上海市曹楊第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

曹楊二中高三月考數(shù)學(xué)試卷2024.10一.填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)1.設(shè).若為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則a=__________.【答案】-2【解析】【分析】先將展開(kāi)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)純虛數(shù)的概念來(lái)求解的值.展開(kāi),因?yàn)椋栽娇苫癁?因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以實(shí)部，解得.此時(shí)虛部，符合純虛數(shù)的定義.故答案為：-22.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.【答案】.【解析】【分析】令即可求出的取值范圍，從而可求出函數(shù)的定義域.解：令，即，所以，故答案為:.3.某校高三年級(jí)共有學(xué)生525名，其中男生294名，女生231名.為了解該校高三年級(jí)學(xué)生的體育鍛煉情況，從中抽取50名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.若采用分層隨機(jī)抽樣的方法，則要抽取男生的人數(shù)為_(kāi)_________.【答案】28【解析】【分析】由分層抽樣的性質(zhì)結(jié)合題意計(jì)算即可；由題意可得，要抽取的男生人數(shù)為人.故答案為：28.4.設(shè)，若圓的面積為，則__________．【答案】3【解析】【分析】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程得出半徑，根據(jù)面積建立等式即可求解．由題意得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的半徑為，圓的面積為，解得：，故答案為：．5.在無(wú)窮等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，記，則______．【答案】##【解析】【分析】由題意求得，利用等比數(shù)列的求和公式求得，再利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求得的值．由題意可得，則，，故有，故答案為：．6.設(shè)，，若函數(shù)，的最大值為1，但最小值不為，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得-π3詳解】當(dāng)時(shí)，，由題意可知，-π3ω>-故答案為：.7.已知m為非零常數(shù)．若在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)是的系數(shù)的8倍，則m=______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理分別求出展開(kāi)式中含的項(xiàng)，然后根據(jù)已知建立方程即可求解．展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，含的項(xiàng)為，所以由題意可得，解得.故答案為：．8.設(shè)是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則x+2y的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)與端點(diǎn)值，比較即可求解.由題意可得，令，則令g'(x令,則故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故故答案：.9.設(shè)，，則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先分別寫(xiě)出和時(shí)的表達(dá)式，再分別解這兩種情況下的不等式，最后將解集合并.當(dāng)時(shí),首先求出的表達(dá)式，因?yàn)椋鶕?jù)，而，所以，則.然后解不等式，即，移項(xiàng)得到.對(duì)于二次函數(shù)，其判別式，且二次項(xiàng)系數(shù)，所以恒成立，所以時(shí)不等式解為.當(dāng)時(shí),求出的表達(dá)式，因?yàn)?，根?jù)的定義.解不等式，即，移項(xiàng)得到，因式分解得.解為，又，所以此時(shí)不等式解為.故答案為：.10.已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，M是的內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)的坐標(biāo)，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)和三角函數(shù)的有界性計(jì)算即可求得．以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，的中垂線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈冗叺倪呴L(zhǎng)為6，所以的內(nèi)切圓圓心在上，半徑，則，，，，，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：．11.若一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)碼從左至右是嚴(yán)格增或嚴(yán)格減的，則稱該數(shù)為“嚴(yán)格單調(diào)數(shù)”.在不大于4000的四位數(shù)中，“嚴(yán)格單調(diào)數(shù)”共有__________個(gè).【答案】112【解析】【分析】分成逐漸增大和逐漸減小兩種情況，注意先選后排（“嚴(yán)格單調(diào)數(shù)”選出來(lái)不需要排，自動(dòng)排列）.先考慮從左往右逐漸增大的情況，因?yàn)椴怀^(guò)4000，所以分成千位數(shù)取值為1，2，3三種情況考慮：若千位數(shù)為1，則后面百位，十位，個(gè)位數(shù)字比1大，從剩下8個(gè)數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9中選3個(gè)不重復(fù)的從左到右依次增大，共有種選法；若千位數(shù)為2，則后面百位，十位，個(gè)位數(shù)字比2大，則從剩下7個(gè)數(shù)字3,4,5,6,7,8,9中選3個(gè)不重復(fù)的從左到右依次增大，共有種選法；若千位數(shù)為3，則后面百位，十位，個(gè)位數(shù)字比3大，則從剩下6個(gè)數(shù)字4,5,6,7,8,9中選3個(gè)不重復(fù)的從左到右依次增大，共有種選法；再考慮從左往右逐漸減小的情況，因?yàn)椴怀^(guò)4000，所以千位數(shù)取值為3，則后面百位，十位，個(gè)位數(shù)字比3小，則從剩下3個(gè)數(shù)字0,1,2中選3個(gè)不重復(fù)的從左到右依次減小，共有種選法；所以一共有個(gè).故答案：112.12.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與Γ交于P、Q兩點(diǎn)．若，且，則Γ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，設(shè)PF設(shè)PF2=，則，，即，，整理得：，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，取等號(hào)，為最小值，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值，故答案為：．二.選擇題(本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)13.已知，則“(k∈Z)，是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別判斷當(dāng)時(shí)的值，以及當(dāng)時(shí)的取值情況.判斷充分性當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，.所以由能推出，充分性成立.判斷必要性當(dāng)時(shí)，，滿足的不只是，還有情況.所以由不能推出，必要性不成立.是的充分非必要條件.故選：A.14.若，且，則必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解即可.解：因?yàn)?，且，所以，，令，，由于，所以，為偶函?shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B15.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且，，則該四棱錐的高是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意作圖，根據(jù)四棱錐的幾何性質(zhì)，利用勾股定理，建立方程，可得答案.由題意，作平面，垂足為，在平面內(nèi)，作，垂足為，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：設(shè)，在中，，則，，在中，，在中，，在正方形中，易知，，則，在中，，在中，，則，解得.故選：B.16.已知定義在上的函數(shù)滿足:對(duì)任意，都有.若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限的n(n∈N)個(gè)，則n的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合題設(shè)可得，進(jìn)而求解.由題意，對(duì)任意，都有，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則，即，所以，即，設(shè)，則函數(shù)為開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，且，，所以函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為2個(gè).故選：B.三.解答題(本大題共有5題，滿分78分)17.如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合.設(shè)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是圓弧AB的中點(diǎn).（1）若圓錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積，求該幾何體的體積；（2）若圓錐的高為1，求直線PB1與平面PAC所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)圓錐側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的求出圓錐的高，再計(jì)算幾何體的體積.（2）涉及線面角的概念，線面角是直線與平面所成的角，可通過(guò)向量法求解.先建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再求出直線的方向向量，最后根據(jù)向量夾角公式求出線面角.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的高為.已知圓錐底面半徑，圓柱底面半徑，圓柱高.圓錐側(cè)面積，圓柱側(cè)面積.因?yàn)閳A錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積，所以，解得.根據(jù)圓錐的母線，底面半徑，由勾股定理可得圓錐的高.圓錐體積.圓柱體積.該幾何體的體積.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閳A錐的高為，底面半徑為，所以圓錐的母線長(zhǎng).以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.，，.設(shè)平面的法向量.則，令，則，，所以.設(shè)直線與平面所成角為.則.所以直線與平面所成角.18.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．設(shè)向量，，已知．（1）求角A的大小；（2）設(shè)D為邊上一點(diǎn)，且，若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)建立等式，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理求得，再次使用余弦定理求得，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解．【小問(wèn)1詳解】，即．在中，由正弦定理得，即．由于B為三角形內(nèi)角，故，上式即．由于A為三角形內(nèi)角，解得．【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得，故．再由余弦定理，得．因此．19.企業(yè)經(jīng)營(yíng)一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構(gòu)成，生產(chǎn)成本固定為每臺(tái)130元．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬(wàn)臺(tái)時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品的銷售收入為萬(wàn)元，其中．（1）若甲企業(yè)獨(dú)家經(jīng)營(yíng)，其研發(fā)成本為60萬(wàn)元，求甲企業(yè)能獲得利潤(rùn)的最大值；（2）若乙企業(yè)見(jiàn)有利可圖，也經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬(wàn)元．試問(wèn)：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)獲得的利潤(rùn)最大；（假設(shè)甲企業(yè)按照原先最大利潤(rùn)的產(chǎn)量生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變）（3）由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益，因此會(huì)作相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會(huì)隨之作出調(diào)整…，最終雙方達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡(在對(duì)方當(dāng)前產(chǎn)量不變的情況下，己方達(dá)到利潤(rùn)最大)，求動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量．【答案】（1）1965萬(wàn)元（2）萬(wàn)臺(tái)（3）30萬(wàn)臺(tái)【解析】【分析】（1）設(shè)甲企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品產(chǎn)量萬(wàn)臺(tái)，獲得的利潤(rùn)為，則，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值．（2）設(shè)乙企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品產(chǎn)量萬(wàn)臺(tái)，獲得的利潤(rùn)為，則，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值．（3）設(shè)甲、乙企業(yè)的產(chǎn)量分別為，萬(wàn)臺(tái)，各自獲得的利潤(rùn)分別為，，則，，利用導(dǎo)數(shù)求出，均取得最大值時(shí)，的值即可．小問(wèn)1詳解】設(shè)甲企業(yè)的產(chǎn)量為x萬(wàn)臺(tái)，利潤(rùn)為萬(wàn)元，則．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值1965．因此當(dāng)甲企業(yè)的產(chǎn)量為45萬(wàn)臺(tái)時(shí)，其獲得的利潤(rùn)取最大值1965萬(wàn)元．【小問(wèn)2詳解】設(shè)乙企業(yè)的產(chǎn)量為x萬(wàn)臺(tái)，利潤(rùn)為萬(wàn)元，則故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值．因此當(dāng)乙企業(yè)的產(chǎn)量為萬(wàn)臺(tái)時(shí)，其獲得的利潤(rùn)取最大值萬(wàn)元．【小問(wèn)3詳解】設(shè)甲、乙企業(yè)的產(chǎn)量分別為，萬(wàn)臺(tái)，各自獲得的利潤(rùn)分別為，，則，，動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，，均取得最大值，則，，解得，即動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，甲、乙企業(yè)各自的產(chǎn)量是萬(wàn)臺(tái)．20.已知雙曲線的離心率，左頂點(diǎn)，過(guò)C的右焦點(diǎn)F作與x軸不重合的直線l，交C于P、Q兩點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）求證：直線、的斜率之積為定值；（3）設(shè)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)得出和，再結(jié)合即可求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線的方程消元，設(shè)Px1,y1、Qx（3）利用條件找到，設(shè)，根據(jù)計(jì)算得出，再利用（2）的等式化簡(jiǎn)得出，即可證明．【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c．由題意知．故，因此．【小問(wèn)2詳解】由題意知．設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立得．設(shè)Px1,y1故直線、的斜率之積為．【小問(wèn)3詳解】由題意知，得．設(shè)，則．即．由于，上式即，解得．利用(*)式，得，因此存在定點(diǎn)滿足題目要求．21.給定函數(shù)y=fx，若點(diǎn)P是曲線y=fx的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為函數(shù)y=fx的“正交點(diǎn)”.（1）若，求證：；（2）若，求證：函數(shù)y=fx的所有“正交點(diǎn)（3）設(shè)，，記函數(shù)y=fx的圖像上所有點(diǎn)組成的集合為N.若，求a的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）假設(shè)存在，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出矛盾即可；（2）設(shè)“正交點(diǎn)”是曲線y=fx在與處切線的交點(diǎn)，求出切線方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由切線互相垂直求出即可求解；（3）設(shè)曲線y=fx在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則有，代入整理解出，再由兩條切線垂直得到并設(shè)整理后結(jié)合二次函數(shù)求解即可；【小問(wèn)1詳解】由題意知函數(shù)y=fx的定義域，且對(duì)任意的，都有，因此.【小問(wèn)2詳解】設(shè)“正交點(diǎn)”是曲線y=fx在與處切線的交點(diǎn).由于