2021高考北京版數(shù)學(xué)4.4解三角形

4.4解三角形

探考情悟真題

【考情探究】

5年考情預(yù)測熱

考點內(nèi)容解讀

考題示例考向關(guān)聯(lián)考點度

運用正弦定理、余

1.正弦、①理解正弦定理2019北京文,15三角恒等變換

弦定理解三角形

與余弦定理的推

三角恒等變換、

余弦定導(dǎo)過程

2016北京,15三角函數(shù)的性

②掌握正弦定理、★★★

運用余弦定理解質(zhì)

理的應(yīng)余弦定理,并能解

三角形

決一些簡單的三換元法，解二次

2016北京文,13

用角形度量問題方程

能夠運用正弦定運用正弦定理、余

2.解三角2015北京,12二倍角公式

理、余弦定理等知弦定理解三角形

識和方法解決一運用正弦定理解三角形中“大邊

形的綜2015北京文,11★★☆

些與測量和幾何三角形對大角”

計算有關(guān)的實際2018北京文,14運用正弦定理、余

合應(yīng)用三角恒等變換

問題2017北京,15弦定理解三角形

分析解讀1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關(guān)的量的問題

時,需要綜合應(yīng)用兩個定理及三角形有關(guān)知識2正弦定理和余弦定理應(yīng)用比較廣泛，也比較靈

活，在高考中常與面積或取值范圍結(jié)合進行考查.3.利用數(shù)學(xué)建模思想，結(jié)合三角形的知識，解

決生產(chǎn)實踐中的相關(guān)問題.在高考中常以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)在選擇題和填空題

中.

破考點練考向

【考點集訓(xùn)】

考點一正弦、余弦定理的應(yīng)用

1.(2020屆北京二中開學(xué)考試5)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則"a>b"是

"cos2A<cos2Bwfi<|()

A.充分不必要條件

第1頁共26頁

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

2.(2020屆北京東直門中學(xué)期中,16)在4ABC中,c=7,sinCq.

⑴若cosB=*求b的值；

⑵若a+b=l1,求4ABC的面積.

解析⑴在△ABC中,cosB=*

sinB=Vl-cos2B=^,

c=7,sinC=等，

2V6

由正弦定理可得b=萼=K=5.

sinC￡v6

5

(2)在小ABC+,a2+b2>^y^=^>72=c2,

/.cosC=Q+b'c>0,VsinC=—,cosC=~,

2ab55

又c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC,a+b=l1,c=7,

/.72=112-2ab-|ab,ab=30,

.'.SAABC=|absinC=|X30X^=6A/6.

考點二解三角形及其綜合應(yīng)用

3.（2020屆北京八一學(xué)校開學(xué)考試,11）在△ABC中,a=l,b=?，且△ABC的面積為冬則

答案2或2M

4.（2018北京東城期末,12）在△ABC中,a=5,c=7,cosC=（,則b=,△ABC的面積

為.

答案6;6>/6

5.（2015湖北,13,5分）如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)

一垂直于路面的山頂D在西偏北30。的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北

75。的方向上,仰角為30。,則此山的高度CD=m.

第2頁共26頁

D

答案100后

6.(2020屆山東夏季高考模擬,18)在4ABC中/A=90。,點D在BC邊上.在平面ABC內(nèi)，過D

作DFJLBC且DF=AC.

(1)若D為BC的中點，且△CDF的面積等于△ABC的面積，求/ABC;

(2)若NABC=45。,且BD=3CD,求cosZCFB.

解析⑴因為CD=BD,所以CD《BC.

由題設(shè)知DF=AC,|CD-DF=|AB-AC,SlitCD=AB.

所以ABgBC,因此NABC=60°.

(2)不妨設(shè)AB=1,由題設(shè)知BC=V2.

由BD=3CD得BD=—,CD=-.

44

由勾股定理得CF=乎,BF=^.

44

由余弦定理得COSZCFB=g￥%=萼.

煉技法提能力

【方法集訓(xùn)】

方法1三角形形狀的判斷

1.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asin人,則4ABC的形狀為

()

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

答案A

2.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵若sinB+sinC=V5，試判斷^ABC的形狀.

解析⑴由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,

得2a2=(2b-c)b+(2c?b)c,即bc=b2+c2-a2,

廬+C2-Q21

所以cosA=-

2bc2

第3頁共26頁

因為(r<A<180。,所以A=60°.

(2)因為A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°.

由sinB+sinC=W,得sinB+sin(120°-B)=V3,

所以sinB+sin120°cosB-cos1200sinB=V3.

所以|sinB+ycosB=V3,BPsin(B+30°)=l.

因為0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°.

所以B+30°=90°,即B=60°.

所以A=B=C=60。,所以△ABC為等邊三角形.

方法2解三角形的常見題型及求解方法

3.(2018北京朝陽二模,4)在4ABC中,a=l,NA=pZB=：,則c=()

o4

A巫+壺口V6-V2

A.------B.------

22

答案A

4.（2020屆北京陳經(jīng)綸中學(xué)開學(xué)考試,102ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

b=6,a=2c,B=JWUABC的面積為.

答案6V3

5.（2018北京石景山一模,12）在△ABC中,NA=6（T,AC=4,BC=2遍，則△ABC的面積等

于.

答案2百

6.（2019北京豐臺二模文,14）在^ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,sinB=sin

2A.

①■）的值為；

COS/1

②若a>c,則b的取值范圍是.

答案①6②（3,3或）

7.（2020屆北京人大附中開學(xué)考試,11）在4ABC中,a=3,b=g,B=60。,貝Uc=;△ABC的

面積為.

答案4;3百

8.（2019北京西城一模,15）在4ABC中，已知a2+c2-b2=mac,其中mGR.

（1）判斷m能否等于3,并說明理由；

第4頁共26頁

⑵若m=-l,b=2V7,c=4,求sinA.

解析(l)m不能等于3.理由如下:

當(dāng)m=3時，由題可知a2+c2-b2=3ac,

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

這與cosBG[-U]矛盾,

所以m不可能等于3.

(2)由⑴得cosB或=-/所以B號.

因為b=2>/7,c=4,a2+c2-b2=-ac,

所以a2+16-28=-4a,

解得a=-6(舍)或a=2.

在^ABC中，由正弦定理，得sin人*竺二余哼二等

h2V7214

【五年高考】

A組自主命題?北京卷題組

1.（2015北京,12,5分）在小ABC中,a=4,b=5,c=6,則學(xué)=.

答案1

2.(2018北京文,14,5分)若4ABC的面積為?a2+c2-b2),且NC為鈍角，則NB=匚的取

值范圍是.

答案泉(2,+oo)

3.（2016北京文,13,5分）在4ABC中/A==,a=gc,則絲________.

3c

答案1

4.（2015北京文,11,5分）在^ABC中,a=3,b=n,NA=g,則NB=.

於:室-

口采4

5.(2019北京文,15,13分)在仆ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-1.

(1)求b,c的值；

⑵求sin(B-C)的值.

解析本題主要考查余弦定理及正弦定理的應(yīng)用，旨在考查學(xué)生在解三角形中的運算求解能

力,以求三角形的邊為背景考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)和方程思想.

第5頁共26頁

(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

222

得b=3+c-2x3xcx(-|).

因為b=c+2,

所以(C+2)2=32+C2-2X3XCX(-J.

解得c=5.

所以b=7.

⑵由cosB=-；得sinB=y.

由正弦定理得sinA=-sinB=—.

b14

在4ABC中,B+C=rA.

所以sin(B+C)=sinA=等.

6.(2018北京,15,13分)在4ABC中,a=7,b=8,cosB=-i

⑴求NA;

(2)求AC邊上的高.

解析(1)在4ABC中，因為cosB=-；,所以sinB=Vl-cos2B=^.

由正弦定理得sinA=—=^.

b2

由題設(shè)知；NB<兀，所以0<ZA<1.

所以NA=1

(2)在4ABC中，

因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=當(dāng)，

所以AC邊上的高為asinC=7x^=逋.

142

方法總結(jié)處理解三角形相關(guān)的綜合題目時，首先要掌握正弦、余弦定理，其次結(jié)合圖形分析

哪些邊、角是已知的，哪些邊、角是未知的，然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程，最后通過

解方程求出邊或角.

7.(2017北京,15,13分)在^ABC中,NA=60°,c=1a.

(1)求sinC的值；

⑵若2=7,求4ABC的面積.

解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式.

第6頁共26頁

(1)在4ABC中，因為NA=60°,c=|a,

所以由正弦定理得sinC=—=；x^=^.

a7214

⑵因為a=7,所以c=，7=3.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2bx3x1,

解得b=8或b=-5(舍).

所以△ABC的面積S=|bcsinA=ix8x3x^=6V3.

解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點，利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.在求解面積時，經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積.

8.(2016北京,15,13分)在4ABC中,a2+c2=b2+&ac.

(1)求NB的大小；

(2)求V^cosA+cosC的最大值.

解析⑴由余弦定理及題設(shè)得cosB上盧=爭邛.

2aczac2

又因為0<ZBV冗，所以NB=-.

4

⑵由⑴知NA+ZC哼.

V2cosA+cosC=V2cosA+cos??A)

=V2cosA-ycosA+ysinA

=^cosA4-ysinA=cos(4?

因為0<ZA<—,

4

所以當(dāng)NA』時，夜cosA+cosC取得最大值1.

4

思路分析第(1)問條件中有邊的平方和邊的乘積，顯然應(yīng)選用余弦定理求解.第(2)問用三角

形內(nèi)角和定理以及三角恒等變換將原三角函數(shù)式化為只含一個角的三角函數(shù)式.再注意角的

取值范圍，即可得出答案.

評析本題考查余弦定理、三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題.

第7頁共26頁

B組統(tǒng)一命題、?。▍^(qū)、市）卷題組

考點一正弦、余弦定理的應(yīng)用

1.（2019課標全國I文,11,5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA-bsin

B=4csinC,cosA=-：,則g=（）

A.6B.5C.4D.3

答案A

2.（2018課標全國H,6,5分）在^ABC中,cosg=g,BC=l,AC=5,則AB=（）

A.4V2B.V30C.V29D.2V5

答案A

3.（2019浙江,14,6分）在4ABC中/ABC=9（T,AB=4,BC=3,點D在線段AC上.若NBDC=45。,

則BD=,cosZABD=.

史.12V2.7V2

1=1菜5，而

4.（2019課標全國II文,15,5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知bsinA+acosB=0,

則B=.

答案）

5.（2018浙江,13,6分）在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=V7,b=2,A=60。,則sin

B=,c=.

答案手;3

6.（2016課標H,13,5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=g,cosC4,a=l,則

b=.

□榮13

7.（2019課標全國HI,18,12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin^=bsinA.

⑴求B;

（2）若4ABC為銳角三角形，且?=1,求4ABC面積的取值范圍.

解析本題考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面積公式以及學(xué)生對三角恒等變換的掌握

情況;考查學(xué)生邏輯推理能力和運算求解能力;考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

⑴由題設(shè)及正弦定理得sinAsin與JsinBsinA.

第8頁共26頁

因為sinAwO,所以sin^y^=sinB.

由A+B+C=18O°,可得sin^^=cosp

故cos沁喙。s*

因為cos*0,故sing=g,因此B=60°.

(2)由題設(shè)及⑴知△ABC的面積SAABC=*I.

由正弦定理得a=^=也吟

sinesine2tanC2

由于△ABC為銳角三角形，故0。＜人＜90。,0。＜(2＜90。.

由(1)知A+C=120。,所以30。<(2<90。,故*a<2,

從而^:SAABC＜B

oN

因此,AABC面積的取值范圍是住野

思路分析(1)用正弦定理將邊化成角,再利用三角恒等變換求解角B.

⑵先用正弦定理表示出邊a,再用面積公式和銳角三角形的性質(zhì)求出角C的范圍，進而求出

△ABC面積的取值范圍.

8.(2019天津,15,13分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin

B=4asinC.

(1)求cosB的值；

⑵求sin卜B+力的值.

解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式,

以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力.體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)運算這一核心素養(yǎng)的

重視.

(1)在4ABC中，由正弦定理±='-,得bsinC=csinB,

sinBsinC

又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.

又因為b+c=2a,得至ljb=|a,c=|a.

由余弦定理可得cos至=它蜉±=±

2ac2a1a4

(2)由(1)可得sinB=Vl-cos2B=—,

4

第9頁共26頁

從而sin2B=2sinBcosB=--,cos2B=cos2B-sin2B=--,

88

44,?(、r->."ccncc?nVT5y/3713A/5+7

故sinl2B+-)=sm2Bcos-+cos2Bsin-="-x——x-=-----.

\6/66828216

思路分析(1)由已知邊角關(guān)系3csinB=4asinC,利用正弦定理彳導(dǎo)三邊比例關(guān)系.根據(jù)余弦定

理即可求出cosB.

(2)由(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入兩角

和的正弦公式即可求出sin(28+J的值.

易錯警示角B為三角形內(nèi)角.故sinB>0,由cosB求sinB僅有一正解.

9.(2018課標I,17,12分)在平面四邊形ABCD中,NADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB;

⑵若DC=2a,求BC.

解析(1)在4ABD中,由正弦定理知心=』.

sin(3HsinEL4DB

故，一二一--，所以sinZADB=—.

sin45*sinffl4D8‘5

由題設(shè)知/ADB<90。,所以COSZADB=/1^=—.

、255

(2)由題設(shè)及(1)知,cosNBDC-sinZADB=y.

在4BCD中,由余弦定理得BC2-BD2+DC2-2-BDDC-COSZBDC=25+8-2x5x2金x9=25.所以

BC=5.

方法總結(jié)正、余弦定理的應(yīng)用原則：

⑴正弦定理是一個連比等式，在運用此定理時，只要知道其中一對的比值或等量關(guān)系就可以

通過該定理解決問題.在解題時要學(xué)會靈活運用.

(2)運用余弦定理時，要注意整體思想的應(yīng)用.

(3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,

以免漏解.

(4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時，可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，所以解答

此類問題時需要進行分類討論，以免漏解或增解.

第10頁共26頁

考點二解三角形及其綜合應(yīng)用

1.(2018課標in,9,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為％'<:.若4ABC的面積為吐則

4

c=()

A.-B.-C.-D.-

2346

答案C

2.(2016課標in,8,5分)在4ABC中,B』,BC邊上的高等于:BC,則cosA=()

43

A3ViOD同V10c3V10

A.-----fc>.----C.-----L).--------

10101010

答案C

3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,

則4BDC的面積是,coszBDC=.

較案后-6

4.(2019課標全國1,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sin

C)2=sin2A-sinBsinC.

⑴求A;

⑵若&a+b=2c,求sinC.

解析本題主要考查學(xué)生對正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換的掌握;考查了學(xué)生的運

算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.

⑴由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.

由余弦定理得cosA="

2bc2

因為(r<A<180。,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120"C,由題設(shè)及正弦定理得asinA+sin(1200-C)=2sinC,

即**osC+|sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-y.

由于0。<(2<120。,所以sin(C+60°>y,

故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)-sin60°=西止.

4

思路分析⑴先借助正弦定理將角化為邊，然后利用余弦定理求出角A的余弦值，進而得出

角A.(2)利用正弦定理將已知等式中的邊化為角，利用三角恒等變換將原式化為含有角C的正

第11頁共26頁

弦、余弦的等式，利用角度變換求出sinC.

5.(2019江蘇,15,14分)在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

⑴若a=3c,b=V2,cosB=|,求c的值；

(2)若手=黑，求sin(B+?的值.

解析本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查

運算求解能力.

(1)因為a=3c,b=V2,cosB=|,

由余弦定理cos8=注*,得|=嗎畢空，

2ac32x3cxc

即c2=g.所以C=*

(2)因為W=等，

由正弦定理三=白，得黑=￥，所以cosB=2sinB.

sin71s\nB2bb

從而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(l-cos2B),

故COS2B=^.

因為sinB>0,所以cosB=2sinB>0,從而cosB=?.

因此sin(B+])=cosB=手.

6.(2018天津,15,13分)在^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acos(B-'

(1)求角B的大小；

⑵設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余

弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.

⑴在△ABC中，

由正弦定理旦=上,可得bsinA=asinB,

sin/1sinB

又由bsinA=acos(8-J得asinB=acos(B-：),

即sinB=cos(8-：),可得tanB=V3.

又因為BW(0,兀)，可得B=g.

第12頁共26頁

⑵在^ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B三,

有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=V7.

由bsinA=acos(B-)可得sinA=詈又a<c,故cosA二親

因此sin2A=2sinAcosA二手,cos2A=2cos2A-l=,所以,sin(2A-B尸sin2AcosB-cos2Asin

47311V33V3

B=-x-x—=—

727214

7.(2017課標I,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為工.

3sin/l

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=l,a=3,^<AABC的周長.

解析本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換，考查學(xué)生利用三角形面積公式進行

運算求解的能力.

(1)由題設(shè)得JacsinB=(■:，即*sinB=-^-.

23sm423sin4

由正弦定理得工sinCsinB二出土.

23sin4

故sinBsinC=|.

(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-|,

即cos(B+C)=+.所以B+C號，故A=g.

由題設(shè)得工bcsinA=——，即bc=8.

23sin4

由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=V33.

故4ABC的周長為3+V33.

思路分析(1)首先利用三角形的面積公式可得;acsinB=《=,然后利用正弦定理.把邊轉(zhuǎn)化成

23SIIL4

角的形式，即可得出sinBsinC的值;⑵首先利用sinBsinC的值以及題目中給出的6cosBcos

C=l,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出

be的值，最后利用余弦定理求出b+c的值，進而得出△ABC的周長.

方法總結(jié)解三角形的綜合應(yīng)用.

(1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式.以便進一步化簡計

算例如4瑞csin8=占變形為:sinCsinB=^-.

23sin7l23sin/l

第13頁共26頁

(2)三角形面積公式:S=；absinC=|acsinB=|bcsinA.

⑶三角形的內(nèi)角和為兀這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡中起到消元的作用，例如:在△ABC

中,sin(B+C尸sinA.

8.(2016課標I,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+

bcosA)=c.

⑴求C;

⑵若c=V7,AABC的面積為竽，求△ABC的周長.

解析(1)由已知及正弦定理得，

2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCeosC=sinC.

可得cosC《,所以C=：.

(2)由已知，得gabsinC=字又C=g,所以ab=6.

由已知及余弦定理得,a2+t?2-2abcosC=7.

故a?+b2=13,從而(a+b)2=25.，a+b=5.

所以△ABC的周長為5+V7.

9.(2015課標H,17,12分)△ABC中,D是BC上的點,AD平分NBAC,AABD面積是△ADC面

積的2倍.

⑴求嚶

')sin0C

(2)若AD=1,DC=號，求BD和AC的長.

解析(1)SAABD=~AB-ADsinZBAD,

SAADC=|AC-ADsinZCAD.

因為SAABD=2SAADC,ZBAD=ZCAD,所以AB=2AC.

由正弦定理可得sinOf;AC1

sinSCAB2

(2)因為SAABD:SAADC=BD：DC,

所以BD=V2.

在^ABD和4ADC中,由余弦定理知

AB2=AD2+BD2-2ADBDCOSZADB,

AC2=AD2+DC2-2ADDCCOSZADC.

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由⑴知AB=2AC,所以AC=1.

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C組教師專用題組

考點一正弦、余弦定理的應(yīng)用

1.（2013北京文,5,5分）在小ABC中,a=3,b=5,sinA=g,則sinB=（）

A.1B.gC,YD.l

答案B

2.（2017山東,9,5分）在4ABC中，角A,B;C的對邊分別為也,<:.若4ABC為銳角三角形，且滿足

sinB（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是（）

A.a=2bB.b=2a

C.A=2BD.B=2A

答案A

3.（2016天津,3,5分）在^ABC中，若AB=713,BC=3,Z0120。,則AC=（）

A.lB.2C.3D.4

答案A

4.（2015天津,13,5分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為

3V15,b-c=2,cos則a的值為

答案8

5.（2015廣東,11,5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=V5,sinB=；,C=3則

b=.

答案1

6.（2014北京,12,5分）在4ABC中,a=l,b=2,cosC=；則c=;sinA=.

4------------------

答案2;當(dāng)

7.（2012北京文,11,5分）在4ABC中，若a=3,b=V3,ZA=],則NC的大小為.

答案；

8.（2012北京,11,5分）在4ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=」，則b=.

4---------

答案4

第15頁共26頁

9.(2011北京,9,5分)在^ABC中，若b=5,ZB=-,tanA=2,則sinA=;a=.

4--------------------------------------

答案^；2V1O

10.(2015安徽16,12分)在4ABC中/A=空,AB=6,AC=3近，點D在BC邊上,AD=BD,求AD

4

的長.

解析設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccoszBAC=(3V2)2+62-2x3V2x6xcos史=18+36-(-36)=90,所以

4

a=3V10.

又由正弦定理得sinB二誓"=島=噂，

由題設(shè)知所以cosB=Vl-sin2B=

ABsinB6sinB

在4ABD中,由正弦定理得AD=

sin(ir-2fi)2sinScosB

考點二解三角形及其綜合應(yīng)用

1.（2014江西,4,5分）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=（a-b）2+6,Cq,則

△ABC的面積是（）

A.3B.—C.—D.3V3

22

答案C

2.（2018江蘇,13,5分）在4ABC中，角A.B.C所對的邊分別為a,b,c,NABC=120°,ZABC的平分

線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案9

3.（2014山東,12,5分）在4ABC中，已知說?衣=tanA,當(dāng)A=^時,△ABC的面積為.

6

答案

4.（2014四川,13,5分）如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,

此時氣球的高是46m,則河流的寬度BC約等于m.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.

參考數(shù)據(jù):sin67°=0.92,cos67°=0.39,sin370=0.60,cos37°=0.80,V3=1.73）

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答案60

5.(2016浙江,16,14分)在^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.

⑴證明:A=2B;

(2)若4ABC的面積S=。,求角A的大小.

解析(1)證明:由題意及正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,

故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,

于是sinB=sin(A-B).又A,B￡(0,兀)，故0<A-B<n,

所以B=7t-(A-B)或B=A-B,

因此A=TC(舍去)或A=2B,

所以,A=2B.

⑵由S二上得UbsinC=上，故有sinBsinC=-sin2B=sinBcosB.又sinBxO,所以sinC=cosB.

4242

因為B,CW(0,n),所以C=找B.

當(dāng)B+C=；時,A=；;當(dāng)C-B=軻,A=；.

綜上,A=；或今

6.（2014湖南,18,12分）如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=夕.

⑴求coszCAD的值;

(2)若coszBAD=1,sinNCBA=1^，求BC的長.

解析（1）在4ADC中,由余弦定理得

ZIC2+AD2-CD2_7+1-4_2V7

cosZCAD=2ACAD~2y/7~7"

(2)設(shè)NBAC=a,貝ija=ZBAD-ZCAD.

因為coszCAD=—,cosZBAD=--,

714

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所以sinzCAD=Vl-cos20CAD=

于是sina=sin(ZBAD-ZCAD)

=sinZBADcosZCAD-cosZBADsinZCAD

二3舊乂24(_②

X......——.

-147\14/72

BC_AC

在△ABC中，由正弦定理，得

sinasiniaCB/1

故BC=^W=3.

sin團CB4v21

6

7.(2014北京,15,13分)如圖，在△ABC中/B=；,AB=8,點D在BC邊上，且CD=2,cosZADC=1.

(1)求sinZBAD;

(2)求BD,AC的長.

解析(1)在4ADC中，因為cosNADC-i

所以sinzADC=手.

所以sinzBAD=sin(ZADC-ZB)

=sinZADCcosB-cosZADCsinB

47311x/33x/3

='X---X—=------.

727214

(2)易知sinzADB=sin(;t-ZADC)=sinNADC=^，在△ABD中,由正弦定理得

ncABsin^BAD8x—

BD=-----------"-3.

sin^ADB也

7

在^ABC中,由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBC-COSB=82+52-2x8x5xi=49.

2

所以AC=7.

思路分析⑴先得到sinzADC的值和NBAD=ZADC-ZB,再用兩角差的正弦公式求值.(2)

在4ABD中利用正弦定理求BD,然后在△ABC中利用余弦定理求AC.

第18頁共26頁

評析本題考查了三角恒等變換，及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、運算求解能力.

【三年模擬】

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.（2019北京西城一模文.5）在AABC中，已知a=2,sin（A+B）=：,sinA=；,則c=（）

34

84

A.4B.3C.-D.-

33

答案c

2.（2019北京朝陽一模文4,5分）已知在△ABC中/A=120°,a=Vn,AABC的面積為VI若b<c,

則c-b=（）

A.V17B.3C.-3D.-V17

答案B

二、填空題（每小題5分，共30分）

3.（2019北京房山一模,11,5分）在小ABC中，已知BC=6,AC=4,sinA=*則NB=.

答案;

O

4.（2019北京東城一模,10）在4ABC中，若bcosC+csinB=0,則NC=.

口木4

5.（2019北京海淀一良10）在4ABC中,a=4,b=5,cosc=_________,SAABC=_________.

8

答案6;?

4

6.（2018北京海淀二模,12）在4ABC中,a：b：c=4：5：6,則tanA=.

答案y

7.（2019北京豐臺期末,10）在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a>b,且企a=2bsinA廁

B=.

口采4

8.（2020屆北師大附中期中,11）設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin

A=5sinB,則NC=.

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答案T

三、解答題（共140分）

9.（2019北京石景山一模,16）在仆ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=2a,c=3,cosB=g

⑴求sinC的值；

(2)求4ABC的面積.

解析⑴在△ABC中,cosB=f,

sinB=Vl-cos2B=Jl-(-=苧.

由b=2g,c=3,及白=￡得袈=告,?.sinC=乎.

smBsinC”丁sinC3

(2)由b2=a2+c2-2accosB得12=a2+9-2x3ax(-Aa2+2a-3=0,ft?#a=l或a=-3(舍),

?c1?n11c2V2K

..SAABC=2acsinB=-X1x3x—=V2.

10.（2019北京通州期末.15）如圖，在△ABC中,NA=；,AB=4,BC=g,點D在AC邊上，且

4

cosZADB=--.

3

(1)求BD的長；

(2)求4BCD的面積.

解析（1）在4ABD中，因為cosZADB=-j,

所以sinZADB考

由正弦定理得一嘰=/一，

sir^BADsin^ADB

AV2

ASsin(3BAD4x—

所以BD=-：--------------=----^-=3

si-nZ--A-DB272,

3

(2)因為NADB+ZCDB=?t,

所以coszCDB=cos(7t-zADB)=-COSNADB=g,

所以sinZCDB=學(xué).

在4BCD中，由BC2=BD2+CD2-2BDCDCOSZCDB,

第20頁共26頁

得17=9+CD2-2X3XCDX|,

解得CD=4或CD=-2(舍).

所以△BCD的面積S=|BDCDsinZCDB

2X3X4X延=4也

23

11.(2019北京西城期末,15)在4ABC中,a=3,b=2連,B=2A.

(1)求cosA的值;

(2)試比較B與C的大小.

解析⑴在△ABC中,a=3,b=2佩B=2A,由三=吃,得吃=苦，即吃下平二解得cosA=g

smAsinBsiMsm2/isin/l2sinAcos43

(2)由AW(0,;t)，得sinA=Vl-cos2A=y.

因為B=2A,所以cosB-cos2A-2cos2A-l=|.

所以sinB=Vl-cos2B=^.

又因為A+B+CF,

所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=彳.

所以cosB>cosC.

又因為函數(shù)y=cosx在(0㈤上單調(diào)遞減，且B,CG(0,TT),

所以B<C.

12.(2020屆北京朝陽期中,17)在4ABC中,AB=24,點P在BC邊上，且NAPC=6(T,BP=2.

(1)求AP的值；

⑵若PC=1,求sinzACP的值.

解析(1)VZAPC=60°,.,.ZAPB=120°,

在^ABP中,AB=2VT,BP=2,NAPB=120。,由余弦定理得AB2=AP2+BP2-2APBP-cosZAPB,即

28=Ap2+4-2APx2x(-m，；.AP?+2AP-24=0,解得AP=4或AP=6(舍).

(2)在4APC中,AP=4,PC=1,NAPC=60°,

工AC2=AP2+PC2-2APPCCOSZAPC=16+l-2x4x底=13,.AAC=V13,

又=AC

人sinEWCp—siiWlPC'

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46L

/lPsinMPC_4x~y_2回

.sinzACP=-AC-VT313

13.（2019北京清華大學(xué)中學(xué)生標準學(xué)術(shù)能力測試,17）在小ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,a=3,cosC=-/,5sin(B+C)=3sin(A+C).

⑴求c;

⑵求sin(B-f的值.

解析⑴由5sin(B+C)=3sin(A+C)得5sinA=3sinB,

二由正弦定理得5a=3b.

".'a=3,/.b=5.

c2=a2+b2-2abcosC=32+52-2x3x5x(-￡)=36,

c=6.

(2)在4ABC中,由余弦定理得COSB==^Q],

2ac9

?.D_2VH

??sinB-----,

9

.fn-n11n-H2\/14-5\/3

..sinn--=sinBcos-cosBsin-=---------.

\3/3318

14.(2020屆北師大附中期中,16)在仆ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且a2=b2+c2+bc.

⑴求A的大?。?/p>

⑵若sinB+sin01力=2,試求4ABC的面積.

解析(1),-*a2=b2+c2+bc,

，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可知,cosA=-1,

又A￡(0,兀),?，.A號

(2)*/sinB+sinC=l,.*.sinB+sin(；?B)=l,

sinB+sin--cosB-cos-sinB=l,

33

B+|sinB=l,

.\sin(B+；)=1,

：8是4ABC的內(nèi)角，

B=-,/.C=7t-A-B=-,?\c=b=2,

6'6''

SAABc=jbcsinA=1x2x2Xy=V3.

第22頁共26頁

15.(2019北京東城期末,15)在4ABC中,&csinA