北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《1.1探索勾股定理》同步測(cè)試題及答案

第第頁北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《1.1探索勾股定理》同步測(cè)試題及答案一、選擇題1．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，E，F(xiàn)分別是AB，DC上的動(dòng)點(diǎn)，若EF∥BC，則AF+CE的最小值是（）A．8 B．73 C．10 D．112．如圖，在等邊△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，BC=8；在AD上有一動(dòng)點(diǎn)Q，則QC+QE的最小值為（）A．43 B．23 C．4 D．83．如圖，在△ABC中，BC=26，且BD，CE分別是AC，AB上的高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，若A．10 B．12 C．13 D．144．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DA=DB=15，△ABD的面積為90，則AC的長(zhǎng)是（）A．9 B．12 C．314 5．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm．現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝35，AE=3A．12 B．2 C．52 7．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△BEF的面積為（）A．6cm2 B．7.5cm2 C．10cm28．如圖，∠A=30°，∠B=60°，AB=8，點(diǎn)C，D分別在∠A，∠B的另一邊上運(yùn)動(dòng)，并保持CD=4，點(diǎn)M在邊BCA．25+2 B．27+2 C．9．在△ABC中，已知AB=AC=35，BC=6，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F和點(diǎn)G分別是線段DE和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+FGA．36 B．6 C．35 10．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=3，E在AB邊上，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BF，EF，則BF+EF的最小值為（）A．3 B．23 C．2 D．二、填空題11．如圖．在△ABC中．以AC為邊在△ABC外部作等腰△ACD．使AC＝AD．且∠DAC＝2∠ABC，連接BD．作AH⊥BC于點(diǎn)H．若AH＝32，BC＝4，則BD＝12．如圖，△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連接BD，則BD的長(zhǎng)為．13．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E、F分別是AB和DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，則（1）DE+EF+FM的最小值是；（2）若∠EFD=45°，則DE+EF+FM的最小值為.14．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若AD=6，∠CAD=15°，則AB的長(zhǎng)為15．如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上．若FD平分∠EFB，則CF的長(zhǎng)為．三、解答題16．已知，如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD為∠ABC的角平分線交AC于D，過點(diǎn)D作DE垂直AB于點(diǎn)E，（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求AE的長(zhǎng)；（3）求BD的長(zhǎng)17．如圖，在△ABF中，∠A=90°，點(diǎn)E是邊BF的中點(diǎn)，點(diǎn)D是邊BF上一點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至C，使得BC⊥AB，連接BD，CF．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形：（2）若BF平分∠CBD，AB=4，AF=8，求四邊形BDFC的面積．18．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，若DB=3，求BE的長(zhǎng)．19．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．20．探究與證明

[問題情境]

數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們按已知條件畫圖：已知：一個(gè)等腰直角△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以線段CP為腰作等腰直角△PCD，∠PCD=90°．（1）[實(shí)踐探究]

如圖，小強(qiáng)畫好圖形，他發(fā)現(xiàn)∠PBD=90°.請(qǐng)你幫他完成證明．（2）[獨(dú)立思考]

老師給出條件：AP=2，AC=4，請(qǐng)求出CP的長(zhǎng).（3）[深入探究]

小強(qiáng)繼續(xù)探究，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)△PCD的面積最小時(shí)，線段CP與線段AB之間存在一定的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫出它們的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．參考答案1．【答案】C2．【答案】A【解析】【解答】解：如圖所示，∵△ABC是等邊三角形，BC=8，∴AC=8，連接BE，∵AD平分∠BAC，∴AD是BC的中垂線，

∴QB=QC，∴線段BE的長(zhǎng)即為QE+QC最小值，∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，∴CE=AE=4，BE⊥AC，∴BE=B∴QE+QC的最小值是43故答案為：A.【分析】根據(jù)等邊三角形的三線合一得AD是BC的中垂線，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得BQ=CQ，從而可得線段BE的長(zhǎng)即為QE+QC最小值，再根據(jù)等邊三角形的三線合一得CE=AE=4，BE⊥AC，最后根據(jù)勾股定理算出BE的長(zhǎng)即可.3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D【解析】【解答】解：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接BM'，MM'，EM'，則PM=PM'，過點(diǎn)M'作M'F⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖：∵∠A=30°，∠B=60°，

∴∠CED=90°，

∵CD=4，N是CD的中點(diǎn)，連接EN，

∴NE=12CD=2.

∵點(diǎn)C，D分別在∠A，∠B的另一邊上運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)N在以E為圓心，半徑為2的圓位于△ABE的內(nèi)部的弧上運(yùn)動(dòng)，

∴PM+PN+EN<PM'+PN+EN≥EM'，

當(dāng)E、N、P、M'四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，PM'+PN+EN最小，為EM'，即(PM+PN)min=EM'-2.

∵點(diǎn)M'、M關(guān)于AB對(duì)稱，

∴AB垂直平分M'M，

∴BM'=BM=2，∠M'BA=∠MBA=60°=∠M'BF，

∴∠BM'F=30°

∵BM'=BM=2，

∴BF=1，M'F=3，

∵∠A=30°，∠B=60°，AB=8，

∴EB=4，

∴EF=EB+BF=4+1=5，

【分析】延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)O，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接BM'，EM'，MM'，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PM'=PM，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得NE=19．【答案】B10．【答案】D【解析】【解答】解：連接BD、DF，作DH⊥AB于H.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠BAD=60°，∴△ADB是等邊三角形，∵B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴BF=DF，∴BF+FE=DF+FE，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、F、E共線，且與DH重合時(shí)，BF+EF的值最小，最小值為DH的長(zhǎng)，在Rt△ADH中，∠BAD=60°，AD=AB=3，∴∠ADH=30°∴AH=1∴DH=A故答案為：D.【分析】連接BD、DF，作DH⊥AB于H，首先判斷出△ADB是等邊三角形，由菱形的對(duì)稱性得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則BF=DF，故BF+EF=DF+EF，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、F、E共線，且與DH重合時(shí)，BF+EF的值最小，最小值為DH的長(zhǎng)，在Rt△ADH中，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得AH的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理算出DH即可.11．【答案】5【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE//AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC.并取BE的中點(diǎn)K，連接AK，

∴AH⊥BC于H，

∴∠AHC=90°.

∵BE∥AH，

∴∠EBC=90°.

∵∠EBC=90°，

∴K為BE的中點(diǎn)，BE=2AH，

∴BK=AH.

∵BK∥AH，

∴四邊形AKBH為矩形，

∴AK⊥BE，

∴AE=AB，∠EAB=2∠KAB，

∴∠DAC=2∠ABC，

∠KAB=∠ABC，

∴∠EAB=∠DAC，

∴∠EAC=∠BAD，

在△EAC與△BAD中，

AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD

∴△EAC≌△BAD（SAS)

∴BD=CE，∵CE=BE2+B【分析】如圖，過點(diǎn)B作BE//AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC.并取BE的中點(diǎn)K，連接AK，根據(jù)垂直的定義得到∠AHC=90°.由平行線的性質(zhì)得到∠EBC=90°.由線段垂直平分線的性質(zhì)得到BK=AH.推出四邊形AKBH為矩形，得到AK⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE=AB，∠EAB=2∠KAB，通過△EAC≌△BAD，得到BD=CE，根據(jù)勾股定理得到可得到結(jié)論.12．【答案】313．【答案】（1）61（2）2【解析】【解答】解：（1）如下圖所示，延長(zhǎng)DA作點(diǎn)D的關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D'，延長(zhǎng)MC作點(diǎn)M的關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)C'，作DN∥CM可得DE=D∴DE+EF+FM=D∴D'E+EF+FM∵DN∥CM'，且DN=CM∴四邊形DNM∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)∴NM'=DC=AB=6∴D'（2）過點(diǎn)E作EP⊥CD于P，∵∠EFD=45°，∴EP=PF=BC=2，∴EF=22則DE+EF+FM=DE+FM+22∴求DE+FM+22的最小值即先求DE+FM過點(diǎn)E作EM'=EM∴DE+FM=DE+EM∴當(dāng)D，E，M'三點(diǎn)共線時(shí)，DE+E此時(shí)DE∥FM，∴∠EDP=∠MFC，∠EPD=∠MCF，∴△DEP∽△FMC，∴EPMC設(shè)CF=x，則DP=DC?PF?CF=6?2?x=4?x.∴21解得x=4∴CF=43，DE=DP2∴DE+EM∴DE+EF+FM的最小值為5+22故答案為：5+22【分析】（1）延長(zhǎng)DA，作點(diǎn)D的關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D′，延長(zhǎng)MC作點(diǎn)M的關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)C′，作DN∥CM′，且DN=CM′，可得D′E+EF+FM=D′E+EF+FM′≥D′M′，由題意可得四邊形DNM′C為矩形，結(jié)合中點(diǎn)的概念可得NM′=DC=AB=6，D′N=2AD+12（2）過點(diǎn)E作EP⊥CD于P，易得EF=22，則DE+EF+FM=DE+FM+214．【答案】215．【答案】416．【答案】（1）解：△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC=A（2）解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE，∠AED=90°，

在Rt△BDC與Rt△BDE中，

∵CD=ED，BD=BD，

∴Rt△BDC≌Rt△BDE（HL），

∴BE=BC=6，

∴AE=AB-BE=4；（3）解：設(shè)CD=DE=x，則AD=8-x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2+AE2=AD2，即x2+42=（8-x）2，

解得x=3，即DE=3，

在Rt△BDE中，由勾股定理得BD=B【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理算出BC的長(zhǎng)；（2）由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得CD=DE，利用HL判斷出Rt△BDC≌Rt△BDE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得BE=BC=6，進(jìn)而根據(jù)AE=AB-BE即可算出答案；

（3）設(shè)CD=DE=x，則AD=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理建立方程求出DE，在Rt△BDE中，由勾股定理即可算出BD的長(zhǎng).17．【答案】（1）證明：∵∠A=90°，BC⊥AB，∴BC∥AF，∴∠BCE=∠FDE，∵點(diǎn)E是邊BF的中點(diǎn)，∴BE=FE，∵∠CEB=∠DEF，∴△BCE≌△FDE(AAS)，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；（2）解：∵BF平分∠CBD，∴∠CFB=∠DFB，∵四邊形BDFC是平行四邊形∴BD∥CF，∴∠CFB=∠DBF=∠DFB，∴DB=DF，設(shè)BD=DF=x，則AD=8?x，在Rt△BAD中，可得方程42解得x=5，∴平行四邊形BDFC的面積為5×4=20．18．【答案】219．【答案】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，

∴AE=BE=12AB，AF=CF=12AC，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

在△ADE和△ADF中，，

∴△ADE≌△ADF（SSS），

∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，

∴BD=CD=12BC=3，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴AB=AD2+BD2=22+32=13，

∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，

【解析】【分析】先由SSS證明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BD=CD=12BC=3，AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AB，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DE=12AB，DF=20．【答案】（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠ABC=45°．

∵DCP是等腰直角三角形，∠PCD=90°，

∴CP=CD，∠CPD=∠CDP=45°，

∵∠ACP+∠PCB=∠PCB+∠BCD=90°，

∴∠ACP=∠BCD，

在△ACP與