北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

...wd......wd......wd...2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一、選擇題.〔每題5分〕1．〔5分〕假設(shè)集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，則A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}2．〔5分〕假設(shè)復(fù)數(shù)〔1﹣i〕〔a+i〕在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A．〔﹣∞，1〕 B．〔﹣∞，﹣1〕 C．〔1，+∞〕 D．〔﹣1，+∞〕3．〔5分〕執(zhí)行如以以下圖的程序框圖，輸出的S值為〔〕A．2 B． C． D．4．〔5分〕假設(shè)x，y滿足，則x+2y的最大值為〔〕A．1 B．3 C．5 D．95．〔5分〕函數(shù)f〔x〕=3x﹣〔〕x，則f〔x〕〔〕A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)6．〔5分〕設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得=λ〞是?＜0〞的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．〔5分〕某四棱錐的三視圖如以以下圖，則該四棱錐的最長棱的長度為〔〕A．3 B．2 C．2 D．28．〔5分〕根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則以下各數(shù)中與最接近的是〔〕〔參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空題〔每題5分〕9．〔5分〕假設(shè)雙曲線x2﹣=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=．10．〔5分〕假設(shè)等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，則=．11．〔5分〕在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔1，0〕，則|AP|的最小值為．12．〔5分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，假設(shè)sinα=，則cos〔α﹣β〕=．13．〔5分〕能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．假設(shè)a＞b＞c，則a+b＞c〞是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為．14．〔5分〕三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如以以下圖，其中Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3．〔1〕記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是．〔2〕記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是．三、解答題15．〔13分〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假設(shè)a=7，求△ABC的面積．16．〔14分〕如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求證：M為PB的中點(diǎn)；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大??；〔3〕求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．17．〔13分〕為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成如圖，其中“*〞表示服藥者，“+〞表示未服藥者．〔1〕從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；〔2〕從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E〔ξ〕；〔3〕試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大?。仓恍鑼懗鼋Y(jié)論〕18．〔14分〕拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P〔1，1〕．過點(diǎn)〔0，〕作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．〔1〕求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；〔2〕求證：A為線段BM的中點(diǎn)．19．〔13分〕函數(shù)f〔x〕=excosx﹣x．〔1〕求曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔0，f〔0〕〕處的切線方程；〔2〕求函數(shù)f〔x〕在區(qū)間[0，]上的最大值和最小值．20．〔13分〕設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．〔1〕假設(shè)an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；〔2〕證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時(shí)，＞M；或者存在正整數(shù)m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差數(shù)列．2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題.〔每題5分〕1．〔5分〕假設(shè)集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，則A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}【分析】根據(jù)中集合A和B，結(jié)合集合交集的定義，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}應(yīng)選：A【點(diǎn)評】此題考察的知識(shí)點(diǎn)集合的交集運(yùn)算，難度不大，屬于根基題．2．〔5分〕假設(shè)復(fù)數(shù)〔1﹣i〕〔a+i〕在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A．〔﹣∞，1〕 B．〔﹣∞，﹣1〕 C．〔1，+∞〕 D．〔﹣1，+∞〕【分析】復(fù)數(shù)〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，可得，解得a范圍．【解答】解：復(fù)數(shù)〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，解得a＜﹣1．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔﹣∞，﹣1〕．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評】此題考察了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考察了推理能力與計(jì)算能力，屬于根基題．3．〔5分〕〔2015春?西城區(qū)期末〕執(zhí)行如以以下圖的程序框圖，輸出的S值為〔〕A．2 B． C． D．【分析】由中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)構(gòu)造計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)k=0時(shí)，滿足進(jìn)展循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=1，S=2，當(dāng)k=1時(shí)，滿足進(jìn)展循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=2，S=，當(dāng)k=2時(shí)，滿足進(jìn)展循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=3，S=，當(dāng)k=3時(shí)，不滿足進(jìn)展循環(huán)的條件，故輸出結(jié)果為：，應(yīng)選：C．【點(diǎn)評】此題考察的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答．4．〔5分〕假設(shè)x，y滿足，則x+2y的最大值為〔〕A．1 B．3 C．5 D．9【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可．【解答】解：x，y滿足的可行域如圖：由可行域可知目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過可行域的A時(shí)，取得最大值，由，可得A〔3，3〕，目標(biāo)函數(shù)的最大值為：3+2×3=9．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評】此題考察線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，畫出可行域判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵．5．〔5分〕函數(shù)f〔x〕=3x﹣〔〕x，則f〔x〕〔〕A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【分析】由得f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，即函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)，由函數(shù)y=3x為增函數(shù)，y=〔〕x為減函數(shù)，結(jié)合“增〞﹣“減〞=“增〞可得答案．【解答】解：f〔x〕=3x﹣〔〕x=3x﹣3﹣x，∴f〔﹣x〕=3﹣x﹣3x=﹣f〔x〕，即函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)，又由函數(shù)y=3x為增函數(shù)，y=〔〕x為減函數(shù)，故函數(shù)f〔x〕=3x﹣〔〕x為增函數(shù)，應(yīng)選：A．【點(diǎn)評】此題考察的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于根基題．6．〔5分〕設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得=λ〞是?＜0〞的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】，為非零向量，存在負(fù)數(shù)λ，使得=λ，則向量，共線且方向相反，可得?＜0．反之不成立，非零向量，的夾角為鈍角，滿足?＜0，而=λ不成立．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：，為非零向量，存在負(fù)數(shù)λ，使得=λ，則向量，共線且方向相反，可得?＜0．反之不成立，非零向量，的夾角為鈍角，滿足?＜0，而=λ不成立．∴，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得=λ〞是?＜0〞的充分不必要條件．應(yīng)選：A．【點(diǎn)評】此題考察了向量共線定理、向量夾角公式、簡易邏輯的判定方法，考察了推理能力與計(jì)算能力，屬于根基題．7．〔5分〕某四棱錐的三視圖如以以下圖，則該四棱錐的最長棱的長度為〔〕A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根據(jù)三視圖可得物體的直觀圖，結(jié)合圖形可得最長的棱為PA，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：由三視圖可得直觀圖，再四棱錐P﹣ABCD中，最長的棱為PA，即PA===2，應(yīng)選：B．【點(diǎn)評】此題考察了三視圖的問題，關(guān)鍵畫出物體的直觀圖，屬于根基題．8．〔5分〕根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則以下各數(shù)中與最接近的是〔〕〔參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M將M也化為10為底的指數(shù)形式，進(jìn)而可得結(jié)果．【解答】解：由題意：M≈3361，N≈1080，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈〔100.48〕361≈10173，∴≈=1093，故此題選：D．【點(diǎn)評】此題解題關(guān)鍵是將一個(gè)給定正數(shù)T寫成指數(shù)形式：T=，考察指數(shù)形式與對數(shù)形式的互化，屬于簡單題．二、填空題〔每題5分〕9．〔5分〕假設(shè)雙曲線x2﹣=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=2．【分析】利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解m即可．【解答】解：雙曲線x2﹣=1〔m＞0〕的離心率為，可得：，解得m=2．故答案為：2．【點(diǎn)評】此題考察雙曲線的簡單性質(zhì)，考察計(jì)算能力．10．〔5分〕假設(shè)等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，則=1．【分析】利用等差數(shù)列求出公差，等比數(shù)列求出公比，然后求解第二項(xiàng)，即可得到結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案為：1．【點(diǎn)評】此題考察等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考察計(jì)算能力．11．〔5分〕在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔1，0〕，則|AP|的最小值為1．【分析】先將圓的極坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求出圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離的最小值．【解答】解：設(shè)圓ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0為圓C，將圓C的極坐標(biāo)方程化為：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=1；如圖，當(dāng)A在CP與⊙C的交點(diǎn)Q處時(shí)，|AP|最小為：|AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1，故答案為：1．【點(diǎn)評】此題主要考察曲線的極坐標(biāo)方程和圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值，難度不大．12．〔5分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，假設(shè)sinα=，則cos〔α﹣β〕=﹣．【分析】方法一：根據(jù)教的對稱得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及兩角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，當(dāng)α在第一象限時(shí)，cosα=，∵α，β角的終邊關(guān)于y軸對稱，∴β在第二象限時(shí)，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，當(dāng)α在第二象限時(shí)，cosα=﹣，∵α，β角的終邊關(guān)于y軸對稱，∴β在第一象限時(shí)，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣綜上所述cos〔α﹣β〕=﹣，故答案為：﹣【點(diǎn)評】此題考察了兩角差的余弦公式，以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系，需要分類討論，屬于根基題13．〔5分〕能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．假設(shè)a＞b＞c，則a+b＞c〞是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為﹣1，﹣2，﹣3．【分析】設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．假設(shè)a＞b＞c，則a+b＞c〞是假命題，則假設(shè)a＞b＞c，則a+b≤c〞是真命題，舉例即可，此題答案不唯一【解答】解：設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．假設(shè)a＞b＞c，則a+b＞c〞是假命題，則假設(shè)a＞b＞c，則a+b≤c〞是真命題，可設(shè)a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，〔答案不唯一〕，故答案為：﹣1，﹣2，﹣3【點(diǎn)評】此題考察了命題的真假，舉例說明即可，屬于根基題．14．〔5分〕〔2017?北京〕三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如以以下圖，其中Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3．〔1〕記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．〔2〕記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】〔1〕假設(shè)Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Qi=Ai的綜坐標(biāo)+Bi的綜坐標(biāo)；進(jìn)而得到答案．〔2〕假設(shè)pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則pi為AiBi中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率；進(jìn)而得到答案．【解答】解：〔1〕假設(shè)Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，Q1=A1的綜坐標(biāo)+B1的綜坐標(biāo)；Q2=A2的綜坐標(biāo)+B2的綜坐標(biāo)，Q3=A3的綜坐標(biāo)+B3的綜坐標(biāo)，由中圖象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，〔2〕假設(shè)pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則pi為AiBi中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案為：Q1，p2【點(diǎn)評】此題考察的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，分析出Qi和pi的幾何意義，是解答的關(guān)鍵．三、解答題15．〔13分〕〔2017?北京〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假設(shè)a=7，求△ABC的面積．【分析】〔1〕根據(jù)正弦定理即可求出答案，〔2〕根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出cosC，再根據(jù)兩角和正弦公式求出sinB，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【解答】解：〔1〕∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，〔2〕a=7，則c=3，∴C＜A，由〔1〕可得cosC=，∴sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6．【點(diǎn)評】此題考察了正弦定理和兩角和正弦公式和三角形的面積公式，屬于根基題16．〔14分〕如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求證：M為PB的中點(diǎn)；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大?。弧?〕求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【分析】〔1〕設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連接OM，利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn)；〔2〕取AD中點(diǎn)G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，再證明OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求出的坐標(biāo)，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕證明：如圖，設(shè)AC∩BD=O，∵ABCD為正方形，∴O為BD的中點(diǎn)，連接OM，∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，則，即M為PB的中點(diǎn)；〔2〕解：取AD中點(diǎn)G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，由G是AD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，可得OG∥DC，則OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，〕，，．設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則由，得，取z=，得．取平面PAD的一個(gè)法向量為．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°；〔3〕解：，平面PAD的一個(gè)法向量為．∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos＜＞|=||=||=．【點(diǎn)評】此題考察線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中檔題．17．〔13分〕為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成如圖，其中“*〞表示服藥者，“+〞表示未服藥者．〔1〕從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；〔2〕從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E〔ξ〕；〔3〕試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小．〔只需寫出結(jié)論〕【分析】〔1〕由圖求出在50名服藥患者中，有15名患者指標(biāo)y的值小于60，由此能求出從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)小于60的概率．〔2〕由圖知：A、C兩人指標(biāo)x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，可知在四人中隨機(jī)選項(xiàng)出的2人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E〔ξ〕．〔3〕由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大．【解答】解：〔1〕由圖知：在50名服藥患者中，有15名患者指標(biāo)y的值小于60，則從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)小于60的概率為：p==．〔2〕由圖知：A、C兩人指標(biāo)x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，可知在四人中隨機(jī)選項(xiàng)出的2人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，P〔ξ=0〕=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，∴ξ的分布列如下：ξ012PE〔ξ〕==1．〔3〕由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大．【點(diǎn)評】此題考察概率的求法，考察離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等根基知識(shí)，考察推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考察數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．18．〔14分〕拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P〔1，1〕．過點(diǎn)〔0，〕作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．〔1〕求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；〔2〕求證：A為線段BM的中點(diǎn)．【分析】〔1〕根據(jù)拋物線過點(diǎn)P〔1，1〕．代值求出p，即可求出拋物線C的方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；〔2〕設(shè)過點(diǎn)〔0，〕的直線方程為y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，根據(jù)韋達(dá)定理得到x1+x2=，x1x2=，根據(jù)中點(diǎn)的定義即可證明．【解答】解：〔1〕∵y2=2px過點(diǎn)P〔1，1〕，∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔，0〕，準(zhǔn)線為x=﹣，〔2〕證明：設(shè)過點(diǎn)〔0，〕的直線方程為y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，∴直線OP為y=x，直線ON為：y=x，由題意知A〔x1，x1〕，B〔x1，〕，由，可得k2x2+〔k﹣1〕x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+〔1﹣k〕?2x1=2x1，∴A為線段BM的中點(diǎn)．【點(diǎn)評】此題考察了拋物線的簡單性質(zhì)，以及直線和拋物線的關(guān)系，靈活利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)的定義，屬于中檔題．19．〔13分〕函數(shù)f〔x〕=excosx﹣x．〔1〕求曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔0，f〔0〕〕處的切線方程；〔2〕求函數(shù)f〔x〕在區(qū)間[0，]上的最大值和最小值．【分析】〔1〕求出f〔x〕的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求方程；〔2〕求出f〔x〕的導(dǎo)數(shù)，再令g〔x〕=f′〔x〕，求出g〔x〕的導(dǎo)數(shù)，可得g〔x〕在區(qū)間[0，]的單調(diào)性，即可得到f〔x〕的單調(diào)性，進(jìn)而得到f〔x〕的最值．【解答】解：〔1〕函數(shù)f〔x〕=excosx﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′〔x〕=ex〔cosx﹣sinx〕﹣1，可得曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔0，f〔0〕〕處的切線斜率為k=e0〔cos0﹣sin0〕﹣1=0，切點(diǎn)為〔0，e0cos0﹣0〕，即為〔0，1〕，曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔0，f〔0〕〕處的切線方程為y=1；〔2〕函數(shù)f〔x〕=excosx﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′〔x〕=ex〔cosx﹣sinx〕﹣1，令g〔x〕=ex〔cosx﹣sinx〕﹣1，則g〔x〕的導(dǎo)數(shù)為g′〔x〕=ex〔cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx〕=﹣2ex?sinx，當(dāng)x∈[0，]，可得g′〔x〕=﹣2ex?sinx≤0，即有g(shù)〔x〕在[0，]遞減，可得g〔x〕≤g〔0〕=0，則f〔x〕在[0，]遞減，即有函數(shù)f〔x〕在區(qū)間[0，]上的最大值為f〔0〕=e0cos0﹣0=1；最小值為f〔〕=ecos﹣=﹣．【點(diǎn)評】此題考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考察化簡整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)和運(yùn)用二次求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．20．〔13分〕設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．〔1〕假設(shè)an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；〔2〕證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時(shí)，＞M；或者存在正整數(shù)m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差數(shù)列．【分析】〔1〕分別求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由〔bk﹣nak〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，則b1﹣na1≥bk﹣nak，則cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1對?n∈N*均成立；〔2〕由bi﹣ain=[b1+〔i﹣1〕d1]﹣[a1+〔i﹣1〕d2]×n=〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕〔d2﹣d1×n〕，分類討論d1=0，d1＞0，d1＜0三種情況進(jìn)展討論根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，…是等差數(shù)列；設(shè)=An+B+對任意正整數(shù)M，存在正整數(shù)m，使得n≥m，＞M，分類討論，采用放縮法即可求得因此對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m時(shí)，＞M．【解答】解：〔1〕a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，當(dāng)n=1時(shí)，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，當(dāng)n=2時(shí)，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，當(dāng)n=3時(shí)，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面證明：對?n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1，當(dāng)n∈N*，且2≤k≤n時(shí)，則〔bk﹣nak〕﹣〔b1﹣na1〕，=[〔2k﹣1〕﹣nk]﹣1+n，=〔2k﹣2〕﹣n〔k﹣1〕，=〔k﹣1〕〔2﹣n〕，由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，則〔bk﹣nak〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，則b1﹣na1≥bk﹣nak，因此，對?n∈N*，且n≥2，c