2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段滾動(dòng)檢測（三）

階段滾動(dòng)檢測（三）

120分鐘150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2024?西安模擬）已知凡是等差數(shù)列｛“的前n項(xiàng)和,且滿足勿=43=22,則

『（）

A.25B.35C.45D.55

【解析】選B.設(shè)數(shù)列的公差為d,貝U&=（4-3+4+（4+菊+（4+23=22,所以d=3,

5（a1+a5）

所以43=42+1=7,85=---------=5的=35.

2.已知等比數(shù)歹U｛?！ǎ母黜?xiàng)均為正數(shù)，若10g243+10g249=4則咋2。6=（）

A.±lB.±2C.2D.4

【解析】選C.由題意得的>046>0/9>。,的49=4所以

2

1082的+1。82的=1。82（%的）=1。82。6=21。8246=4,則log2a6=2.

3.已知數(shù)列｛aj；兩足。1=15,且3a“+i=3a〃-2.右恁,恁+i<0,則正整數(shù)仁（）

A.24B.23C.22D.21

29

【解析】選B.由3a"+1=3%2得冊+1-。"=3所以數(shù)列｛%｝為首項(xiàng)句=15,公差d,

的等差數(shù)列，所以為=15-笳1尸芻+2.

24747

由恁?恁+1<0得*0,%1<0.令劣尸”+y=0得”=y,所以423>0424<0,所以^23.

4.(2024德宏模擬)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛?。腥?a3,合成等差數(shù)列.若數(shù)列小｝中

存在兩項(xiàng)即跖使得泠1為它們的等比中項(xiàng)，則看的最小值為()

A.1B.3C.6D.9

【解析】選B.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛四｝公比為見由久,3%,生成等差數(shù)列,

2

得6%=禽+45,即6a3^a3q+a3q,

得娟+/6=0,由g>0,解彳導(dǎo)q=2,

若數(shù)列｛四｝中存在兩項(xiàng)使得也勾為它們的等比中項(xiàng)，則(避a4"”,

即2《=。?"",41產(chǎn)，

得2加+”-2=2,貝+^=1(—+-)(m+n)=1(1+—+^+4)>|(5+2/—?—)=3,

mn3vm九八73Vmn3Vyjmn7

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)，即加=1,片2時(shí)等號成立，

所以的最小值為3.

mn

5.高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列,中國古代許多著名的

數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的

算法，展現(xiàn)了聰明才智.如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載

的三角垛、方垛、芻曹垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān).如圖是一個(gè)三角垛，

最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，則第30層小球

的個(gè)數(shù)為（

A.464B.465C.466D.495

【解析】選B.記第n層有斯個(gè)球則1/2=3,的=6,年10,

結(jié)合同）階等差數(shù)列的概念知。2-。1=2,的-。2=3,“4-43=4,...,4"-劣-1="（龍2）廁第30層

白勺/」\壬求婁攵的0=（的0-。29）+（429-428）+…+（。2-。1）+41=30+29+28+…+2+1=465.

6.已知等比數(shù)列｛aj的公比q￡N*,前n項(xiàng)和為S”,若“2+。5=36,的+。4=24,則下列說

法正確的是（）

A.q=3

B.^4=81

C.數(shù)列｛1g4｝與數(shù)列｛3匹+2）｝都是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛lg（Sn-2）｝是公差為lg2的等差數(shù)列

【解析】選C.由。2+。5=36,的+。4=24,9￡N*,

，4

/a1q+a1q=36

得2,3.

%q+a1q=24

解得。1=9=2,故A錯(cuò)誤;

則為=2〃,所以的=16,故B錯(cuò)誤；

則S〃片共2〃+1-2,

則lgtz?=nlg2,lg(5,?+2)=(n+1)lg2.

因?yàn)?lga?=(w+1)lg2-wlg2=lg2,

所以數(shù)列｛IgaJ是以lg2為公差的等差數(shù)列.

因?yàn)閘g(S“+i+2)-lg⑸+2尸(〃+2)lg2-(〃+l)lg2=lg2,

所以數(shù)列｛母巴+2)提以lg2為公差的等差數(shù)列，故C正確；

2n+24

坨(8/1-2)-坨(工-2尸1虱2/2-4)-愴(2〃田-4尸坨^^,

2-4

244

因?yàn)閘g6-2)-lg(S2-2尸1g丁=lg3,

2-4

#_47

坨⑸-R-坨⑸工尸坨丁^學(xué)啰所以數(shù)列館胤.2)｝不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

2-4

4-11

7.(2023?合肥模擬)已知數(shù)列｛aJ滿足"〃+1-7_-11^貝U

"a九十乙

9。9+10。1。+11。11+???+18。18+19。19=()

1119

A.--B-C.35D.-y

1

ci-1-15-11[

【解析】選A.因?yàn)榧?因此。21=-弓,同理的=-2以4=345虧，

CvI-1-一*I-1-id。乙

n1o+l

an+2c-1an-1

---------------11+--------

EHCnL+I3Q-1An+2+lX11-Lan+1

則恁+4=--------rrr=---------z------=--------=----------7^---------

八a+1a,-1aca.1-1a-1

un+o3'n+2n"n+2n+1n

TT+1ZTT1-VT

an,+c2+lan-++1lan+1

11

因此〃4七3三。4k2=-a〃4匕1=2。4左=3,其中A:￡N:則7^=（4左-3）。4仁3+（4左-2）〃4左-2+（4左-

7

1）。4左-1+4Azz4左=%（4左+1），貝?。?。9+10。1（）+11+..?+18。18+19。19=73+北+75-20。20

71

-X（13+17+21）-60=--.

【加練備選】

11,

已知數(shù)列｛a〃｝滿足42=。,。2"+1=。2力"2"+2=42什廣存#金N*）,則數(shù)歹U｛&｝的第2024

項(xiàng)為（）

2023202510111012

A'2024B，2024^'1012D'lOil

111

【解析】選C.%+2=%+i-羨丁%+不中（〃金N）

所以。2024=。2022+I0||"1012?

_11

。2022=〃2020+j^QlO-lOil5

_11

劭020=色018+丁同彳而，

。4=。2+1~2?

1111111011

累加得。2期”+⑴/刀+…+而工？京尸°+1一？而FI?

8.（2024?長治模擬）已知數(shù)列｛?。凉M足Q~r1=—~，石Qi+a1???+〃1〃2?…

JfLI.1.Ct-I/LJ

立，則n的最大值為（）

A.7B.8C.9D.10

【解題指南】通過等差數(shù)列的定義求出｛；｝的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出

an

。1+勾42+…+am…4”進(jìn)而確定n的最大值.

【解析】選B.因?yàn)檠?，?/p>

整理得吐匕上1,且工=3,

an+lanal

可知｛/｝是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列，

an

?77__YI

所以看可得

a3+"-1=/2,a?-

n八十乙

_?―iv日123n2,11、

當(dāng)Mzn>2n時(shí)，可行…劣qx/m*...*九+2-丁+1）6+2）—2。z+］三+》

且Q1.符合上式，所以。1。2.??Q〃=2（上J

JILI/LI乙

11111124

則勾+。1。2+…+七做…即=2（赤+言+…+"1-壬）=1-/1名

解得?<8,gPn的最大值為8.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2023?太原模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列｛aJ的前n項(xiàng)和為S”,若對于任意的",”￡N*,都

有斯+〃=斯+為,則下列結(jié)論正確的是（）

八.。1+。12=。8+。5

B.a5a6<aiaio

1n

C.若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為x,l-x,3x,則410方

【解析】選AC.令片1,則許+Mii,因?yàn)楣矗?,所以數(shù)列｛%（為等差數(shù)列且公差

內(nèi)0,故A正確;由。5。6-。1。10=（q+9。11+20建）-（（1；+9。1＜/）=20建＞0,所以a5a^＞a\a\Q,

故B錯(cuò)誤;根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得2（l-x）=x+3x,所以尸|,1--|,故即其+9*智

JJJ。J

，故C正確;

10.（2024?莆田模擬）正項(xiàng)等比數(shù)列｛四｝的前n項(xiàng)積為，，且滿足fli＞l,（a6-l）（a7-

1）＜0,則下列判斷正確的是（）

A.0<q<l

＞

B.a5a7l

的最大值為人

D.T13＞1

【解析】選ABC.由缶6-1）（。7-1）＜0得。6＞1＞。7或。7＞1＞恁,

若即＞1＞46＞。,則9＞1,結(jié)合?1＞1得許＞1,矛盾；

所以46＞1＞劭＞。,所以。＜夕＜1,故A正確；

由上述分析得。5劭=（。6）2＞1,故B正確;

由上述分析得41>。2>的>44>45>46>1>47>…，故76最大,C正確；

713=。13a4。5,???。13=(。7)13<1,故D錯(cuò)誤.

-

11.(2024?廣州模擬)已知數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為aj―J,b〃=tan記Sn為數(shù)列

｛?！ǎ那啊绊?xiàng)和，則下列說法正確的是()

A.兒=(/)〃

1+(-1尸

B.61+62+63+…+6〃=---------

-nil(-l)n-1mv

C.右金=Q〃b〃，貝［JC1+C2+C3+...+CyT---7----

D.若貝［］di+d2+d3+…+d4o=-2O5;i

【解析】選BCD.因?yàn)閿?shù)列｛劣｝的通項(xiàng)公式為a〃旦產(chǎn)為+產(chǎn)，,

故斯+i旦產(chǎn)-電聲］所以&｝為等差數(shù)列內(nèi)小片，

n(n-17111nn；=2k；j(kUZ),

貝USn=na^/〃=tana〃=tan(]+(〃-l)-)=tan(--y

2l9n=2k"

當(dāng)”=1時(shí)力1=1,故A不正確；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，仇+仇+仇+…+乩=0;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，仇+出+仇+...+為=1,

1+(-l)n-1_

故bi+b2+b3+...+bn^-------，所以B正確；

（ccn.n=2k-1

Cn-1“一nn（左WZ）,

-an”.iL——ix,

n?

IT

c2k+C2k-1-a2k+^2k-1=-25

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Ci+C2+C3+...+c”=-產(chǎn)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Ci+C2+C3+...+C"=-?7l+t（2"-l）與l,

所以C1+C2+C3+...+C"=~_71,故C正確；

41

（Sn=2k-1

dn=bnSn=l_s幾=2/C（%￡Z）,

、TP

ITTT

為—+必后=82582斤q[（2左-l）2-（2左）2]=-^（4左-1）,

所以必+。2+。3+..?+。2〃=（4+。2）+（。3+“4）+.??+（。2〃-1+“2篦）

irn3+4n-1n

=--[3+7+...+（4n-l）]=--x---x片W（2〃2+〃），

所以4+必+刈+…+d4o=-%2x2O2+2O）=-2O5兀，所以D正確.

【方法規(guī)律】常見的數(shù)列求和的方法有公式法，即等差等比數(shù)列求和公式，分組

求和類似于備=即+源其中&｝和店｝分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于af

而3,錯(cuò)位相減法類似于RR4其中｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列等.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.（2024彳余州模擬）圍棋起源于中國，至今已有4000多年的歷史.在圍棋中，對于

一些復(fù)雜的死活問題，比如在判斷自己單個(gè)眼內(nèi)的氣數(shù)是否滿足需求時(shí),可利用

數(shù)列通項(xiàng)的遞推方法來計(jì)算.假設(shè)大小為n的眼有為口氣，大小為〃+1的眼有

an+i口氣，則&與斯+i滿足的關(guān)系是。1=1以2=24+1-"=4"-1（論2,”￡>0.則a〃的通

項(xiàng)公式為.

'l,n=1

答案:4"='/_3n+6

—7—，心2

【解析】根據(jù)題意,恁+廠4"=〃-1,

當(dāng)n>2時(shí)，可得為=（%4"一1）+（即一1“一2）+…+（的-42）+（420）+/,

2

__（n-2）（九-1）n-3n+6

即4"=（“-2）+（“-3）+…+1+1+1=-----------1-2=---------;

2

又當(dāng)片1時(shí),41=1不滿足a/~手世；

/20

n-3n+6r

故斯='2，九'2.

,=1

13.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{aj中，公比H（0,1）,若的+。5=5/2&6=4力"Tog2。,”

數(shù)歹U{bJ的前n項(xiàng)和為貝媵攵歹的前n項(xiàng)和為.

興安n（17㈤

口木，4

/a?+a匚=5）

35①二4

【解析】由題意,的>%,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得。2a6=。3a5=久解得J_

LLr——

b

a3>a5

24

%q=4%=16

4

所以axq=1廨得1,

q=5

fi<q<l

_zl\n-1

所以ail產(chǎn)=16x（?=25-",

則兒=10g2&=5-%則數(shù)列缶J為等差數(shù)列,

2

n(4+5-71)9n-n，故K，

所以用=

22

9-71

snn(4+-)n(17-n)

所以K+.J

n24

14.(2024?武漢模擬)記R上的可導(dǎo)函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),滿足X"+1=X"-M的數(shù)

歹UM｝稱為“牛頓數(shù)歹r'.若函數(shù)人x)=%2-x,且八%)=2%-1，數(shù)列m｝為牛頓數(shù)歹U.設(shè)

Xn

q〃=ln---，已知為=2,%">1,則z：，數(shù)列｛四｝的前n項(xiàng)和為S”若不等式

Xn-1

“14SS；對任意的“￡N*恒成立，則/的最大值為

業(yè)案4—

【解析】因?yàn)樾?=/-%八＞)=2%-1,

22

X“-%“X”

%1

由ai=2,qi=ln-

X2

所以」Le?,解得修=e

F""7,

X1-1Ie-1

24

X1e

所以％2=

4

2^-1e-l

所以?Tn

rhX?

由馬+1元/1

2

x

n

---------2

Xn+「12%n-1xn

;(

所以城2心,

-1Y24-2…Xn-1

n+1Xn

~2x-17-1

n

X

nxn

所以為+i=ln-------r=ln(-)2=21n-~~~2a?,

Xn+1-1-

即數(shù)列｛許｝是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

2(1-2n),

所以許=2監(jiān)-'二2=2/1-2,

因?yàn)棰?140S；對任意的“WN*恒成立,

又￡>0且工單調(diào)遞增,

所以金計(jì)(1A對任意的"GN*恒成立,

14

令g(x)=x+v，xE(0,+8),

14,____,____

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得g(x)=x+"在(0,/4)上單調(diào)遞減，在(/4+8)上單調(diào)遞

增,

又2=SI<V^<S2=6,且g(2)=9,g(6)彳<g(2),所以/<52+|^=^,

所以t的最大值為三

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.(13分)(2024?成都模擬)在等差數(shù)列｛為｝中e+的=。4=5.

(1)求｛劣｝的通項(xiàng)公式;

【解析】（1）設(shè)｛斯｝的公差為4貝U2。1+3d=。1+31=5,

解得ai=O,d=|,

所以許=41+2(”-1)行(〃-1)；

1

(2)求數(shù)列｛.0｝的刖n項(xiàng)和S”

an+lan+2

［解析］(2)由(1)知^~~弓(乙(4-；)，

un+lun+2uun+lun+2°un+lun+2

2111111

所以義方義（武工+,一U言（1-T尸

a4an+lan+2a2an+2

9n

25(n+1),

16.(15分)數(shù)列｛aJ)兩足且斯=3斯_1-2〃+3(〃￡］^且n>2).

⑴求電的，并證明數(shù)列｛a廠九｝是等比數(shù)列;

【解析】（1）因?yàn)樗?-1,且即=3%-2"+3（“￡N*且n>2）,

貝1J。2=3。］-1=-4,的=3。2-3=-15,

由已知可得%〃=3怒_r3〃+3=3［%一廠（"-1）］,西-1=2則對任意的〃金N*,a〃-〃#0,

%）-n

所以當(dāng)n>2所.］一］3,

故數(shù)列｛4」｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【解析】（2）由⑴可知，數(shù)列｛4-向是等比數(shù)列,

且首項(xiàng)為2公比為3,

所以M「“=-2X3〃-I,因止匕&=“-2-3".

17.(15分)(2024?三明模擬)等差數(shù)列｛斯｝中,色+。4=-14,的+的=-20.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4

+4d=-14

由題息得2%+6d=-20,

解確二;,

所以afa]+("-1)d=-1+(n-l)x(-3)=-3w+2.

(2)已知數(shù)列㈤+兒｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求也｝的前n項(xiàng)和Sn.

【解析】(2)因?yàn)閿?shù)列｛%+由｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以a#兒=2〃/，

所以勿=2"-1-許=2"-1+3”-2,

所以S,=(l+2+22+...+2〃-i)+[l+4+7+...+(3"-2)]=2"-1+”3；1).

19

18.(17分)記數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)積為累,且

⑴證明:數(shù)列億+1｝是等比數(shù)列；

【解析】⑴因?yàn)楸睘閿?shù)列｛aJ的前“項(xiàng)積，

所以戶口"(論2).

1n-1

因?yàn)?+裊1,所以;+?1(論2),

1nUn1n1n

Tn+1

艮|]l+2T〃_i=7；(〃之2),所以^^=2(〃之2).

i2

又〒彳=1,所以。1=71=3,

11U1

故｛北+1｝是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛“7"｝的前n項(xiàng)和Sn.

【解析】⑵由⑴得Z+1=4X2"/=2"+I,

所以7"=2"+1-1,則“北="?2"+1-九

設(shè)4=1X22+2X23+3X24+...+“2"+I①，

貝U24=1X23+2X24+3X25+...+“2+2②，

則①-②得：-4=1*22+(23+24+…+2"+i)-"2"+2

232九+2

=4+-----------n?2及+2

1-2

=_4+(1-〃)2什2,

則4=4+(/1)2"+2,

所以｛“，｝的前n項(xiàng)和邑=4+(“-1)2"2一吧?2

【加練備選】

（2024?運(yùn)城模擬）已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”2S〃=3%2,其中“GN*.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

【解析】⑴當(dāng)"=1時(shí),2m=34廠2,所以幻=2,

當(dāng)n>2時(shí),2￡=3即-2,

所以2邑-1=3斯-1-2,

兩式相減得2an=3an-3anA,

所以許=3磯,又心=2聲0,

所以數(shù)列3｝為等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為3,

所以數(shù)列｛四｝的通項(xiàng)公式是年2?3"。

1…

⑵設(shè)兒=(七)四,數(shù)歹I」也｝的前n項(xiàng)和為北,若對