截長補短模型（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點復(fù)習(xí)講義

O

群)模型介紹

有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或"差”及其比例關(guān)系.這一類題

目一般可以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解.所謂“截長”，就是將三者中最長的那條

線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段

的大小關(guān)系.所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度

相等.然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系.有的是采取截長補短后，使之構(gòu)成

某種特定的三角形進行求解.

①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段.

如圖所示，在BF上截取BM=DF,易證△BMCgZ\DFC(SAS).

②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破.

如圖所示，延長GC至N,使CN=DF,易證△C.DFgABCN(SAS).

o

疆例題精講

考點一：截長型

【例1】.如圖，△45C中，ZBAC=nO°,4。_L5c于。，且4B+BD=DC,則NC等于

解：在QC上截取。8=05,連接4￡.

設(shè)N5C4=a,

■:AB+BD=DC,DE=DB,

：.CE=AB.

'：ADLBC,DB=DE,

：.直線AD是BE的垂直平分線，

：?AB=AE,

：.CE=AE,

：./BC4=/CAE.

?；AB=AE,

；?NCBA=/AEB.

??,ZAEB是△C4E的一個外角，

???ZAEB=NBCA+/CAE,

；?/CBA=NAEB=2a,

：.ZCBA+ZBCA=3a=lS0°-120°=60°,

???a=20°,

/.ZBCA=20°.

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，△45C中，AC=BC,AD平分NBAC,^AC+CD=AB,求NC的度數(shù).

3

解：在48上截取4C=ZE,設(shè)NB=x°,

'：AC=BC,

NBAC=NB=x°

,：AD平分/A4C,

ZEAD=ZCAD,

在LEAD和中

fAE=AC

ZEAD=ZCAD,

IAD=AD

LEAD2LCAD,

：.ZC=ZAED,CD=DE,

"：AC+CD=AB,AB-BE+AE,AE=AC,

:.BE=DE=DC,

：.ZB=ZBDE=x°,

：.ZC=NAED=ZB+ZBDE=2x°,

在△42C中，x+x+2x=180°,

...x=45,

即NC=2x°=90°.

B

【變式1-2].如圖，四邊形NBC。中，4C平分N84D,CEL48于點E,且48+NZ)=180。,

若8E=3,CE=4,S/CE=14,則S/CD=

解：在4E上截取連接CM,,?ZC平分AZ1=Z2,

AC=AC

在△/MC和中，|N1=N2,：./\AMC^/\ADC(SAS),AZ3=Z￡>,

AD=AM

VZ^+ZD=180°,Z4+Z3=180°,Z4=Z5,

CELAB,：./CEM=/CEB=90°，

/4=NB

在△EMC和ziEBC中，<NCEM=NCEB,：.AEMC^/\EBC(AAS),:?ME=EB=3,

CE=CE

2x14

?：CE=4,S』CE=14,AE=-------=7,:.AM=AE-EM=7-3=4,

4

=

^AAMCxC￡=-x4x4=8,S^ADC=SAAMC=8.故答案為：8.

【變式1-3].已知在△4BC中，NB=2NC,NA4C的平分線40交2C邊于點D求證:

AC=AB+BD.

證明：在NC上截取連接DE.

ZBAC的平分線AD交BC邊于點D,

，/BAD=NDAC,

，AB=AE

在△48。與中，,NBADn/DAC,

AD=AD

?,.△ABDmAAED(SAS),

：.BD=DE,NB=NAED,

VZ5=2ZC,/AED=NC+/EDC,

：./AED=2/C,

：.ZC=/EDC,

：.CE=DE,

:?CE=BD,

：?AC=AE+EC=AB+BD.

考點二：補短型

【例2].已知：如圖，在△45C中，AB=AC,。是△45C外一點，且N/5Q=60°,Z

ACD=60°

證明：延長助到R使BF=B4連接4RCF,

445。=60度，

???△45月為等邊三角形，

：.AF=AB=AC=BF,ZAFB=60°,

JZACF=/AFC,

又???N4CQ=60°,

JZAFB=ZACD=60°

：.ZDFC=ZDCFf

：.DC=DF.

：.BD+DC=BD+DF=BF=AB,

即BD+DC=AB.

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，四邊形/BCD中，AB〃DC,點E為AD上一點,連接BE,CE,且5E、

CE分別平分/ASC、ABCD.求證：BC=AB+DC.

F

證明：延長BE交CD的延長線于點凡

:BE平分NABC,

：.ZABE=ZCBE,

'JAB//CD,

：.NF=NABE,NA=/FDA,

：.NF=NCBE,

：.CF=BC,

■:CE平分/BCD,

：.BE=EF(三線合一)，

在△48E和△。尸E中,

，ZF=ZABE

<EB=EF,

,ZAEB=ZDEF

:./\ABE咨AFDE(ASA),

：.FD=AB,

"：CF=DF+CD,

：.CF=AB+CD,；.BC=AB+CD.

【變式2-2].【問題背景】

如圖1：在四邊形48C。中，AB=AD,NBAD=12Q°,E、尸分別是3C、CD上的點，

且/E4尸=60。，小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長ED到點G,使。G=8E,連接/G,

再證明AAEF=AAGF,可得出結(jié)論.

【探索延伸】如圖2,若在四邊形中，A8=AD,￡、尸分別是8C,CD上的點1/84D,

上述結(jié)論是否仍然成立

【學(xué)以致用】

如圖3,四邊形/BCD是邊長為5的正方形，NEBF=45°,求△。斯的周長.

解：（1）【問題背景】如圖1

DG=BE

在和JOG中，VZB=ZADG,ABE二4ADG（SAS）,

AB=AD

AAE=AG,ZBAE=ZDAG,

?.?ZEAF=-/BAD,ZGAF=ZDAG+/DAF=/BAE+/DAF=/BAD-ZEAF=/EAF,

8

：.ZEAF=ZGAF,

在△4￡廠和434月中，

AE=AG

?.?{ZEAF=ZGAF,AAEF=AAGF（"S）,EF=FG,

AF=AF

FG=DG+DF=BE+DF,:,EF=BE+DF；故答案為：EF=BE+DF.

（2）【探索延伸】解：結(jié)論E尸=BE+QF仍然成立;

理由：如圖2,延長ED到點G.連接/G,

DG=BE

在和△/OG中，,.?</B=/ADG,AABEAADG（SAS）,:.AE=AG,

AB=AD

ZBAE=ZDAG,

?.?ZEAF=-/BAD，,ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ABAD-ZEAF=ZEAF,

3

JZEAF=ZGAF,

AE=AG

在跖和4G/尸中，VZEAF=ZGAF,AAAEF=AAGF（SAS）f：.EF=FG,

AF=AF

?；FG=DG+DF=BE+DF,：.EF=BE+DF；

（3）【學(xué)以致用】解：如圖3,延長。。到點G,連接BG,在△4仍與aCGB中，

AE=CG

?.?</A=/BCG,AAAEB=/\CGB（SAS）,/.BE=BG,ZABE=ZCBG.

AB=BC

VZEBF=45°,ZABC=90°,AZABE+ZCBF=45°,：.ZCBF+ZCBG=45°,

BE=BG

在AEBF與AGBF中,?.?1/EBF=/GBF,:?AEBF=△GBF（SAS）,：.EF=GF,

BF=BF

J△。所的周長二斯+￡。+。尸=Z￡+CF+Q￡+QF=40+5=5+5=10.

1.如圖，在△NBC中，3。平分//BC,/C=2/CDB,4B=12,CD=3,則A48C的周長

為（）

A.21B.24C.27D.30

D

B

解：如圖，在48上截取5E=5C,連接。

BD平分NABC,：.ZABD=ZCBD,

在△C3Z)和△￡8。中，

CB=BE

<ZCBD=ZDBE,:?△CBDmAEBDQSAS),:?/CDB=/BDE,/C=/DEB,

BD=BD

?:/C=2/CDB,:?/CDE=/DEB,

：.ZADE=ZAED,:?AD=AE,

：.AABC^]^^z=AD+AE+BE+BC+CD=AB+AB+CD=2fl,故選C.

2.如圖，ADLBC,AB+BD=DC,N5=54°,則NC=27°.

解：在DC上截取連接4￡,

U：ADLBC,DE=BD,

???4。是BE的垂直平分線,

：.AB=AE,

：.ZB=ZAEB=54°,

\9AB+BD=DC,DE+EC=DC,

：.AB=EC,

：.AE=EC,

AZC=NEAC,

,；NC+NEAC=N4EB=54°，

:.NC=NEAC=±/AEB=27。,故答案為：27°.

2

3.已知：如圖，在△45C中，AC=BC,ZC=100°,4D平分NCAB.

求證：AD+CD=AB.

C

證明：如圖，在上截取NE=/C,延長/。到尸使N尸=/3,連接BF.

又=是公共邊BE,

在△/￡)(7和△/￡)￡中，

'AC=AE

<Z1=Z2,

,AD=AD

：./\ADC^/\ADE,

：.ZAED^ZC^1Q0a,則得N￡)E3=80°

:CA=CB,平分/H4C,

.?.Zl=Z2=20°,Z3=40°

;AF=AB,Z2=20°,

ZF=ZABF=1/2(180°-Z2)=80°則//=/￡>班

.\Z4=80o-Z3=40°,

；./3=/4,NF=NDEC,

在△BD尸和△BOE中，

'N3=N4

<ZDEB=ZF,

3D=BD

/\DBE^/\DBF(AAS)

：.DF=DE=CD

：.AB=AF=AD+DF=AD+DC.

c

4.如圖，△NBC中，NA4c=60°，點。、E分別在48、AC±,NBCD=/CBE=3Q°,

BE、CD相交于點O,。6_1夙7于點6,求證：OE+OD=2OG.

證明：延長OE至點M,使。M=OC,連接CM,

VZBCD=ZCBE=30a,

：.OB=OC,ZMOC=300+30°=60°,

'：OM^OC,

...△OMC為等邊三角形，

:.CM=OC=OB,ZM=6Q°,

：./DBO=/MCE,

在△50D和中，

'NDBONMCE

<B0=CM,

LZDOB=ZM

/.△BOD^^MCE,

：.DO=EM,

：.OE+OD=OM=OB,

在RtZ\O8G中，/OBG=3U°,OGLBC,

：.WG^0B,

：.OE+OD^2OG.

5.如圖，在△/BC中，NB4c=60°,N/C2=40°,P、。分別在BC、C4上，并且NP、

3。分另I」是/A4C、//BC的角平分線.求證：

（1）BQ=CQ；

(2)BQ+AQ=AB+BP.

證明：(1)是N/2C的角平分線，

：.ZQBC=^ZABC.

,：ZABC+ZACB+ZBAC=ISO°,且/8/C=60°,ZACB=40°,

：.ZABC^SQ°,

：.ZQBC=^X30°=40°,

：.ZQBC=ZC,

:.BQ=CQ；

(2)延長N5至M,使得連接

NM=ZBPM,

:△/BC中/8/C=60°,NC=40°,

.?./48C=80°,

平分//8C,

：.ZQBC=40°=ZC,

:.BQ=CQ,

??NABC=ZM+ZBPM,

：.ZM=ZBPM=40°=ZC,

尸平分/A4C,

ZMAP=ZCAP,

在和中，

fZM=ZC

V<ZMAP=ZCAP

,AP=AP

：./\AMP^/\ACP,

C.AM^AC,

,:AM=AB+BM=AB+BP,AC=AQ+QC=AQ+BQ,

：.AB+BP=AQ+BQ.

A

6.如圖，△43C兩條角平分線AD,CE相交于點O,//=60°,求證：CD+BE=BC.

證明：在上找到/使得3歹=3￡,

：//=60°,BD、CE'是△4BC的角平分線，

--CZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA)=120°,

22

ZBOE=ZCOD=60°,

在△8O￡1和△8。9中，

'BE=BF

■Z1=Z2,

.BO=BO

:ABOE冬△BOF,CSAS)

：.ABOF=ZBOE=60a,

ZCOF=ZBOC-/BOF=60°,

在△OCF和△OCD中，

zZC0F=ZC0D

<oc=oc,

,Z4=Z3

:.△OCF/AOCD(ASA),：.CF=CD,

\'BC=BF+CF,：.BC=BE+CD.

7.如圖，梯形NBC。中，AB//CD,/4BC和/BCD的平分線的交點E在/。上.

求證：

(1)點￡是/。的中點；

(2)BC=AB+CD.

證明：延長CE交氏4的延長線于點足

和3E分別是/43C和/BCD的平分線，即=ZEBC^^ZCBA,

22

又■:AB〃CD,

：.ZDCB+ZCBA^ISO°,

；.NECB+/EBC=90°,

AZCi'S=90",BPBELEC,

,CAB//CD

ZDCE=ZF,

又,:NDCE=/ECB,

：.NF=Z.ECB

：.BF=BC,EC=EF.

在△￡)(?￡和歹E中，

，ZDCE=ZF

-EC=EF，

,ZDEC=ZAEF

：./\DCE^/\AFE,

：.DE=AE,即￡是4D的中點，DC=AF,

：.BC=BF=AB+CD.

8.已知，如圖，8。是△/BC的角平分線，AB=AC,

(1)若BC=AB+AD,請你猜想N4的度數(shù)，并證明;

(2)若BC=BA+CD,求N4的度數(shù)？

(3)若N4=100°,求證：BC=BD+DA.

解：(1)答：ZA=90°.理由如下：

在5C上截取連接。石.

9：BC=AB+AD,

:?CE=AD,

?：BD是AABC的角平分線，

JZABD=ZEBD,

■;AB=BE,BD=BD,

：.AABD^AEBD,

：.AD=DE=CEf/A=/DEB,

：.ZC=/EDC,

：./A=/DEB=ZC+ZEDC=2ZC,

9：AB=AC,

：.ZC=NB,

VZA+ZABC+ZC=1SO°,

.\4ZC=180°,

AZC=45°,ZA=2ZC=90°,

即N4=90°；

(2)解：在5C上截取CF=C。，連接。歹.

,:BC=BA+CD,

：.BF=BA,

VZABD=ZFBD,BD=BD,

???△45/注△必

???NA=/DFB,

,:CD=CF,

：.ZCDF=ZCFDf

.?.ZC+2ZDFC=180°,

VZ^+ZDFC=180°,

：.2ZA-ZC=180°,

VZ^+2ZC=180°,

解得：N4=108°,答:NZ的度數(shù)是108

在5c上截取50=5。，連接。。，延長切至！J沙使5沙=50,連接。沙.

VZA=100°,AC=AB,

：.ZC=ZABC=40°,

??,5。平分N/5C,

AZDBQ=20°,

,:BD=BQ,

：.ZDQB=ZBDQ=^-(180°-/DBQ)=80°,

：.ZCDQ=ZDQB-ZC=40°=/C,

：.DQ=CQ,

??,在△幡。和△05。中

'BW=BQ

,ZWBD=ZQBD,

BD=BD

：?/\WBDQdQBD,

：.ZW=ZDQB=S0°,DW=DQ=CQ,

VZBAC=100°,

：.ZWAD=1SO°-Z^C=180°-100°=80°,

即/次4。=NW,

：.AD=DW=DQ=CQ,

；.BC=BD+DA.

9.閱讀：探究線段的和.差?倍.分關(guān)系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會用截

長法或補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線

段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.

(1)請完成下題的證明過程：如圖1,在3c中，NB=2/C,AD平分/BAC.求證:

AB+BD=AC.證明：在NC上截取連接

(2)如圖2,AD//BC,EA,EB分別平分/EU5,NCBA,CD過點E,求證：AB=AD+BC.

圖1圖2

證明：在NC上截取連接DE,如圖1：

圖1

,：AD平分/A4C,

NBAD=/DAC,

在△48。和△4ED中,

'AE=AB

<ZBAD=ZDAC,

AD=AD

；.44BD當AAED(SAS),

:.NB=NAED,BD=DE,又N2=2NC,

/AED=2NC,

而NAED=/C+NEDC=2NC,

：.ZC=ZEDC,

：.DE=CE,

C.AB+BD=AE+CE=AC；

：.AE=EF,

在△4DE和△歹CE中，

，ZDAE=ZF

-AE=EF,

LZAED=ZCEF

:.△ADE妾AFCE(ASA),

:.AD=CF,

：.AB=BF=BC+CF=BC+AD.

10.在菱形N3CD中，ABAD=60°,點￡、尸分別在邊N3、AD1.,MAE=DF,BF與

DE交于點G.

(1)如圖①，連接3D求證:△ADEmADBF；

(2)如圖②，連接CG.求證:BG+DG=CG.

圖①

圖②

證明：(1)二?四邊形43co是菱形，NB4D=60°,

：.4B=BC=CD=AD,NC=NBAD=60°,

：.AABD和△CAD都是等邊三角形，

：.AD=DB,ZBDF=ZDAE=60°,

在△/￡)￡和△。①7中，

'AD=DB

<ZDAE=ZBDF,

.AE=DF

:.AADE冬ADBF(&4S)；

(2)如圖②，延長G8到點X,使BH=DG,連接C〃、BD,

由(1)知AADE咨ADBF,△C8。是等邊三角形，

ZADE=ZDBF,ZCBD=ZBCD=60°,

:.NDBF+NCBH=180°-ZCBD=UO°,

:四邊形/BCD是菱形，NBAD=60°,

:.BC=CD,N/Z)C=180°-/B4D=120°,

AZADE+ZCDG^120°,

:.NCBH=4CDG,

在△C277和△CDG中，

'CB=CD

<ZCBH=ZCDG,

.BH=DG

：./\CBH^/\CDG(SAS),

：.CH=CG,ZBCH=Z.DCG,

VZBCD=ZDCG+ZBCG=60°,

:./BCH+/BCG=60°,

即NGS=60°,

...△CGX是等邊三角形，

：.GH=CG,

'：GH=BG+BH=BG+DG,

:.BG+DG=CG.

n

圖②

11.如圖，在四邊形/BCD中，AB=4D,ZB+ZADC^1^0°，點E、廠分別在直線BC、

CD上，且/瓦4尸=工/240.

2

(1)當點￡、尸分別在邊2。、CD上時(如圖1),請說明EF=BE+ED的理由；

(2)當點￡、廠分別在邊2C、8延長線上時(如圖2),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?

若成立，請說明理由；若不成立，請寫出ERBE、ED之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解：(1)EF=BE+DF,

理由：延長匹至G,使BG=DF,連接/G,

圖1

VZABC+ZADC^1SO°,ZABC+ZABG^180°

：.NADC=N4BG,

在△48G和尸中，

'AB=AD

<ZABG=ZADF,

.BG=DF

:AABG%4ADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

'：/EAF=L/BAD,

2

ZBAE+ZDAF=NBAE+/BAG=ZEAF,

即/及4G=NE4尸，

在△￡/G和中，

AG=AF

,ZEAG=ZEAF,

,AE=AE

:.AEAG咨LEAF(X4S),

：.GE=EF,

；.EF=BE+DF；

(2)(1)中結(jié)論不成立，EF=BE-FD,

在BE上截取2河=。/，連接4W,

VZABC+ZADC^180°,ZADC+ZADF^ISO0,

：.NABC=ZADF,

在和△/￡)尸中，

，AB=AD

,ZABM=ZADF,

BM=DF

.MABM咨dADF(S4S),

：.AM=AF,ZBAM=ZDAF,

"：ZBAM+ZMAD=ZDAF+ZMAD,

：.ZBAD=ZMAF,

'：NEAF=L/BAD,

2

NEAF=L/MAF,

2

ZEAF=NEAM,

在■和△NEE1中，

"AM=AF

<ZEAM=ZEAF,

,AE=AE

A/\AME^/\AFE(SAS),

：.ME=EF,

：.ME=BE-BM=BE-DF,

:.EF=BE-FD.

12.如圖，在銳角△NBC中，N/=60°,點、D,E分別是邊48,/C上一動點，連接

交直線CD于點F.

(1)如圖1,^AB>AC,且8D=C￡,NBCD=NCBE,求/CF￡的度數(shù)；

(2)如圖2,若AB=/C,且BD=4E,在平面內(nèi)將線段NC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°

得到線段CM,連接板，點N是板的中點，連接CN.在點D,E運動過程中，猜想

線段3凡CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

圖2備用圖

解：(1)如圖1中，在射線CD上取一點K,使得CK=2E,

BC=CB

ZBCK=ZCBE,

BE=CK

:.XBCE經(jīng)XCBK(S4S),

:.BK=CE,/BEC=NBKD,

,:CE=BD,

：.BD=BK,

：.NBKD=ZBDK=NADC=/CEB,

VZBEC+ZAEF=180°,

AZADF+ZAEF=1^°,

AZA+ZEFD^1SO0,

VZA=60°,

：.ZEFD=nO°,

；?/CFE=180°-120°=60°；

(2)結(jié)論：BF+CF=2CN.

理由：如圖2中，?；AB=AC,ZA=60°,

???△45。是等邊三角形，

:?AB=CB,ZA=ZCBD=60°,

?；AE=BD,

???△ABEmdBCD(SAS)f

ZBCF=/ABE,

：.ZFBC+ZBCF=60°,

AZBFC=120°,

如圖2中，延長CN到。，使得N0=CN,連接產(chǎn)

圖2

■:NM=NF,ZCNM=ZFNQ,CN=NQ,

:?叢CNM@叢QNF(S4S),

：.FQ=CM=BC,

延長C尸到P,使得PF=BF,則△必方是等邊三角形,

ZPBC+ZPCB=ZPCB+ZFCM=120°,

???ZPFQ=ZFCM=NPBC,

■:PB=PF,

:?△PFQWXPBC(SAS),

：.PQ=PC,ZCPB=ZQPF=60°,

.?.△尸。。是等邊三角形，

：.BF+CF=PC=QC=2CN.

13.如圖1,點/和點3分別在y軸正半軸和x軸正半軸上，且。4=03,點C和點。分

別在第三象限和第二象限上，且。CLOD,OC=。。，點C的坐標為(加，〃)，且滿足

km-2n)2+|n+2|=0.

(1)求點C坐標；

(2)求證：AC=BD,ACLBD-,

(3)求乙8￡。度數(shù)；

(4)如圖2,點尸在。4上，點。在。8上且。P=OQ,直線0N_L3P,交AB于點、N,

交3P延長線于點M,請猜想ON,MN,8M的數(shù)量關(guān)系并證明.

解：（1）,/（加-2n）2+\n+2\=0

又：（m-2n）22o,|〃+2|20,

??n=-2,m=-4,

工點。坐標為（-4,-2）；

(2)如圖1中，作OH_LBD于H,_L/C于?

圖1

?；OA=OB,OD=OC,ZAOB=ZCOD=90°,

???ZBOD=ZAOC,

：.ABOD^AAOC（SAS）,

:.BD=AC,

：.HO=OF(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等)，

工OE平分NBEC,

,:△BODQAAOC,

：.ZOBD=ZOACf

設(shè)交y軸于點H,則/4RE=/BRO,

：.ZAEB=ZBOA=90°,

即AC.LBD；

(3)由(2)知，AC.LBD,則NFE7f=90°,

AZOHE=ZOFE=ZFEH=90°,

故四邊形。〃跖為矩形，

而HO=OF,故四邊形?！ā晔瑸檎叫?，

而OE為該正方形的對角線，

:?/BEO=45°；

(4)