線性代數(shù) 課件 趙建紅 第4、5章 初等變換法、克拉默法則

第四章初等變換法第四章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣的初等變換初等變換法求解線性方程組4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

由于線性方程組與它的增廣矩陣有著對應(yīng)關(guān)系，為了解在求解線性方程組過程中增廣矩陣的變化，把消元過程中出現(xiàn)的線性方程組的增廣矩陣寫在該方程組的右邊．4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣?yán)酶咚瓜◤纳贤孪来螢椋?/p>

對應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行的變化為：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

把上述中“行”變?yōu)椤傲小奔吹镁仃嚨?種初等列變換（簡稱列變換）.矩陣的初等變換改變了原來的矩陣，所得的新矩陣與原矩陣一般不相等，不能用等號“=”連接,而使用箭線“→”或波浪線“~”連接，表明后一個矩陣是由前一個矩陣經(jīng)過初等變換而得.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

線性方程組與其增廣矩陣是一一對應(yīng)的，對線性方程組的增廣矩陣做初等行變換所得矩陣所對應(yīng)的方程組與原方程組同解．也就是說初等行變換不改變線性方程組的解．

注意：行變換可施行于任何矩陣，不僅僅是對于線性方程組的增廣矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行變換是可逆的：

同理，列變換也可逆.綜上，矩陣的變換都可逆，其逆變換為同類型的變換.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行階梯形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

這樣的矩陣，稱為階梯形矩陣.

將非零行的第一個非零元簡稱為首非零元.

于是行階梯形矩陣需要具備2個特點：（1）畫一條階梯線，線下全為0.或者下一行的首非零元在上一行首非零元右側(cè)；（2）每個臺階只能跨1行.或者零行在最下方.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？答：A不是階梯形矩陣，因為零行不在最下方；B也不是階梯形矩陣，因為有一個臺階跨了2行；C是階梯形矩陣，因為階梯線下全為0，且每個臺階只跨了1行，或者理解為零行在最下方，且下一行的首非零元總在上一行首非零元右側(cè)；D不是階梯形矩陣，第4行的首非零元不在第3行首非零元的右側(cè).4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行最簡形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

答：A不是行最簡形矩陣，首先它就不是階梯形矩陣；B也不是行最簡形矩陣，它是階梯形矩陣，首非零元所在列除它本身其余全為0，但并非全部首非零元都為1；C是行最簡形矩陣，首先它是階梯形矩陣，全部首非零元都為1，且首非零元所在列除它本身其余全為0.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣標(biāo)準(zhǔn)形

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡為階梯形、行最簡形.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡為階梯形、行最簡形.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

解：第一步，從左往右，關(guān)注第1個非零列，使得首非零元在該列頂端，通過交換變換或者倍加變換，使得頂端的首非零元為該列下方元素的約數(shù)；

第二步，用倍加行變換將第1個非零列首非零元下方的元素變成0.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第三步，從左往右，關(guān)注第2個非零列，使得首非零元在第1個非零列首非零元的右下方；通過交換變換或者倍加變換，使得第2個非零列的首非零元為該列下方元素的約數(shù)，用倍加行變換將首非零元下方的元素變成0.

第四步，從左往右，關(guān)注第3個非零列，用上述的三個步驟直到?jīng)]有非零行需要處理為止.

至此，得到階梯形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第五步，從右往左，關(guān)注第1個非零列，使得首非零元在該列末端，通過交換變換或者倍加變換，使得末端的首非零元為該列上方元素的約數(shù)；

第六步，從右往左，關(guān)注第2個非零列，使得首非零元在第1個非零列首非零元的左上方；通過交換變換或者倍加變換，使得第2個非零列的首非零元為該列上方元素的約數(shù)，用倍加行變換將首非零元上方的元素變成0.

第七步，從右往左，關(guān)注第3個非零列，用第五、第六的步驟把每個首非零元上方的各元素變成0.若某個首非零元不是1，用倍乘變換將它變成1.可以簡單記憶為：從左往右、從上往下，變換矩陣為階梯形；從右往左、從下往上，變換階梯形為行最簡形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣的秩指的是對應(yīng)線性方程組中有效方程的個數(shù).例4.1.5

求矩陣A的秩.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣?yán)?.1.5

求矩陣A的秩.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，1.矩陣等價回顧例4.1.1對線性方程組的求解，可知所有方程組均為等價方程組，方程組對應(yīng)的增廣矩陣也等價．即若兩個線性方程組的增廣矩陣等價，則它們同解．由此得矩陣等價的定義

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，２.初等矩陣定義4.4對單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，３初等變換與初等矩陣的關(guān)系通過例4.1.7來探討初等變換與初等矩陣的關(guān)系

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

左行右列.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，４初等矩陣的逆矩陣在4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形中，已經(jīng)知道初等變換可逆，其逆變換為同類型的變換，現(xiàn)在考慮初等矩陣是否可逆？如果可逆，其逆矩陣是什么？

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)過相應(yīng)的初等變換得到的，再經(jīng)過同類型的初等逆變換又變回到單位矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，矩陣等價、初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣等價、初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，歸納總結(jié)后，得到如下定理

定理4.3

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

思考題

思考題

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

回顧與小結(jié)1.行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣初等變換的概念；2.用初等變換求矩陣的秩；3.用初等變換求逆矩陣。4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

定義4.2.14.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

方程組所有可能的解的集合稱為方程組的通解，即方程組全部解的一般表達(dá)式就是方程組的通解.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

定義4.2.24.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組定義4.2.3

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)解：根據(jù)前文有關(guān)定義知，(1)(2)(3)是非齊次線性方程組，(4)(5)(6)是齊次線性方程組.方程組(1)無解，(2)(3)有唯一解，(4)只有零解（有唯一解），(5)(6)有無窮多解.且(2)(3)、(5)(6)分別為同解方程組也即等價方程組.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組初等變換法求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對應(yīng)的齊次線性方程組的解.（1）

（2）（3）4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對應(yīng)的齊次線性方程組的解.（1）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對應(yīng)的齊次線性方程組的解.

（2）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對應(yīng)的齊次線性方程組的解.

（3）

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.3求下列增廣矩陣對應(yīng)的非齊次線性方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組解：這3個增廣矩陣均為行最簡形矩陣，可直接寫出方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組（3）對應(yīng)的3方程組為

等價于

等價于

于是原方程組的解為

顯然，如果非齊次方程組出現(xiàn)了矛盾等式則必然無解，否則有解.同理，有解時，沒有自由未知數(shù)則有唯一解，有自由未知數(shù)則有無窮多解.容易發(fā)現(xiàn)，系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否一致決定了是否會出現(xiàn)矛盾等式，是否有自由未知數(shù)主要看系數(shù)矩陣（增廣矩陣）的秩與未知數(shù)的個數(shù)的關(guān)系.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.4解線性方程組.4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.5

解線性方程組4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.6求解非齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

回顧與小結(jié)1.齊次線性方程組、非齊次線性方程組、方程組的解的定義；2.初等變換法求解線性方程組的相關(guān)定理；3.初等變換法求解線性方程組的具體步驟；4.齊次線性方程組與非齊次線性方程組的解的性質(zhì)。第五章克拉默法則第五章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容n階行列式的概念、性質(zhì)與計算適定方程組的系數(shù)行列式克拉默法則每個線性方程組都唯一對應(yīng)于一個系數(shù)矩陣和增廣矩陣，并借矩陣可以求解一些線性方程組，對于適定方程組來說，有一種借助行列式得出線性方程組的公式解法——克拉默法則.行列式還可以判斷矩陣是否可逆等.接下來介紹適定方程組的系數(shù)行列式的概念.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

有沒有一種方法，它不需要以上這些消元的繁瑣過程，只需要給出方程組，就可以直接得到答案呢？５.１線性方程組的系數(shù)行列式1683年中國數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在他的著作《算法統(tǒng)宗》中提出了“垛積術(shù)”，用于計算行列式1693年德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在他的著作《論行列式》中也提出了行列式的概念.他們兩人獨立地發(fā)現(xiàn)了行列式，并將其用于求解線性方程組.1750年瑞士數(shù)學(xué)家加百列·克拉默（GabrielCramer）發(fā)現(xiàn)了克拉默法則，該法則利用行列式來求解線性方程組的解.克拉默法則的發(fā)現(xiàn)使得行列式在求解線性方程組方面具有重要意義。十九世紀(jì)以后行列式理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善５.１線性方程組的系數(shù)行列式解方程組構(gòu)造行列式證明行列式可解方程組構(gòu)造成功５.１線性方程組的系數(shù)行列式總的來說，行列式的定義思路要曲折一些，大致是：

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二元適定方程組的解具有以下特點：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式就是主對角線上的兩元素的乘積和次對角線上的兩元素的乘積之差.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述解的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)三元適定方程的解有以下特點：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

三階行列式運(yùn)算規(guī)則顯然，該解具有上述6個特點.５.１線性方程組的系數(shù)行列式三階行列式等于表中所有不同行，不同列元素的乘積的代數(shù)和.圖5-2三階行列式對角線法則沿主對角線方向各實線相連的三個數(shù)的積取正號，沿次對角線方向各虛線相連的三個數(shù)的積取負(fù)號.所得各項的代數(shù)和即為式（5-12）所示的三階行列式的值.三階行列式的值可以用圖5-2來記憶.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.2克拉默法則定理5.2.1（克拉默法則）

５.2克拉默法則５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

回顧與小結(jié)1.二階行列式與三階行列式的概念；2.二階行列式與三階行列式的計算方法；3.克拉默法則求解二元一次方程組和三元一次方程組的具體步驟。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算回顧二階、三階行列式的計算.

三階行列式運(yùn)算規(guī)則

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

若是排列后一個數(shù)比前一個數(shù)小，符號為負(fù).

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

即三個數(shù)字從左到右依次比較，都是小于時的排列在行列式中的項取正號；有兩個大于一個小于時的排列在行列式中的項取正號；５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算若排列為

即三個數(shù)字從左到右依次比較，都是大于時排列在行列式的項中取負(fù)號；兩個小于一個大于時的排列再行列式中的項取負(fù)號.若記小于號表示一個順序排列，大于號表示一個逆序排列，則有結(jié)論：二階、三階行列式的項中，若固定行標(biāo)為順序排列時，列標(biāo)是順序排列的項取正號；列標(biāo)有一個或三個逆序排列的項取負(fù)號；列標(biāo)有兩個逆序排列的項取正號.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算5.3.1排列定義5.1如123456和453261是兩個6級排列，但是123425不是排列.

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算從左到右每個位置選數(shù)的方法見表5-1：表5-1n級排列從左到右每個位置選數(shù)的方法位置12…選法…1

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

從左到右每個位置選數(shù)的方法見表5-2：表5-25級排列從左到右每個位置選數(shù)的方法位置12345選法54321５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

定義5.2如排列312中，第一個位置是3，第二個位置是1，第一個位置的數(shù)比第二個位置的數(shù)大，這就構(gòu)成了一個逆序;第三個位置的數(shù)為2，第一個位置的數(shù)比第三個位置的數(shù)大，這也構(gòu)成了一個逆序.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

定義5.3根據(jù)定義，求一個排列的逆序數(shù)的步驟：依次計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼的個數(shù)并求和,即算出排列中每個元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算于是排列的逆序數(shù)為t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.217986354↓↓↓↓↓↓↓↓↓010013445例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。解：

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計算

在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換.將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換