類型二與切線有關(guān)證明計算

類型二與切線有關(guān)的證明與計算一、與全等三角形結(jié)合典例精講例2（2014威海10分）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓.（1）求證：AC是⊙O的切線;（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：CD=HF.例2題圖（1）【思路分析】連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線.證明：連接OE，如解圖，∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,………….（2分）∵BE是△ABC的角平分線,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,……………（4分）∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90°,∴AC是⊙O的切線.…..（5分）（2）【思路分析】連接DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF．證明：連接DE,如解圖，∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH，∵∠CDE+∠BDE=∠180°，..（8分）∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE.∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF.…………(10分)二、與三角函數(shù)結(jié)合典例精講例3如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F.（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，

，求BF的長.例3題圖（1）【思路分析】連接OD，AB是⊙O的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.證明：如解圖，連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴AD垂直平分BC，即DC=DB,∴OD為△BAC的中位線，∴OD∥AC.而DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴EF是⊙O的切線.例3題解圖（2）【思路分析】由∠DAC=∠DAB,根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8,在Rt△ADE中可計算出AE，然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA，再利用相似比可求出BF的長.解：∵∠DAC=∠DAB,∴∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,∴AD=8,在Rt△ADE中，sin∠ADE=，∴AE=,∵OD∥AE,∴△FDO∽△FEA,∴,即,∴.三、與相似三角形結(jié)合典例精講例4（2014襄陽10分）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四點，∠APC＝∠BPC＝60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D.（1）求證：△ADP∽△BDA；（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若AD=2，PD＝1，求線段BC的長.例4題圖（1）【思路分析】首先作⊙O的直徑AG，連接PG，利用圓周角定理及切線性質(zhì)得出∠PAD=∠G進而得出答案.證明：如解圖，作⊙O的直徑AG，交BC于點E，連接PG，∵AG是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，∴∠DAE＝∠APG＝90°,∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠G=90°,∴∠PAD=∠G,∵∠PBA＝∠G，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD＝∠PBA，∠ADP＝∠BDA，∴△ADP∽△BDA.……….（3分）（2）【思路分析】首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進而得出△BPA≌△BFC（AAS）即可得出PA+PB=PF+FC=PC.解：PA+PB=PC，證明：如解圖，在線段PC上截取PF=PB，連接BF，∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°,∴∠BFC=180°－∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA＝∠BFC，在△BPA和△BFC中，∠PAB=∠FCB∠BPA=∠BFC,

PB=BF∴△BPA≌△BFC（AAS），……….（5分）∴PA＝FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC＝PC.……………..（6分）（3）【思路分析】利用△ADP∽△BDA，得出

，求出BP的長，則

，則AP2＝CP·PD求出AP的長，即可得出答案.解：∵△ADP∽△BDA，∴，∵AD=2，PD=1，∴BD=4，∴BP=BD-DP=3，∵∠APD=180°-∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC,∵∠P