電磁場與電磁波（第五版）完整全套教學(xué)課件

1.1節(jié)矢量及其代數(shù)運(yùn)算1.2節(jié)圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.3節(jié)矢量場1.4節(jié)標(biāo)量場1.5節(jié)亥姆霍茲定理本課件是可編輯的正常PPT課件全套教學(xué)課件第1章矢量分析與場論1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算本節(jié)要點(diǎn)標(biāo)量與矢量矢量的代數(shù)運(yùn)算本課件是可編輯的正常PPT課件1.標(biāo)量與矢量◆標(biāo)量(scalar)--一個(gè)僅用大小就能夠完整地描述的物理量如：電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等◆矢量(vector)----

一個(gè)有大小和方向的物理量如：電場、磁場、力、速度、力矩等本課件是可編輯的正常PPT

課件(1)矢量的表示◆矢量的一般表示A=aA代表矢量A

的方向◆a為單位矢量(unit

vector)◆

A=0,空矢(nullvector)或零矢(zerovector)本課件是可編輯的正常PPT課件矢量A的大小(2)位置矢量(positionvector)●從原點(diǎn)指向空間任一點(diǎn)P

的矢量，稱為位置矢量。o位置矢量能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)P

的位置矢量●任一矢量可以表示為：本課件是

可編輯

E

常

PPT課件結(jié)論：矢量的加減運(yùn)算同向量的加減，

符合平行四邊形法則。本課件是可編輯的正常PPT課件(3)矢量的代數(shù)運(yùn)算加法和減法矢量的乘積1.矢量的加法和減法矢量的代數(shù)運(yùn)算結(jié)論■如果兩個(gè)不為零的矢量的點(diǎn)積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互垂直。■在直角坐標(biāo)系中本課件是可編輯的正常PPT課件也稱為標(biāo)量積(scalar

product)。它等于一個(gè)矢量在

另外一個(gè)矢量上投影與該矢量大小之乘積。(1)點(diǎn)積(dotproduct)A·B=ABcosθ2.矢量的乘積0.785398矢量的標(biāo)量積本課件是可編輯的正常PPT課件A=

{0.1}B={1.06066,1.06066}(2)叉積(cross

product)任意兩個(gè)矢量的叉積是一個(gè)矢量，故也稱為矢量積。方向垂直于矢量A

與B

組成的平面，且A

、B與C成右手螺旋關(guān)系A(chǔ)本課件是可編輯的正常PPT課件大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們的夾角的正弦之乘積=Q

ABsinθoC=A×BBNotebook$$13

日a

1.76408AxB1.472071.5AxB

ABsin1.00.53.0本課件是可編輯的正常PPT課

件矢量的叉積(2)叉積(續(xù))◆在直角坐標(biāo)系中，叉積還可以表示為結(jié)論o如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量

必然相互平行。o在直角坐標(biāo)系中本課件是可編輯的正常PPT課件結(jié)論◆矢量的加減運(yùn)算同向量的加減，符合

平行四邊形法則。◆任意兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，任

意兩個(gè)矢量的叉積是一個(gè)矢量◆如果兩個(gè)不為零的矢量的點(diǎn)積等于零，

則這兩個(gè)矢量必然相互垂直?！羧绻麅蓚€(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行。本課件是可編輯的正常PPT

課件●圓柱坐標(biāo)系●球坐標(biāo)系●與直角坐標(biāo)系的關(guān)系1.2

圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系本課件是可編輯的正常PPT課件本節(jié)要點(diǎn)XX本課件是可編輯的正常PPT課件1.1圓柱坐標(biāo)系φ=常數(shù)yz=常數(shù)P點(diǎn)x=pcosφy=psinz=zp=

常數(shù)Z圓柱坐標(biāo)系6.28319Z-0.655x=1.00,y=0.00,z=-0.66

p=1.00,φ=360.00,z=-0.661.2圓柱與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系本課件是可編輯的正常PPT課件(2)圓柱坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)◆圓柱坐標(biāo)系中任意點(diǎn)P

沿p、φ和

z方向的長度增量它們與各自坐標(biāo)增量之比分別為拉梅系數(shù)(lameconstant)本課件是可編輯的正常PPT課件z=常數(shù)dSφ=常數(shù)p

=常

數(shù)xX

dV

pd(

0本課件是可編輯的正常PPT課件(3)圓柱坐標(biāo)系的積積分用拉梅系數(shù)表達(dá)是否更容易記憶?Z0Xr=rayX2.1球坐標(biāo)系x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθyφ

=

常

數(shù)本課件是可編輯的正常PPT課件Z

θ=常數(shù)P點(diǎn)φr7球坐標(biāo)系a2.55726

a2.48875x=-0.44,y=0.34,z=-0.832.2-1球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換(1)單位矢量之間的轉(zhuǎn)換本課件是可編輯的正常PPT課件(2)球坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)口空間一點(diǎn)沿r

、和φ方向的長度增量分別為◆球坐標(biāo)中的拉梅系數(shù)為本課件是可編輯的正常PPT課件(3)球坐標(biāo)系的積分XdV=r

2

sinθdrdodφ本課件是可編輯的正常PPT課件1.3矢量場(vectorfield)◆賦予物理意義的矢性函數(shù)稱為矢量場◆本節(jié)要點(diǎn)●矢量線o通量和散度●環(huán)量和旋度本課件是可編輯的正常PPT課件如：靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等矢量線的方程為A×dr=0在直角坐標(biāo)系中，其表達(dá)式為力線圖PT課件1.矢量線(vectorline)所謂矢量線，乃是這樣一些曲線，在曲線上的每一

點(diǎn)處，場的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn),它在空間任一點(diǎn)處所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度矢量為式中,q和ε

線均為常數(shù)內(nèi)場點(diǎn)的位置矢量。求的矢量方程并畫出矢量線圖。解:矢量線方程為得本課件是可編輯的正常PPT課件例1-2設(shè)無限長直線通有電流I,

方向沿z軸，它所產(chǎn)生的磁場在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式為試畫出矢量線圖◆解：其矢量線圖為討論◆如果將產(chǎn)生場的物理量稱為源，有標(biāo)量源和矢

量源；◆點(diǎn)電荷為標(biāo)量源，它所產(chǎn)生的場是從源點(diǎn)出發(fā)

的發(fā)散場?！粑覀兪欠窨梢缘玫浇Y(jié)論：由標(biāo)量源所產(chǎn)生的場

均為發(fā)散場，或者稱為無旋場?◆

電流源為矢量源，它所產(chǎn)生的場是連續(xù)的，或

者說是有旋的場?◆實(shí)際上，后面的分析就會(huì)證明上述結(jié)論的正確。本課件是可編輯的正常PPT

課件dS=ndSA·dS=AcosθdS矢量場A

與面元dS

的標(biāo)量積---通量通過閉曲面的總通量可表示為本課件是可編輯的正常PPT課件2.通量(flux)單位矢量n為面元dS

的外法向矢量ndS面元矢量矢量場的通量本課件是可編輯的正常PPT課件1.19076a

-1.3577

a

0.3θφ

通量密度Fhux=0.094142討論假定矢量場A

為流體的速度，通量的物理意義：單位時(shí)間內(nèi)流體從曲面S內(nèi)穿出的正流量與從曲面S外流入的負(fù)流量的代數(shù)和?！?/p>

當(dāng)Φ>0,流出多于流入，表示在S內(nèi)必有產(chǎn)生流體的正源；·

當(dāng)Φ<0,流入多于流出，表示在S內(nèi)必有吸收流體的負(fù)源；·

當(dāng)Φ=0,流入等于流出，表示在S內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零，或者說S內(nèi)沒有源。PPT課

件矢量場在閉合面S上的通量是由S內(nèi)的源決定的，它是一個(gè)積分量3.散度(divergence)散度的定義divA為一數(shù)量，稱為該點(diǎn)處源的

強(qiáng)度。它表示場中一點(diǎn)處的通量

對體積的變化率。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式本課件是可編輯的正常PPT課件·

當(dāng)divA>0,稱為源點(diǎn)(source

point)---表

示矢量場在該點(diǎn)處有散發(fā)通量之正源；·

當(dāng)divA<0,

稱之為匯點(diǎn)(sink

point)---表

示矢量場在該點(diǎn)處有吸收通量之負(fù)源；·

當(dāng)divA=0,表示矢量場在該點(diǎn)處無源。討論divA=稱divA=0的場是連

續(xù)的(continuous)或

無散的(螺線管式)矢量場(solenoidal

vector

field)。本課件是可編輯的正常PPT課件源與匯4.哈米爾頓(Hamilton)算子矢性微分算子，在直角坐標(biāo)系中本課件是可編輯的正常PPT課件矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的

閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分本課件是可編輯的正常PPT課件5.散度定理(divergencetheorem)高斯散度定理◆在矢量場A=a

x2+a

xy+a?yz中，有一個(gè)邊長為1的立方體，它的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上，試求矢量場A的散度

從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。;解：本課件是可PPT課件編輯的正常的通量為2,且有本課件是可編輯的正常PPT課件環(huán)量(circulation)的定義●矢量的環(huán)量也是一數(shù)量·如果環(huán)量T≠0,則在內(nèi)必然

有產(chǎn)生這種場的旋渦源；·如果環(huán)量I=0,則我們說在1

內(nèi)沒有旋渦源。矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣都是描繪

矢量場性質(zhì)的重要物理量，它同樣是一個(gè)積分量。本課件是可編輯的止常PPT

課件6.環(huán)量矢量場的環(huán)量9矢量場的線積分{x,y}line

segment

circle

sinusoidline

integral

=-2.50691×10fieldpath7.環(huán)量面密度環(huán)量面密度lim△S→P·

若極限存在，則稱它為矢量場在點(diǎn)P

處

沿

方向n的

環(huán)量面密度?！と裘嬖c旋渦面間有一夾角，環(huán)量面密度總是小于最大值；·若面元與旋渦面的方向重合，則環(huán)量面密度最大；·若面元與旋渦面相垂直，則環(huán)量面密度等于零。本課件是可編輯的正常PPT課件必存在某一

固定矢量R,這個(gè)固定矢量在任意面元方向

上的投影就給

出該方向上的環(huán)量面密度!旋渦面在點(diǎn)P處沿n方向的環(huán)量面密度與旋度的關(guān)系旋渦面在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式8.旋度(curl或rotation)矢量R稱為矢量A的旋度rotA=R

o

○本課件是可編輯的正常PPT課件矢量場的旋

度仍為矢量旋度和環(huán)量面密度θV×AA

隨角度θ變化7rotA若rotA=0,則稱此矢量場是無旋的(irrotational)或保守的場(conservative)矢量場的旋度表示該矢量每單位面積的環(huán)量，它描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。本課件是可編輯的正常PPT課件a旋度的一個(gè)重要性質(zhì)：旋度的散度恒等于零!若rotA≠0,則該矢

量場是有旋的(rotational)討論龍卷風(fēng)的旋度rotA·dS它表明矢量場A圍繞

曲線邊界的線積分等于該矢量場的旋度

沿此沿曲線所包圍曲面的面積分。本課件是可編輯的正常PPT課件9.斯托克斯定理(Stokes'theorem)·d已知一矢量場F■求該矢量場的旋度■求該矢量沿如圖所示的半徑為3的四分之一圓盤的線積分，驗(yàn)證斯托克斯定理?！鼋猓簉ot本課件是可編輯的正常PPT課件圓盤的線本件的正常FT課件課◆矢量場的性質(zhì)可以用其散度和旋度來表征：■散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律；■旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律?！羧绻噶繄龅纳⒍葹榱悖瑒t該矢量場是連續(xù)的或無散的(螺線管式);如果矢量場的旋度等于零，則稱此

矢量場是無旋的或保守的。▽·B=0B=▽×A該矢量可以用另一個(gè)

矢量的旋度來表示討論本課件是可編輯的正常PPT

課件矢量場的散度等于零1.4標(biāo)量場(scalarfield)一個(gè)僅用其大小就可以完整表征的場稱為標(biāo)量場本節(jié)要點(diǎn)■等值面■方向?qū)?shù)■梯度■梯度的積分本課件是可編輯的正常PPT課件1.等值面u(x,y,z)=C稱為標(biāo)量場u的等值面，隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面.◆例如，根據(jù)地形圖上等高線及其所標(biāo)出的高度，我們就能了解到該地區(qū)的高低情況，根據(jù)等高線分布的疏密程度可以判斷該地區(qū)各個(gè)方向上地勢的陡度。本課件是可編輯的正常PPT

課件本課件是可編輯的正常PPT課件等值面與等值線標(biāo)量場在不同方向上的變化率一般說來是不同的在直角坐標(biāo)系中2.方向?qū)?shù)(directionalderivative)如果上式的極限存在，則稱它為

函數(shù)在點(diǎn)P?

處沿l方向的方向?qū)?shù)本課件是可編輯的正常PPT課件方向?qū)?shù)沿不同方向的變化率3.梯度(gradient)梯度就是變化率最大方向上的方向?qū)?shù)。gradu=Vu梯度的性質(zhì)方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影即■標(biāo)量場中每一點(diǎn)處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)增大的方向。也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。梯度的旋度恒等于零

V×Vu=0如果一個(gè)矢量場滿足V×F=0,即是一個(gè)無旋場，則該矢

量場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，即F=Vu本課件是可編輯的正常PPT課件等值線與梯度4.梯度的積分由斯托克斯定理，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零如在靜電場中，已知電場強(qiáng)度，就可求得電位函數(shù)(第二章介紹)本課件是可編輯的正常PPT課件假如選定始點(diǎn)P?

為不動(dòng)

的固定點(diǎn)(參考點(diǎn))沿閉合路徑的積

分為零等價(jià)于積

分與路徑無關(guān)，

僅與始點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)P?點(diǎn)為任意動(dòng)點(diǎn)，則P?點(diǎn)的函數(shù)值可表示為無旋場沿閉合路徑的積分結(jié)論◆一個(gè)標(biāo)量場，求其梯度得到的矢量場一定為無旋場；◆無旋場沿閉合路徑的積分一定等于零，或者說積

分與路徑無關(guān)；◆無旋場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示。◆無旋場也稱為保守場或有勢場。本課件是可編輯的正常PPT

課件1.5亥姆霍茲定理本節(jié)要點(diǎn)矢量場的散度、旋度和標(biāo)量場的梯度都是場的重要量度，亥姆霍茲定理(Helmholtztheorem)是

矢量場共同性質(zhì)的總結(jié)。本課件是可編輯的正常PPT課件亥姆霍茲定理◆矢量場的性質(zhì)，完全可以由它的散度和旋度來表

明；標(biāo)量場的性質(zhì)則完全可由它的梯度來表明?！羧绻粋€(gè)場的旋度為零，則稱為無旋場；如果一個(gè)場的散度為零，則稱為無散場?！艟褪噶繄龅恼w而言，無旋場的散度不能處處為

零；同樣無散場的旋度也不能處處為零，否則場

就不存在◆源看作是場的起因◆散度對應(yīng)發(fā)散源(divergence

source)◆旋度對應(yīng)旋渦源(rotational

source)本課件是可編輯的正常PPT

課件設(shè)一個(gè)矢量場既有散度，又有旋度，則它可以表示為一個(gè)無旋場分量和無散場分量之和，即

A=A?+A?其中無旋場分量A?

的散度不等于零，設(shè)為p,

無散場分量A?的旋度不等于零，設(shè)為J,

則▽

·AA的散度代表著形成矢量場的一種源—標(biāo)量源A

的旋度代表著形成矢量場的另一種源—矢量源。本課件是可編輯的正常PPT課件亥姆霍茲定理無旋部分a22a,3x2y

a2z矢量場a

3(22@32y

a27矢量場的分解本課件是可編輯的正岸亥姆霍茲定理告訴我們，研究任何一個(gè)矢

量場(如電場、磁場)等，

需要從散度和旋度兩個(gè)

方面去研究，或者是從

通量和環(huán)量兩個(gè)角度去

研究。一般來說，當(dāng)一個(gè)矢量場的兩類源(p

、J在空間的分布確定時(shí)，

該矢量場就唯一地

確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理。亥姆霍茲定理本課件是可編輯的正常PPT課件標(biāo)量源無旋場有勢場保守場V×A=0A=dl=0矢量源無散場有旋場連續(xù)場V·A0V×J=A=A=▽×F源和場的關(guān)系小結(jié)本課件是可編輯的正常PPT課件第2章靜電場與恒定電場2.1節(jié)電場強(qiáng)度與電位函數(shù)2.2節(jié)

真空中靜電場的基本方程2.3節(jié)電介質(zhì)的極化及介質(zhì)中的場方程2.4節(jié)導(dǎo)體的電容及電耦合2.5節(jié)靜電場的邊界條件2.6節(jié)恒定電場本課件是可編輯的正常PPT

課件2.1電場強(qiáng)度與電位函數(shù)◆靜電場(electrostatics):由靜止的且其電量不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的電場?！舯竟?jié)要點(diǎn)■點(diǎn)電荷的電場和電位分布電荷的電場和電位■電場與電位的關(guān)系■電偶極子的電位與電場本課件是可編輯的正常PPT

課件庫侖定律表明了兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用力的大小和方向點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度1.電場強(qiáng)度(electricfieldintensity)取極限是為了使引入試驗(yàn)電荷

時(shí)不致影響源電荷的狀態(tài)庫侖定律(Coulom'slaw)本課件是可編輯的正常PPT課件(1)點(diǎn)電荷的電場場點(diǎn)(觀察點(diǎn))P(x源點(diǎn)S(x',y′距離矢量

yX本課件是可編輯的正常PPT課件點(diǎn)電荷的電場◆在一個(gè)空間中存在兩個(gè)點(diǎn)電荷n個(gè)點(diǎn)電荷的電場：本課件是可編輯的正常PPT課件兩電荷的電力線本課件是可編輯的正常PPT課件線電荷密度：面電荷密度：體電荷密度：分布電荷的電場：(2)分布電荷的電場本課件是可編輯的正常PPT課件兩邊積分無限長的線電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度是一個(gè)沿徑

向發(fā)散的場，這是由源的性質(zhì)決定的電力線無限長線電荷例2-1(續(xù))如果直線無限長，

則本課件是可編輯的正常PPT課件2.電位函數(shù)(electric

potential)◆若正試驗(yàn)電荷q?

從P點(diǎn)到Q

點(diǎn)的過程中電場力所做

的功為W,則P點(diǎn)處的電位當(dāng)電荷不延伸到無窮遠(yuǎn)處時(shí)，一般把參考點(diǎn)Q

選在無窮

遠(yuǎn)處，這時(shí)P點(diǎn)處的電位本課件是可編輯的正常PPT

課件3.電位與電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度表達(dá)為某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度本課件是可編輯的正常PPT課件體電荷分布的電位：面電荷和線電荷分布的電位：電場強(qiáng)度與電位關(guān)系本課件是可編輯的正常PPT課件4.

電位表達(dá)式點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位：參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)C=0,

若源延伸到無窮

遠(yuǎn)處，參考點(diǎn)就要重新

選擇，以表達(dá)式簡捷、

有意義為原則。線電荷的電位與電場本課件是可編輯的正常PPT課件例2-2真空中一個(gè)帶電量為Q

的導(dǎo)體球，試計(jì)算球內(nèi)外的電位與電場。解：孤立的帶電導(dǎo)體球的電荷必定均勻分布于球表面上，因而它在空間產(chǎn)生的電位是球?qū)ΨQ的。為了方便，我們將場點(diǎn)選在z軸上。球面上面元dS'在場點(diǎn)產(chǎn)生的電位為V

.2

+a2-2arcosθ'本課件是可編輯的正常PPT課件帶電導(dǎo)體球的電位分布E=0導(dǎo)體內(nèi)帶電導(dǎo)體球的電場本課件是可編輯的正常PPT課件例2-2

(

續(xù)等位體導(dǎo)體球結(jié)論◆上述結(jié)果表明：■總帶電量為Q

的導(dǎo)體球產(chǎn)生的電位和電場與集中在球心處的電荷為Q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電場相同；

■

電位在r=a處是連續(xù)的，導(dǎo)體是一等電位體，它的表面是等位面；

■

導(dǎo)體球的內(nèi)部電場為零，在r=a處電由于球面上的存在面電荷的緣故；■在導(dǎo)體的表面上只有電場的法向分場有一躍變，這

是量，切向分量等于零。■這是對靜電平衡狀態(tài)下導(dǎo)體的普遍適用的結(jié)論。本課件是可編輯的正常PPT課件練習(xí)題一個(gè)半徑為a,帶電量為Q

的圓盤，試計(jì)算過圓心的軸線上任一點(diǎn)處的電位與電場.提示：ZX結(jié)果：本課件是可編輯的正常PPI課

件選擇面元dS',其上的電荷為ps

dS",由它所產(chǎn)生的電位為ZR偶極矩矢量(dipole

moment

vector)本課件是可編輯的正常PPT課件5.電偶極子(electricdipole)○相距很近的兩個(gè)等值異號的電荷。o

P

點(diǎn)的電位：電偶極子的場電偶極子的電力線與等位面根據(jù)亥姆霍茲定理，研究一個(gè)矢量，從積分的角度就是研究其通量

和環(huán)量，得到兩個(gè)基本方程的積分形式；從微分的角度就要研究其散

度和旋度，得到兩個(gè)基本方程的微分形式。高斯定律電場強(qiáng)度的環(huán)量

靜電場的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件2.2真空中靜電場的基本方程電通量與電通密度本節(jié)要點(diǎn)◆力線(line

offorce)或通量線(flux

line):

試驗(yàn)電荷在電場中移動(dòng)的路線人為地規(guī)定一個(gè)電荷產(chǎn)生

的力線條數(shù)等于用庫侖表

示的電荷的大小。力線(field

line)表示電通量。孤立正電荷的電通量線本課件是可編輯的正常PPT課件1.電通量和力線2.電通密度和電通量

電通量的性質(zhì)：與媒質(zhì)無關(guān)；大小僅與發(fā)出電通量的電荷有關(guān)；如果點(diǎn)電荷被包圍在半徑為R的假想球內(nèi)，則電通

量必將垂直并均勻穿過球面；單位面積上的電通量，即電通密度反比于R2。除了第一條外，電通量的性質(zhì)與電場強(qiáng)度相同，引入電通密度本課件是可編輯的正常PPT

課件電通量為練習(xí)題軸

上一個(gè)點(diǎn)電荷電量為q,

試計(jì)算穿過半徑為a

的圓盤的電通量.◆提示：X結(jié)果：本課件是可編輯的正常PPT

課件選擇面元dS,穿過dS的通量為RZ從封閉面發(fā)出的總電通量數(shù)值上等于包含在該

封閉面內(nèi)的凈正電荷。本課件是可編輯的正常PPT課件3.高斯定律(Gauss'

law)高斯定律(Gauss'law)◆如果封閉曲面包圍的是分布電荷，則dV利用高斯通量定理▽空間任意存在正電荷密度的點(diǎn)都發(fā)出電通量線，如果電荷密度為負(fù)，電通量線指向電荷所在的點(diǎn)。本課件是可編輯的正常PPT課件[例2-3]●用高斯定律求無限長線電荷P?

在任意點(diǎn)P

產(chǎn)生的電

場強(qiáng)度。解：

過P點(diǎn)作一單位長度的高斯柱面由于上下底面的貢獻(xiàn)為零，且在圓柱

面電通量密度D=常數(shù)本課件是可編輯的正常PPT課件練習(xí)題已知同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b,

求同軸線各區(qū)域的電場。本課件是可編輯的正常PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件小結(jié)◆已知電荷求電場強(qiáng)度有三種方法：■用電場強(qiáng)度的矢量積分式(最麻煩!!)■先求電位，再根據(jù)E=-Vφ■用高斯定理，但要想得到其解析解，要

求電荷必須對稱分布(最簡單!!!)本課件是可編輯的正常PPT

課件半徑分別為a和b,球心距離為c的兩球面間均勻分布有

體密度為pv的電荷，求空間各區(qū)域的電場強(qiáng)度。空腔本課件是可編輯的正常PPT課件練習(xí)題4.電場強(qiáng)度的環(huán)量和性質(zhì)▽×E=0電場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的積分等于零，電場強(qiáng)度為無旋

場或保守場。積分形式o

靜電場基本方程微分形式本課件是可編輯的正常PPT課件02.3電介質(zhì)的極化及介質(zhì)中的場方程本節(jié)要點(diǎn)◆極化的概念◆極化強(qiáng)度矢量◆束縛面電荷密度◆束縛體電荷密度◆本構(gòu)方程◆介質(zhì)中的場方程本課件是可編輯的正常PPT課件1.電介質(zhì)的極化(polarized)無極分子正負(fù)電荷的作用中心重合有極分子

正負(fù)電荷的作用中心不相重合而形成一個(gè)電偶極子通常所有分子等

效電偶極矩的矢量和為零本課件是可編輯的正常PPT課件極化后介質(zhì)中的合成電場E+E

'小于外加電場外加電場因因因因因士因士因士因因④因極化前不呈現(xiàn)電性本課件是可編輯的正常PPT課件(b)根化電介質(zhì)等效電偶根矩在外加電場作用下，發(fā)生了極化極化的示意圖(a)正常狀態(tài)下正負(fù)

電荷中心重合束縛電荷

產(chǎn)生的場外加電場束縛面電荷E'極化和擊穿◆在外加電場力的作用下，它們的等效電偶極矩的矢量和不為零，這種情況稱為電介質(zhì)的極化。◆極化的結(jié)果在介質(zhì)的內(nèi)部和表面形成極化電荷，這

些極化電荷在介質(zhì)內(nèi)激發(fā)與外電場方向相反的電場◆當(dāng)加大外加電場，當(dāng)電荷所受的電場力大于其內(nèi)部

束縛力時(shí)，電子將擺脫內(nèi)部束縛力而成為自由電子

,這種現(xiàn)象稱為擊穿?！魮舸﹫鰪?qiáng)：電介質(zhì)在擊穿前所能承受的最大電場強(qiáng)

度(也稱為電介質(zhì)強(qiáng)度),如空氣的擊穿場強(qiáng)為本課件是可編輯的正常PPT

課件30kV/cm2.極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度矢量(polarization

intensity

vector)某些聚合物材料極化后，即使去掉外加電場，極化強(qiáng)度

一直保留，可成為永久性極化體，稱為駐極體。在線性、均

勻、各向同性的介質(zhì)中極

化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度的關(guān)系單位體積內(nèi)的電偶極知本課件是可編輯的正常PPT課件3.極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電位◆在極化介質(zhì)中取一體積元dV,其內(nèi)的電偶極矩

為dp=PdV,

它在P產(chǎn)生的電位R=r-

=RaR本課件是可編輯的正常PPT

課件極化介質(zhì)的電位表達(dá)式對上式積分，并對第一項(xiàng)應(yīng)用散度定理本課件是可編輯的正常PPT課件如果電介質(zhì)中除了束縛電荷密度還有自由電荷密度，則自由

電荷的作用也必須考慮在內(nèi)以決定電介質(zhì)中的電場4.束縛電荷密度◆束縛面電荷密度◆束縛體電荷密度本課件是可編輯的正常PPT課件媒質(zhì)的本構(gòu)方程媒質(zhì)的介電常數(shù)對于線性各向同性媒質(zhì)

E,≥1相對介電常數(shù)在自由空間中ε=1,因此有D=

ε?E本課件是可編輯的正常PPT課件5.媒質(zhì)的本構(gòu)方程6.介質(zhì)中的靜電場方程本課件是可編輯的正常PPT課件本節(jié)要點(diǎn)■電容器的電容■雙導(dǎo)體的電容■單導(dǎo)體的電容■多導(dǎo)體系統(tǒng)的電容本課件是可編輯的正常PPT課件2.4導(dǎo)體的電容C=Q./U

ab一個(gè)導(dǎo)體上的電荷量與此導(dǎo)體相對于另一導(dǎo)體的電位之比1.雙導(dǎo)體的電容電容器(capacitor)電容(capacitance)相互接近而又相互絕緣的任意形狀的導(dǎo)

體構(gòu)成電容器本課件是可編輯的正常PPT課件任意形狀導(dǎo)體構(gòu)成的電容器(1)雙導(dǎo)線的電容設(shè)雙導(dǎo)線單位長度上的電荷為p,

由高斯定理

P點(diǎn)處電場強(qiáng)度為平行雙導(dǎo)線單位長度…的電容本課件是可編輯的正常PPT課件平行雙導(dǎo)線的電場與電容本課件是可編輯的正常PPT課件平行雙導(dǎo)線單位長電容隨線間距的變化同軸線單位長度的電容(2)同軸線的電容(練習(xí)題)本課件是可編輯的正常PPT課件2.單導(dǎo)體電容◆以單導(dǎo)線為例。設(shè)導(dǎo)線單位長度上所帶電荷

為p,

則它在空間產(chǎn)生的電場為■則單導(dǎo)線與大地間的電位差為單位長度的單導(dǎo)線與大地間的電容為本課件是可編輯的正常PPT課件3.多導(dǎo)體系統(tǒng)的電容◆當(dāng)有三個(gè)或三個(gè)以上導(dǎo)體存在時(shí)，稱之

為多導(dǎo)體系統(tǒng)。◆此時(shí)每兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓要受到其余導(dǎo)

體上電荷的影響，這時(shí)要計(jì)算系統(tǒng)中兩

導(dǎo)體之間的電容時(shí)就必須考慮其它導(dǎo)體

的存在，◆引入部分電容的概念。本課件是可編輯的正常PPT

課件口若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體上的電荷量可以表達(dá)為本課件是可編輯的正常PPT課件(1)電容系數(shù)◆在有N

個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，若已知各導(dǎo)體的電荷，則

根據(jù)電位疊加原理，各導(dǎo)體上的電位φ;可以表示為◆所有部分電容都為正值，且C=C;i。從系統(tǒng)來看，

一個(gè)多導(dǎo)體靜電系統(tǒng)等效于一個(gè)多端電容網(wǎng)絡(luò)。本課件是可編輯的正常PPT課件導(dǎo)體與大地間的自有部分電容(2)部分電容導(dǎo)體與j互有部分電容(3)考慮大地時(shí)的雙導(dǎo)線和同軸線◆導(dǎo)

地體的2等兩效端輸、入導(dǎo)電容體分對地及導(dǎo)體2對2為2地后，由以上三式即可求得各部分電容。事實(shí)上,多導(dǎo)體之間分主要布

原電因容的存在也高是速信號相系互統(tǒng)串的擾(cross-talk)的之一。在數(shù)字設(shè)計(jì)中必須予以考慮。本課件是可編輯的正常PPT課件用實(shí)驗(yàn)測得C

C

和C別2.5靜電場的邊界條件邊界條件(boundaryconditions)決定分界面兩側(cè)各場量變化關(guān)系的方程O

本節(jié)要點(diǎn)●電通量密度的法向分量●電場強(qiáng)度的切向分量●分界面上電場的方向●電位函數(shù)的邊界條件●兩種常用的媒質(zhì)分界面本課件是可編輯的正常PPT課件分界面在兩種理想電介質(zhì)之間分界面在理想電介質(zhì)與導(dǎo)體之間(媒質(zhì)2為導(dǎo)體)D?n=Ps本課件是可編輯的正常PPT課件1.電通量密度的法向分量在兩種媒質(zhì)的分界面上作一高度趨于零的高斯面在兩種媒質(zhì)的分界面上作一寬度h趨于零、長度為△l的矩形a,為分界面的切線方向，n

為分界面的法線，s為有向閉合路徑的法線方向，它們的關(guān)系為S×

n

=a2t本課件是可編輯的正常PPT課件2.電場強(qiáng)度的切向分量討論分界面為兩種理想電介質(zhì)時(shí)，分界面上電場的方向滿足tanθ?/tanθ?=E?

C?一

般情況下，在兩種不同介質(zhì)的分界面上，電場強(qiáng)度和電通量密度一定要改變方向；只有當(dāng)θ?或θ?等于零時(shí)，分界面上的電場方向才不改變，象平行板、同軸線和同心球中的電場就是這種情況。本課件是可編輯的正常PPT

課件[例2-4]◆平行板電容器的長和寬分別為a和b,板間距離為d,

電容器的

一半厚度用介電常數(shù)為ε的玻璃介質(zhì)填充，另一半為空氣，若板

上外加電壓為U?,

求■分別求出有介質(zhì)填充區(qū)域和無填充區(qū)域

中

的

電

場

強(qiáng)

度

，■板上及分界面上的自由面電荷密度、束

縛電荷密度電容器的電容量

平行板電容器■若玻璃的相對介電常數(shù)ε=7,絕緣強(qiáng)度為60kV/cm,

空

氣的絕緣強(qiáng)度

為30kV/cm,

板間距離為d=0.5cm,

當(dāng)兩極板間接電壓為10kV

時(shí)電容器是否會(huì)擊穿?解

：

由

邊

界

條

件本課件是可編輯的正常PPT課件例2-4](續(xù))域中的電場強(qiáng)度分別E?E?兩區(qū)為平行板電容器上極板(z=d)上自由電荷面密度下極板(z=0)上自由電荷面分界面上的自由電荷面密度為零介質(zhì)中的極化強(qiáng)度本課件是可編輯的正常PPT課件[例2-4]續(xù)在z=d/2和z=0處介質(zhì)上的束縛電荷面密度Z結(jié)論：介質(zhì)中的電場強(qiáng)度小于真空中的電場強(qiáng)度，這是由于介質(zhì)表面的束

縛電荷產(chǎn)生的電場與外加電場相反所致，且介質(zhì)填充后電容器的電容增大。本課件是可編輯的正常PPT課件電容器的總電荷和電容d

E?

E?E?介質(zhì)[例2-4]續(xù)將ε,=7

和d=0.5cm及U,代入電場的表達(dá)式得可

見

，E?大于空氣的絕緣強(qiáng)度，空氣介質(zhì)被擊

穿。空氣擊穿后，玻璃板承受全部電壓，其場強(qiáng)為由于E′<60kV/cm,所

以玻璃介質(zhì)不會(huì)被擊穿。

本課件是可編輯的正常PPT

課件兩層同軸線的電場兩層同軸線內(nèi)的電力線與等位線兩層同軸持分界面上電場p=b邊界十

床

1

十EH

牛

耳AJ

幣

廠

廠II

十2.6恒定電場(steady

field)恒定電場：恒定電流在空間中存在的電場。它是由作恒定運(yùn)動(dòng)但不隨時(shí)間變化的分布電荷所產(chǎn)生的。本節(jié)要點(diǎn)■電流與電流密度■恒定電場的基本方程■接地電阻

■電動(dòng)勢■邊界條件■恒定電場與靜電場的比較本識設(shè)空間分布的電荷在電場作用下作定向運(yùn)動(dòng)，在該體積

空間中任取一個(gè)面積S,

若在時(shí)間內(nèi)穿過△t的電量為△q,

則電流的大小定義為恒定電流(steady

current)-----若電荷流動(dòng)的速度不變，即電流是一個(gè)標(biāo)量，從場的觀點(diǎn)來看，它是一個(gè)具有通量概念的量，它沒有表明導(dǎo)體橫截面上每一點(diǎn)的電流分布狀況。1.電流本課件是可編輯的正常PPT課件■

J的方向規(guī)定為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向電荷流動(dòng)的空間是一個(gè)電流密度矢量場，場中任意面積上通過的電流量為2.電流密度(currentdensity)在垂直于電荷流動(dòng)的方向上取一面積元△S,若

流

過△S的電流為△I,

電流密度矢量J的大小電流密度與電流的關(guān)系，就是一個(gè)

矢量場與它的通量的關(guān)系本課件是可編輯的正常PPT課件體電流密度線

電

流—

—

當(dāng)電荷在一根很細(xì)的導(dǎo)線中流過或電荷通過的橫截

面很小時(shí)，可以把電流理想看作為線電流I。不論是體電流、面電流還是線電流，它們的大小都正比于相應(yīng)電荷

的運(yùn)動(dòng)速度，方向均為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向。本課件是可編輯的正常PPT課件則定義面電流的線密度矢量Js的大小為面電流與體電流的概念的區(qū)別!Js

的方向仍為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向。電流密度(currentdensity)在垂直于電荷流動(dòng)的方向上取一線元△l,

若流過△l線元的電流為△I電流方向△l對于恒定電流此時(shí)電流連續(xù)性方程簡化為·dS=0

▽.J=0通過任一閉合曲面的凈恒定電流為零，導(dǎo)電媒質(zhì)通

過恒定電流時(shí)，其內(nèi)部電流密度是無散或連續(xù)的。本課件是可編輯的正常PPT課件3.恒定電場的基本方程電流連續(xù)性方程(equation

of

current

continuity)從任意閉合面S

流出的電流應(yīng)等于由S

所包圍

的體積V

中單位時(shí)間內(nèi)電荷減少的數(shù)量微分形式任意閉合曲面。電流密度與電場強(qiáng)度的關(guān)系，對于線性媒質(zhì)：

J=oE電導(dǎo)率越大，E

越?。沪摇?/p>

α?xí)r，

E→0。

即只有理想導(dǎo)體內(nèi)才

有E=0

與靜電場不同?！艚苟?Joule's

law)的微分形式

p=J·E=σE2=J21σ本課件是可編輯的正常PPT課件恒定電場的基本方程(續(xù))恒定電場(電源外空間)為保守場電流恒定時(shí)，電荷分布pv不隨時(shí)間變化，所以恒定電場必定與靜

止電荷產(chǎn)生的靜電場具有相同的性質(zhì)，因此f,E·d=0V×E=0

(或E=-Vφ)討論當(dāng)電流密度J已知時(shí)，

E=J/o—小結(jié)在電源外的空間，恒定電場所滿足的方程dS

=0

▽·J=0=0

▽×E=0導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)方程

J=σE單位體積所消耗的功率

p=J

·E1)恒定電場與靜電場

有什么不同?2)能量來自何方?本課件是可編輯的正常Pr下4.接地電阻(groundresistance)將金屬導(dǎo)體埋入地內(nèi)，而將設(shè)備中需要接地的部分與該導(dǎo)體連接，這種埋在地內(nèi)的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng)稱為接地體或接地電極。接

地

電

阻

：電流由電極流向大地時(shí)所遇到的電阻跨步電壓(

stepping

voltage):人跨一步的兩腳間的電壓我們來研究半徑為a的半球形良導(dǎo)體接地電極的接地電阻。設(shè)經(jīng)引線由O

點(diǎn)流入半球形電極的電流為I,

則距球心為r處的地中任一點(diǎn)的電流密度為本課件是可編輯的正常PPT課件接地半球中的電流本課件是可編輯的正常PPT課件減小接地電阻的方法相應(yīng)的電場強(qiáng)度為電流在大地中的電壓為接地電阻為■增大接地電極面積的具體辦法有：簡單采用大塊接地導(dǎo)體；或采用由

若干個(gè)具有一定粗細(xì)、一定長度的導(dǎo)體柱組成的一個(gè)接地系統(tǒng)；或采用

多根細(xì)長導(dǎo)體輻射狀散開平鋪于地下。本課件是可編輯的正常PPT課件接地電極尺寸越大，或者說接地體的表面積越大，接地電

阻越小，此時(shí)接地儀器設(shè)備的外殼越接近大地的電位。例[2-5]一個(gè)半

徑為10cm的半球形接地導(dǎo)體電極,電極平面與地面重合,如圖所示。已

知土壤的導(dǎo)電率為σ=0-2S/m。求:接地電阻;■若距腳有半短路球電中流心10點(diǎn)的0A

距流

離

地入為2電阻地

米

為,某求人此人正的以0跨.5米的步步電壓及土壤距向接地點(diǎn)

的損耗功率前。前地電極的接20.5解：

接F已知流入地中的電流為I,則在距球心r處的電場強(qiáng)度為跨步電壓損耗功率P=I2R=1.59×10?W本課件是可編輯的正常PPT課件進(jìn)，中，在電源內(nèi)部，有非靜電力即非庫侖場強(qiáng)E'(非靜電

力與電荷的比值)存在，使正電荷由負(fù)極向正極運(yùn)動(dòng)，它只存在于電源內(nèi)部?！鰩靵鰣鰪?qiáng)E:不僅存在于電源內(nèi)部，還存在于電源外部，且在電源內(nèi)部與E

'的方向相反。包含電源的歐姆定律的微分形式：要在導(dǎo)體中維持一恒定電流，就必須給導(dǎo)體接上電源。

電源是一種將其它形式的能量轉(zhuǎn)換為電能的裝置。5.電動(dòng)勢(electromoti電流是靜電力

與非靜電力共

同作用的結(jié)果!自由電子在電場作

用下逆電場方向運(yùn)

動(dòng)形成電流；本課件是可編輯的正常PPT課件J=σ(電源電動(dòng)勢本課件是可編電動(dòng)勢(electromotiveforce)(續(xù))◆這說明含電源的閉合回路中的總電場為E'+E,

若回路中有恒定電流I

且是均勻分布的，則相應(yīng)的總功率為與靜電平衡

狀態(tài)下導(dǎo)體

電荷分布在非保守場沿閉合路徑的積

表面的結(jié)論一致!-在電源外的導(dǎo)體中，電場都具有無旋特性，可以用E=-Vφ米分析。假設(shè)導(dǎo)體是均勻的，導(dǎo)電率是常數(shù)，由基本方程V.J=0可得▽·D=0

這表明在均勻?qū)w中不會(huì)有體電荷存在，即達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)導(dǎo)體內(nèi)自由電荷體密度處處等于零。本課件是可編輯的正常PPT課件6.邊界條件電流密度J的法向分量連續(xù)

J?n=J?n

電場強(qiáng)度E的切向分量連續(xù)

E?,=E用電位函數(shù)表示的邊界條件兩種媒質(zhì)交界面上場的方向結(jié)論只要媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，那么媒質(zhì)1中的J?和E?一定垂直于交界面，此交界面可認(rèn)為是等位面分界面上必有電荷分布本課件是可編輯的正常PPT課件[例2-6]兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸的圓柱面，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,分界面半徑為b,外導(dǎo)體半徑為c;

漏電導(dǎo)率為??和σ?。當(dāng)外加電壓為U

時(shí)，計(jì)算介質(zhì)中的電場強(qiáng)度、分界面上的自由面電荷密度及單位長度的

漏電導(dǎo)。解：設(shè)單位長度上同軸線的漏電流為I,

由電流密度的法向分量連續(xù)

保證了在兩種漏電媒質(zhì)中半徑為p

處的電流密度為本課件是可編輯的正常PPT課件由此可求得由此可求得單位長度上的漏電導(dǎo)兩介質(zhì)中的電場強(qiáng)度分別分界面上的面電荷密度本課件是可編輯的正常PPT課件恒定電場(電源外)靜電場(Pv=0的區(qū)域)本課件是可編輯的正常PPT課件7.恒定電場與靜電場比較練習(xí)題兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸的圓柱

面，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,

分界面半徑為b,

外導(dǎo)體半徑為c;兩層介質(zhì)的介電常數(shù)分為c?和ε?、當(dāng)外加電壓為U

時(shí)，計(jì)算單位長度的電容。答案：本課件是可編輯的正常PPT

課件兩層介質(zhì)的同軸中的電場本課件是可編輯的正常PPT課件3.1邊值問題的提法.2

唯一性定理3

鏡像法.4

分離變量法◆3.5

有限差分法本課件是可編輯的正常PPT課件第3章邊值問題的解法◆所謂邊值問題就是給定邊界條件下，求解

電位函數(shù)所滿足的方程?！艟瓦吔鐥l件而言，不同的問題有不同的給

定方式，通常可以分為三類；◆而求解區(qū)域電位函數(shù)所滿足的方程通常有

泊松方程和拉普拉斯方程本課件是可編輯的正常PPT

課件1.邊值問題的提法第一類邊界問題：已知場域邊界面S上各點(diǎn)電位的○,即第二類邊界問題：已知場域邊界面S上各點(diǎn)電位法向?qū)?shù)的值，即第三類邊界問題：已知場域邊界面S上各點(diǎn)電位和電位法向?qū)?shù)的線性組合值，即本課件是可編輯的正常PPT課件2.邊值問題的分類如果邊界面是導(dǎo)體，三類問題如何描述?3.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程(Poisson'sequation)在線性、各向同性、均勻的電介質(zhì)中對電荷分布在導(dǎo)體表面即pv=0,則拉普拉斯方程(Laplace'sequation)本課件是可編輯的正常PPT課

件圓上的拉普拉斯方程本課件是可編輯的正常PPT課件本節(jié)要點(diǎn)唯一性定理描述■唯一性定理證明■唯一性定理應(yīng)用3.2唯一性定理本課件是可編輯的正常PPT課件給定邊界條件

給定邊界條件唯一性定理(uniqueness

theorem)描述靜電場中，在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。本課件是可編輯的正常PPT課件1.唯一性定理描述靜電場問題通常都可以歸結(jié)為：在給定邊值條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的問題。即2.唯一性定理證明在第一類邊界條件下，來證明唯一性定理。由格林第一定理D,

同時(shí)考慮▽2φ=0;

則設(shè)在給定邊界上的電位時(shí)，拉普拉斯方程有兩解φ1和由于方程是線性的，兩個(gè)解的差φ=φ?

φ,也滿足方程，,即本課件是可編輯的正常PPT課件唯一性定理的證明

(

續(xù)

)在邊界上，φ'在邊界上的值而(Vφ')2非負(fù)，故只有Vφ'=0即φ'=常數(shù),所以φ′=0,因而可以推得φ因此在第一類邊界條件下拉普拉斯方程的解是唯一的。o

唯一性定理也適合其它兩類邊界條件。本課件是可編輯的正常PPT課件3.唯一性定理的應(yīng)用◆唯一性定理給出了拉普拉斯方程(或泊松方

程)定解的充分必要條件?！暨@個(gè)定理啟發(fā)我們，不管采用什么方法，只

要能找到一個(gè)既能滿足給定的邊界條件，又

能滿足方程的電位函數(shù)，則這個(gè)解就是正確

的。◆鏡像法、分離變量法等求解方法就是唯一性

定理的具體應(yīng)用。本課件是可編輯的正常PPT

課件本節(jié)要點(diǎn)■鏡像法■點(diǎn)電荷與平面邊界■點(diǎn)電荷與球面邊界■線電荷的鏡像3.3

鏡像法本課件是可編輯的正常PPT課件1.鏡像法(imagemethod)◆鏡像----暫時(shí)忽略邊界的存在，在所求的區(qū)域

之外放置虛擬電荷來代替實(shí)際導(dǎo)體表面上復(fù)

雜的電荷分布來進(jìn)行計(jì)算，這個(gè)虛擬的電荷

被稱為實(shí)際電荷的鏡像?！粼姾膳c鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊

界條件。◆鏡像法---唯一性定理的應(yīng)用■

電荷產(chǎn)生的電位在源點(diǎn)外一定滿足拉普拉斯方程?！鲈姾膳c鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊界條

件，以決定鏡像電荷的大小及位置。本課件是可編輯的正常PPT

課件注意!◆鏡像電荷是虛擬電荷◆鏡像電荷置于所求區(qū)域之外◆導(dǎo)電體的表面是等位面本課件是可編輯的正常PPT課件2.點(diǎn)電荷與平面邊界◆無限大導(dǎo)電平面上方d處有一點(diǎn)電荷q,

則導(dǎo)電平面對點(diǎn)

電荷的影響可以用置于導(dǎo)電平面下方的鏡像電荷-q來代

替，空間任一點(diǎn)P處的電位為口顯然，電位函數(shù)在上半平面(除點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外)均滿

足拉普拉斯方程；在邊界分界平面上，電位函數(shù)滿足邊界條

件。根據(jù)唯一性定理，上式必是我們所求問題的解。本課件是可編輯的正常PPT

課件(1)鏡像電荷的確定鏡像電荷的數(shù)目若兩平面的夾角為θ°,而360°10°=

n(偶數(shù)),則可以用

鏡像法求解，且鏡像電荷數(shù)為n-1。若360°10°不是偶數(shù)，則鏡像電荷就會(huì)出現(xiàn)在所求區(qū)域之內(nèi)，這將改變該區(qū)域內(nèi)電位所滿足的方程，因而不能用鏡像法求解?！鰧τ谄矫孢吔?，鏡像電荷位于與實(shí)際電荷關(guān)于

邊界對稱的位置上，且其兩者大小相等、符號相反。本課件是可編輯的正常PPT

課件例3-1]自由空間垂直

于(3,4,0),放置的兩無限

求(3,5,0)大導(dǎo)電平面，電量為100nC

的點(diǎn)電荷點(diǎn)的電位和電場強(qiáng)度。

置解：兩平面夾角為90°,n=360°/90°=4

φ=735.2(3,5,0)點(diǎn)的電位和電場強(qiáng)度分別為：E=-19.8a,+891.36a本課件是可編輯的正常PPT課件所求點(diǎn)P(x,y,z)的電位：

其中

在3.點(diǎn)電荷與球面邊界自由空間中一接地導(dǎo)體球半徑為a,

一點(diǎn)電荷q置于距球心距離d處。計(jì)算導(dǎo)體球的表面電荷密度。解

：

q，,

-

荷;球內(nèi)，且位于球心與實(shí)際電荷的連線上。任意點(diǎn)的電位為在一應(yīng)上置量位數(shù)其在mq電設(shè)為此鏡像假因般不等于真實(shí)電荷由于導(dǎo)電球面彎曲Cosθ

cosθ由電位函數(shù)在球表面處滿足電位為零的邊界條件，求出本課件是可編輯的正常PPT課件點(diǎn)電荷與球面邊界(

續(xù)

)◆

導(dǎo)體球的表面電荷密度顯然，只有當(dāng)真實(shí)電荷在球面上時(shí)，鏡像

電荷在數(shù)量上才等于真實(shí)電荷。當(dāng)電荷遠(yuǎn)離

球體移動(dòng)時(shí)，鏡像電荷則趨向于球心。如果導(dǎo)體球不接地，結(jié)果又如何?本課件是可編輯的正常PPT課件點(diǎn)電荷與球面邊界接地球的鏡像電荷及場分布

非接地球的鏡像電荷及場分布y-2-24.

線電荷的鏡像◆自由空間中無限長接地導(dǎo)體圓柱半徑為a,

一

個(gè)

線

電荷密度為p

的無限長帶電直線置于離圓柱軸線距

離d處，求圓柱外空間任一點(diǎn)處的電位?？诜治觯簩?dǎo)體圓柱在帶電線的作用下，在柱面上出現(xiàn)感應(yīng)電荷。假設(shè)感應(yīng)電荷

為-p?';

其位置在距原點(diǎn)b處，則柱外任

意點(diǎn)P處的電位為本課件是可編輯的正常PPT

課件□在導(dǎo)體圓柱表面電場強(qiáng)度的切向分量等于零，即利用上述條件得到本課件是可編輯的正常PPT課件(1)邊界條件電位函數(shù)在圓柱表面處滿足電位為零的邊界條件，即在p=a

處對任意角度有□單位長度圓柱上的感應(yīng)電荷為本課件是可編輯的正常PPT課件(2)結(jié)果◆此時(shí)圓柱外空間任一點(diǎn)處的電位感應(yīng)電荷的總量與

鏡像電荷的大小相等。鏡像法的本質(zhì)就是用集中鏡像電

荷代替分布感應(yīng)電用。□圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為線電荷的鏡像

3◆兩半徑均為a的無限長平行雙導(dǎo)線，導(dǎo)線間距為D,

若導(dǎo)線間電壓為U,

求空間任一點(diǎn)的電位和單位長

度的電容?？诶媒拥貙?dǎo)體圓柱的鏡像(上面的分析)得b=a2/h本課件是可編輯的正常PPT課件由于h+b

=D,因

而為參考點(diǎn),線電荷在任意點(diǎn)處的電位分別為口任意點(diǎn)P處的總電位為位為□右、左邊圓柱上任一點(diǎn)的電課件是可編輯的正常F1不iTPP00本結(jié)論◆因此，兩圓柱導(dǎo)體間的電壓為單位長度的電容C=πE

如果D>>

a,則In

-1□可見，不考慮兩電荷之間的影響時(shí)的結(jié)果與第2章的結(jié)果完全一致。本課件是可編輯的正常PPT課件3.4

分離變量法分離變量法是把一個(gè)多變量的函數(shù)表示成幾個(gè)單

變量函數(shù)乘積的方法。在直角、圓柱、球等坐標(biāo)

系中都可以應(yīng)用分離變量法。直角坐標(biāo)系分離變量法■圓柱坐標(biāo)系分離變量法■球坐標(biāo)系分離變量法本課件是可編輯的正常PPT課件本節(jié)要點(diǎn)1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法如果待求問題的邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)系表示，待求

偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，且其中的每個(gè)

函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)?！鲭娢缓瘮?shù)的拉普拉斯方程為代入拉普拉斯方程可得到以下四個(gè)方程：本課件是可編輯的正常PPT課件k?稱為分離常數(shù)，它們?nèi)齻€(gè)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，

且它不能全為實(shí)數(shù)，也不能全為虛數(shù)或者為零。本課件是可編輯的正常PPT課件分離變量法(

續(xù)

)分離變量法(

續(xù)

)若k

為實(shí)數(shù)f(x)=Asink,x+A?

cosk,x若k

為虛數(shù)，令

k=ja,則f(x)=Bsinhax+B?coshax或

f(x)二

B'exp

B,若k=0,則微分方程的解為(x)

二

C

十Cg(y)和h(z)的情況類似因而求得

x)

)h(

Z對于給定邊界條件的具體問題的解，拉普拉斯方程解的形式由邊界條件來確定。本課件是可編輯的正常PPT課件例3-長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可以視為無限長，其上有一塊與槽絕緣的蓋板，槽的電位為零，蓋板的電位為U?,

求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解：這是一個(gè)矩形域的二維場問題。在直角坐標(biāo)系中，電位函數(shù)的拉普拉斯方程為：由分離變量法得以下三個(gè)方程本課件是可編輯的正常PPT課件且k

的取值為nπl(wèi)amsin(nπxla)稱為在上述邊界條件下的本征函數(shù)k=nπl(wèi)a為本征值本課件是可編輯的正常PPT課件要滿足(x=

在f(x)的三種可能的解中，只=0

的邊界條件isink[例3-3]

續(xù)由常數(shù)方程得即k,為虛數(shù)，因此g(y)的解必為第二種。若要g(y)滿足(y=0,0φ

=0的邊界條件只有■電位函數(shù)的通解為本課件是可編輯的正常PPT

課件系數(shù)D

U?

的邊界條件決定，即利用三角函數(shù)的正交性質(zhì)將等式兩邊同乘以sin-

X,

再對x從0到a積分得因此電位函數(shù)本課件是可編輯的正常PPT課件求和階數(shù)

◎1

O3O5O10

O30電壓位置

up

dow

ight電位函數(shù)與求和的階數(shù)本課件是可編輯的正常PPT課件U?=100V

槽內(nèi)電位分布、等位線及梯度本課件是可編輯的正常PPT課件邊界條件改變槽內(nèi)電位分布、等位線及梯度本課件是可編輯的正常PPT課件分離變量法(小結(jié))◆根據(jù)問題所給定的邊界情況，選定適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出

該坐標(biāo)系的拉普拉斯(或泊松)方程的表達(dá)式；◆

確定待求電位函數(shù)為幾個(gè)變量函數(shù)；◆

把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一

個(gè)函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)；◆

若待求位函數(shù)為二維函數(shù)，則將其表示成兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積；◆

將二個(gè)未知函數(shù)的乘積代入拉普拉斯(或泊松)方程，分解出二個(gè)常微分方程和一個(gè)常數(shù)方程。◆根據(jù)給定的邊界條件和而二個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系，寫出二

個(gè)常微分方程解的通解形式；◆用給定的邊界條件及三角函數(shù)的正交性，確定待定常數(shù)。

本課件是可編輯的正常PPT

課件練習(xí)題長方形截面的導(dǎo)體槽，邊界條件如圖所示，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。本課件是可編輯的正常PPT課件以上為直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程的求解過程，三維拉普拉斯方程的求

解與上述類似，只是解答形式較復(fù)雜，在展成傅立葉級數(shù)時(shí)會(huì)遇到雙重傅立葉

積分。本課件是可編輯的正常PPT課件邊界條件變化對結(jié)果的影響2.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法在求解圓柱空間或有柱面邊界的場問題時(shí)，采用圓

柱坐標(biāo)較為方便。圓柱坐標(biāo)中電位的拉普拉斯方程為式中的所有系數(shù)均由邊

界條件確定!口采用分離變量法，圓柱坐標(biāo)系中拉普拉期方程的一個(gè)解為φ=(Asinh

kz+Bcoshkz)(Csinnφ+Dcosnφ)[FJn(kp)+GNn(n階第一類貝塞爾函數(shù)本課件是可編輯的正常PPT

課件n階第二類貝塞爾函數(shù)

或紐曼函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)曲線本課件是可編輯的正常PPT課件特殊情況1◆如果我們研究的問題是圓柱沿方向無限長，則電

位與z無關(guān)，此時(shí)拉普拉斯方程變?yōu)槭街械乃?/p>

系數(shù)由邊界

條件確定!口應(yīng)用分離變量法上述方程的解為本課件是可編輯的正常PPT課件特殊情況2◆如果圓柱的電位是圓對稱的且z方向無限長，即電位

與z和φ方向無關(guān)，此時(shí)拉普拉斯方程為口以上分析了幾種條件下圓柱結(jié)構(gòu)拉普拉斯方程

解的可能形式，下面舉例來說明其具體應(yīng)用。本課件是可編輯的正常PPT

課件□此時(shí)方程的解為φ=C?In

p+C?式中的系數(shù)同樣由邊界條件確定![例3-5]◆半徑為a、介電常數(shù)為ε的無限長介質(zhì)圓柱置于

均勻電場E?中，圓柱軸線與E?

垂

直

，求圓柱內(nèi)、

外的電位和電場分布?！醴治觯涸诰鶆螂妶鲎饔孟?，介質(zhì)圓柱表面將出現(xiàn)極化電荷，因而空間任一點(diǎn)的電位是均勻

場的電位和圓柱面上的極化電荷所產(chǎn)生的電位

的疊加。根據(jù)坐標(biāo)面一致的要求，選擇圓柱坐

標(biāo)系如圖所示。此時(shí)，均勻電場的電位和圓柱

表面的極化電荷所產(chǎn)生的電位均與坐標(biāo)z無關(guān)。本課件是可編輯的正常PPT

課件設(shè)柱內(nèi)、的電位分別為φ1和φ?,其表達(dá)式分別為其邊界條件為

(1)在圓柱軸線p=0處，φ?應(yīng)為有限值；(

2

)

當(dāng)p→c

時(shí)，

φ?應(yīng)為-E?pcosφ;(3)在p=a的圓柱面上本課件是可編輯的正常PPT

課件外[例3-5](續(xù))◆由條件(1)得C?=0、Fn=0,

此時(shí)圓柱內(nèi)電位表達(dá)為由條件(2)得C{=0,C?=0,

二口圓柱外的電位表達(dá)式為本課件是可編輯的正常PPT課件面兩式任意角度都成立，比

較sinφ和cosφ的系數(shù)得=0仍

3由

條

件

(

3

)

得本課件是可編輯的正常PPT課件聯(lián)立兩組方程解得[例3-5](續(xù))◆再比較其它正弦和余弦項(xiàng)的系數(shù)得=Bn=B′=0,綜合上述各系數(shù)，可得到圓柱內(nèi)、外的電位為本課件是可編輯的正常PPT課件可見，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電場比原外加電場要小，這是由于介質(zhì)圓柱在外加電場作用下發(fā)生極

化，極化后在右半圓柱面上產(chǎn)生正的極化電

荷，在左半圓柱面上產(chǎn)生負(fù)的極化電荷，極

化電荷在圓柱內(nèi)產(chǎn)生的電場與外加電場E?反向，因而總電場減弱。[例3-5](續(xù))◆分別對電位函數(shù)求負(fù)梯度，可得相應(yīng)外加電場中的介質(zhì)柱外加電場中介質(zhì)枉內(nèi)外的等電位分布外加電場中介質(zhì)枉內(nèi)外的電場分布介質(zhì)柱半徑介質(zhì)相對介電常數(shù)外加電場大小

O1

O5本課件是可編輯的正常PPT課件3.球坐標(biāo)系中的分離變量法在求解球空間或有球面邊界的場問題時(shí)，采用

球坐標(biāo)較為方便。球坐標(biāo)中電位的拉普拉斯方程為，利用分離變量法求得方程的通解為m

階l

次第一類連帶勒讓德函數(shù)本課件是可編輯的正常PPT課件球?qū)ΨQ性問題的解◆具有球?qū)ΨQ性問題的拉普拉斯方程的通解為勒讓德多項(xiàng)式例3-7]◆設(shè)有一半徑為a的接地導(dǎo)體球，放置于均勻的外電場E?中球外為真空，試求空間任一點(diǎn)處的電位和電場分布。,相等，由于導(dǎo)體球接地，所以球面和球內(nèi)電位均為零。由于電位對極軸對稱，電位與坐標(biāo)φ無關(guān)，此時(shí)電位函數(shù)的通解應(yīng)為：

其邊界條件為(1)當(dāng)r→0時(shí)，φ=-E?rcosθ

(2)在導(dǎo)體球上有j_a=0本課件是可編輯的正常PPT課件分析：靜電平衡狀態(tài)下球面和球內(nèi)電位處處◆所以上式展開成如下形式cosθ)

十

.

.

=

0因而有B

?=E

0

U(l≠1本課件是可編輯的正常PPT課件由條件(1)可得A?=-E?,當(dāng)

l≠1時(shí)A,=0[例3-7](續(xù))由上式可見：在導(dǎo)體球表面僅有電場的法向分量，導(dǎo)體表

面感應(yīng)電荷密度為3c?E?

cosθ,導(dǎo)體球外的電位(電場)是

由均勻電場E?

和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。本課件是可編輯的正常PPT課件[例3-7](續(xù))◆所以球外任意點(diǎn)的電位為事實(shí)上能用分離變

量法進(jìn)行求解的結(jié)構(gòu)是

十分有限的，對于復(fù)雜

結(jié)構(gòu)的電磁場問題，一采用數(shù)值法求解。球外任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度為外加電場中的接地導(dǎo)體球當(dāng)所求問題的邊界比較復(fù)雜，通常采用數(shù)值解法。目前，

比較成熟的求解電磁場問題的數(shù)值解法很多，如主要有矩量

法、有限差分法、有限元法、邊界元法等等，采用計(jì)算機(jī)求

數(shù)值解，理論上可以得到任意要求的精度?！霾罘址匠痰慕?/p>

簡

單迭代法■超松弛法本課件是可編輯的正常PPT

課件3.5有限差分法本節(jié)要點(diǎn)□有限差分法是把微分方程在給定點(diǎn)附近用差分代數(shù)方程代替而計(jì)算電位的一種近似方法。1)一般來說，網(wǎng)格劃分得

愈細(xì)所能達(dá)到的精度愈高，

但計(jì)算時(shí)間也愈長；2)網(wǎng)格的劃分有不同的方

法，這里僅介紹正方形網(wǎng)格

劃分?！羰紫劝亚蠼鈪^(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的

場

分布用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解代替。1.差分方程的建立本課件是可編輯的正常PPT課件φ-1,;和φi+1,;可以用在點(diǎn)(i,j)附近的泰勒級數(shù)展開為本課件是可編輯的正常PPT課件差分方程的建立(續(xù))設(shè)二維平面場中每個(gè)正方形格子的邊長為h設(shè)區(qū)域中某點(diǎn)(i,j)

的電位為φ;

,

則其上下左右四個(gè)點(diǎn)的電位分別為線與線的交

點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)差分方程的建立(續(xù))□同理φ;j+1和φ;j-1在點(diǎn)(i,j)附近的泰勒級數(shù)展開為□在h足夠小的情況下，忽略4階以上的高次項(xiàng)，將以上四式相加得本課件是可編輯的正常PPT課件泊松方程與拉普拉斯方程的差分形式設(shè)所研究區(qū)域中電荷密度為pv,

點(diǎn)

(i,j)電位滿足泊松方程在沒有體電荷分布的區(qū)域，任意點(diǎn)的電位等

于圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。本課件是可編輯的正常PPT課件如果所研究的區(qū)域pv=0,

則二維拉普拉斯方程的有限差分形式為1.簡單迭代法口首先對待求節(jié)點(diǎn)設(shè)置初值；口當(dāng)初值給定后，利用拉普拉斯方程的有限差分形式，按一

個(gè)固定的順序(從左到右，從下到上)依次計(jì)算每點(diǎn)