度隨時(shí)間變化的相關(guān)圖片、圖表和視頻資料，以便在課堂上直觀展示，幫助學(xué)生理解抽象概念。

3.實(shí)驗(yàn)器材：提前準(zhǔn)備好溫度計(jì)、計(jì)時(shí)器等實(shí)驗(yàn)器材，以及實(shí)驗(yàn)用茶水和熱水壺，確保實(shí)驗(yàn)的順利進(jìn)行。

4.教室布置：將教室分為小組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)和展示區(qū)，為學(xué)生提供充分的活動(dòng)空間，便于開展合作學(xué)習(xí)和實(shí)驗(yàn)探究。教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校在線平臺(tái)，上傳關(guān)于函數(shù)建模預(yù)習(xí)的PPT和文檔，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：圍繞“茶水溫度與時(shí)間的關(guān)系”，設(shè)計(jì)問題，如“溫度如何隨時(shí)間變化？”、“你能想到哪些函數(shù)可以描述這種變化？”

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過平臺(tái)數(shù)據(jù)，跟蹤學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，及時(shí)給予反饋。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生閱讀教材和預(yù)習(xí)材料，初步理解函數(shù)建模的概念。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將筆記和問題通過平臺(tái)提交。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)，提高預(yù)習(xí)效率。

作用與目的：

-為課堂學(xué)習(xí)茶水溫度與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)建模打下基礎(chǔ)。

-培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和預(yù)習(xí)習(xí)慣。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過展示茶水冷卻的視頻，引出本節(jié)課的主題。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解如何從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型，結(jié)合茶水溫度變化的實(shí)例。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生共同建立茶水溫度與時(shí)間的函數(shù)模型。

-解答疑問：針對學(xué)生在建模過程中遇到的問題，提供指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽講并思考：學(xué)生專注聽講，對講解的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行思考。

-參與課堂活動(dòng)：在小組內(nèi)積極討論，共同完成茶水溫度函數(shù)模型的建立。

-提問與討論：針對不懂的問題，勇于提問并與同學(xué)討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過講解，使學(xué)生理解函數(shù)建模的理論知識(shí)。

-實(shí)踐活動(dòng)法：通過小組討論，加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)模型的理解和應(yīng)用。

-合作學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作和溝通能力。

作用與目的：

-加深對函數(shù)建模的理解，解決本節(jié)課的重難點(diǎn)。

-通過實(shí)踐活動(dòng)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：根據(jù)課堂內(nèi)容，布置相關(guān)的作業(yè)，如建立其他日常生活中的函數(shù)模型。

-提供拓展資源：推薦相關(guān)的數(shù)學(xué)建模書籍和在線資源，供有興趣的學(xué)生深入學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

-拓展學(xué)習(xí)：利用提供的資源，進(jìn)行更深入的探索。

-反思總結(jié)：對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：幫助學(xué)生形成自我評價(jià)和改進(jìn)的習(xí)慣。

作用與目的：

-鞏固課堂所學(xué)，提升學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

-通過反思，促進(jìn)學(xué)生的自我提升和終身學(xué)習(xí)的能力。拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-《數(shù)學(xué)建模與生活》一書中的相關(guān)章節(jié)，探討如何將數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于日常生活。

-《函數(shù)的應(yīng)用》一文，介紹函數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用實(shí)例，特別是環(huán)境科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。

-《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》一書中關(guān)于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容，幫助學(xué)生了解如何通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

-研究不同的溫度變化規(guī)律，如物體加熱或冷卻時(shí)溫度隨時(shí)間的變化，嘗試建立不同的函數(shù)模型。

-探索其他物理量的變化規(guī)律，如氣壓、體積等，并嘗試運(yùn)用函數(shù)建模的方法進(jìn)行分析。

-結(jié)合實(shí)際生活中的問題，如人口增長、資源消耗等，運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)建模知識(shí)進(jìn)行定量分析。

-調(diào)查研究身邊的現(xiàn)象，如城市交通流量、學(xué)校食堂用餐人數(shù)等，收集數(shù)據(jù)并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

知識(shí)點(diǎn)拓展：

-函數(shù)模型的選擇：介紹不同類型的函數(shù)模型（線性、指數(shù)、對數(shù)等），并探討它們在描述不同現(xiàn)象時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)。

-數(shù)據(jù)分析：講解如何處理實(shí)驗(yàn)或調(diào)查得到的數(shù)據(jù)，包括數(shù)據(jù)清洗、圖形繪制和統(tǒng)計(jì)分析等。

-模型的評估與優(yōu)化：討論如何評估數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，以及如何通過調(diào)整參數(shù)來優(yōu)化模型。

-實(shí)際應(yīng)用案例：分享數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中的成功案例，如天氣預(yù)報(bào)、股票市場預(yù)測等。典型例題講解例題1：

已知物體在冷卻過程中，其溫度T（單位：攝氏度）與時(shí)間t（單位：分鐘）之間的關(guān)系可以近似表示為T(t)=80-2t。求物體在冷卻10分鐘后，15分鐘后的溫度。

解答：

T(10)=80-2×10=60℃

T(15)=80-2×15=50℃

例題2：

某城市每天的用水量y（單位：萬噸）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系可以近似表示為y(t)=10+2t（0≤t≤24）。求該城市一天的用水總量。

解答：

y(24)=10+2×24=58萬噸

例題3：

一輛汽車以每小時(shí)20公里的速度行駛，其燃油消耗量x（單位：升/小時(shí)）與行駛時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系可以表示為x(t)=0.5t+2。求汽車行駛5小時(shí)后的燃油消耗量。

解答：

x(5)=0.5×5+2=4.5升

例題4：

某商品的價(jià)格p（單位：元）與銷售量q（單位：件）之間的關(guān)系可以近似表示為p(q)=100-0.5q。求該商品銷售量為200件時(shí)的價(jià)格。

解答：

p(200)=100-0.5×200=0元

例題5：

某學(xué)生進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，觀察某種植物的高度h（單位：厘米）與生長時(shí)間t（單位：天）之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其生長速度近似為每天2厘米。求植物生長10天后的高度。

解答：

h(10)=2×10=20厘米

補(bǔ)充和說明：

1.例題1展示了如何運(yùn)用線性函數(shù)模型描述物體冷卻過程中溫度隨時(shí)間的變化。

2.例題2通過線性函數(shù)模型，分析了城市用水量與時(shí)間的關(guān)系，并計(jì)算了一天的總用水量。

3.例題3利用線性函數(shù)模型描述了汽車行駛過程中燃油消耗量與行駛時(shí)間的關(guān)系。

4.例題4通過線性函數(shù)模型，展示了商品價(jià)格與銷售量之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

5.例題5以線性函數(shù)模型為例，說明了植物生長高度與生長時(shí)間的關(guān)系。

這些例題均與課本中所學(xué)的函數(shù)建模知識(shí)點(diǎn)相關(guān)，通過具體的實(shí)例，使學(xué)生更好地理解函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及如何求解相應(yīng)的函數(shù)模型。同時(shí)，這些題型覆蓋了不同領(lǐng)域的應(yīng)用，有助于學(xué)生拓展知識(shí)視野，提高解決實(shí)際問題的能力。作業(yè)布置與反饋-設(shè)計(jì)作業(yè)1：建立一個(gè)新的實(shí)際問題，要求學(xué)生使用函數(shù)建模的方法，描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系。要求學(xué)生提供問題背景、變量定義、函數(shù)模型以及相關(guān)的分析和解釋。

-設(shè)計(jì)作業(yè)2：選擇一個(gè)日常生活中的現(xiàn)象，如人口增長、產(chǎn)品銷售量等，收集相關(guān)數(shù)據(jù)，并嘗試建立數(shù)學(xué)模型來描述這一現(xiàn)象。要求學(xué)生展示數(shù)據(jù)收集過程、模型建立過程以及模型結(jié)果的分析。

-設(shè)計(jì)作業(yè)3：讓學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，總結(jié)函數(shù)建模的步驟和方法，并用自己的話解釋函數(shù)建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

2.作業(yè)反饋：

-及時(shí)批改作業(yè)：對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行及時(shí)的批改，給出分?jǐn)?shù)或評價(jià)。

-指出問題并提供改進(jìn)建議：在作業(yè)批改中，指出學(xué)生存在的問題，如模型選擇不當(dāng)、數(shù)據(jù)分析不準(zhǔn)確等，并提供具體的改進(jìn)建議。

-鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反思和改進(jìn)：鼓勵(lì)學(xué)生對作業(yè)中的問題進(jìn)行反思，并提出改進(jìn)的方法，以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步。

-提供反饋和指導(dǎo)：在作業(yè)批改后，與學(xué)生進(jìn)行一對一的交流，提供反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)建模的概念和方法。

-鼓勵(lì)學(xué)生間的交流和合作：鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上分享作業(yè)成果，并進(jìn)行交流和合作，以促進(jìn)共同學(xué)習(xí)和提高。板書設(shè)計(jì)①條理清楚、重點(diǎn)突出：

-知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)模型、溫度與時(shí)間關(guān)系、數(shù)學(xué)建模步驟。

-關(guān)鍵詞：線性函數(shù)、數(shù)據(jù)收集、模型建立、模型分析。

-重要句：茶水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型如何建立？

-步驟：1.確定變量關(guān)系；2.收集數(shù)據(jù)；3.建立函數(shù)模型；4.分析與驗(yàn)證。

②簡潔明了：

-公式：T(t)=80-2t（茶水溫度模型）。

-圖表：溫度-時(shí)間圖表，展示函數(shù)模型的圖像。

③藝術(shù)性和趣味性：

-使用不同顏色的粉筆，突出重點(diǎn)和關(guān)鍵信息。

-設(shè)計(jì)有趣的圖表或圖形，如茶杯形狀的圖表來展示溫度變化。

-創(chuàng)意排版，如在板書邊緣添加與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的趣味圖案或簡筆畫。

-引用生活實(shí)例，如在板書中加入學(xué)生熟悉的場景，如手機(jī)充電量的變化等，增加互動(dòng)性和趣味性。

板書設(shè)計(jì)旨在通過清晰的結(jié)構(gòu)、簡潔的表達(dá)和富有創(chuàng)意的藝術(shù)形式，幫助學(xué)生更好地理解和記憶函數(shù)建模的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。教學(xué)反思與改進(jìn)本節(jié)課結(jié)束后，我進(jìn)行了深入的反思，發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方。

首先，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在建立函數(shù)模型時(shí)，對函數(shù)概念的理解還不夠深入。他們能夠按照步驟建立模型，但在解釋模型的合理性時(shí)，往往缺乏理論依據(jù)。這提示我，在未來的教學(xué)中，需要加強(qiáng)對函數(shù)概念和性質(zhì)的講解，讓學(xué)生不僅會(huì)建模，還能理解模型的原理。

其次，課堂討論環(huán)節(jié)中，部分學(xué)生參與度不高，這可能是由于討論話題的設(shè)置不夠貼近學(xué)生的生活，或者討論難度過高。我計(jì)劃在今后的教學(xué)中，更加關(guān)注學(xué)生的興趣和生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)更加生動(dòng)有趣的討論話題，并適當(dāng)降低討論的難度，提高學(xué)生的參與度。

此外，我還注意到，部分學(xué)生在作業(yè)完成過程中，對數(shù)據(jù)的處理不夠準(zhǔn)確，這可能是由于他們對數(shù)據(jù)分析的方法掌握不夠。因此，我計(jì)劃在后續(xù)的教學(xué)中，增加數(shù)據(jù)分析方法