人教版九年級(jí)上冊(cè)第24章圓24.1.2垂直于弦的直徑課件數(shù)學(xué)

第二十四章

圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)第2課時(shí)

垂直于弦的直徑1課堂講解圓的對(duì)稱性垂徑定理垂徑定理的推論2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升導(dǎo)入新知如圖，1400多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦長(zhǎng))是37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(精確到0.1m)．1知識(shí)點(diǎn)圓的對(duì)稱性問

題（一）剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？知1－導(dǎo)問

題（二）知1－導(dǎo)不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎？由此你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？知1－導(dǎo)歸

納

通過探究可以發(fā)現(xiàn)，圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.例1求證：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直

線都是圓的對(duì)稱軸.

知1－講導(dǎo)引：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)

關(guān)于直徑所在直線(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.知1－講（來自教材）證明：如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C,D以外的任意一點(diǎn).過點(diǎn)A作AA′⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A′，垂足為

M，連接OA，OA′.

在△OAA′中，∵OA=OA′,∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD，∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分線.

這就是說，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓

上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，因此

⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱.即圓是軸對(duì)稱圖形，

任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸.

1下列說法中不正確的是(

)A．經(jīng)過圓心的直線是圓的對(duì)稱軸

B．直徑是圓的對(duì)稱軸

C．圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條

D．當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，仍會(huì)與原來的圓

重合知1－練（來自《典中點(diǎn)》）2如圖所示，在⊙O中，將△AOB繞圓心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

150°，得到△COD，指出圖中相等的量．知1－練（來自《點(diǎn)撥》）2知識(shí)點(diǎn)垂徑定理知2－導(dǎo)知2－導(dǎo)下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說明理由嗎？DOCAEBDOCAEB圖1圖2圖3圖4OAEBDOCAEB

例2趙州橋（如圖）是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為

37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m,求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.知2－講分析：解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形.知2－講（來自教材）

解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知AB=37，CD=7.23，所以AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.⌒⌒⌒⌒總

結(jié)知2－講(1)“垂直于弦的直徑”中的“直徑”，還可以是垂

直于弦的半徑或過圓心垂直于弦的直線；其實(shí)質(zhì)

是：過圓心且垂直于弦的線段、直線均可．(2)垂徑定理中的弦可以為直徑．(3)垂徑定理是證線段、弧相等的重要依據(jù)．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的

距離為3cm.求⊙O的半徑.知2－練（來自教材）2

(廣元)如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．CE＝DEB．AE＝OEC.BC＝BDD．△OCE≌△ODE知2－練（來自《典中點(diǎn)》）⌒⌒知3－講3知識(shí)點(diǎn)垂徑定理的推論通過垂徑定理的證明及應(yīng)用，我們還可以進(jìn)一步得到垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.例3如圖所示，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝

BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的長(zhǎng).知3－講解：∵圓O的直徑CD=10cm，∴圓O的半徑為5cm，即OC=5cm，∵OM：OC=3：5，∴OM=OC=3cm，連接OA，∵AB⊥CD，∴M為AB的中點(diǎn)，即AM=BM=AB，在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，根據(jù)勾股定理得：AM=則AB=2AM=8cm．（來自《典中點(diǎn)》）知3－講（來自《點(diǎn)撥》）關(guān)于垂徑定理及其推論可歸納為：一條直線，它具備以下五個(gè)性質(zhì)：直線過圓心；(2)直線垂直于弦；(3)直線平分弦(不是直徑)；(4)直線平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?5)直線平分弦所對(duì)的劣?。绻哑渲械娜我鈨蓷l作為條件，其余三條作為結(jié)論，

組成的命題都是真命題．如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝42°，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，則∠DOC的度數(shù)是________度．知3－練（來自《典中點(diǎn)》）2已知：如圖，⊙O中，AB為弦，C為弧AB的中點(diǎn)，

OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半徑OA.知3－練通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們：1.理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過程