山西省六校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

山西省六校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l的傾斜角是B.直線l在x軸上的截距為1C.若直線m：，則D.過與直線l平行的直線方程是2．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或3．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.4．設(shè)命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，5．如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點(diǎn)．直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面中，且都垂直于AB，已知，，，則（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.2 B.4C. D.7．若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.18．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.49．已知正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實(shí)數(shù)λ值為()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或1111．設(shè).若，則＝（）A. B.C. D.e12．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.14．如圖是一個(gè)邊長為4的正方形二維碼,為了測算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1600個(gè)點(diǎn),其中落入白色部分的有700個(gè)點(diǎn),據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為______________15．已知點(diǎn)P在圓上，已知，，則的最小值為___________.16．我國民間剪紙藝術(shù)在剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現(xiàn)有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個(gè)規(guī)格相同的圖形，將其中之一進(jìn)行第次對折后，就會得到三個(gè)圖形，其中有兩個(gè)規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個(gè)之一進(jìn)行第次對折后，就會得到四個(gè)圖形，其中依然有兩個(gè)規(guī)格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個(gè)圖形規(guī)格相同.如果把次對折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為是的中點(diǎn)，當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點(diǎn)，試問在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得過點(diǎn)M的動(dòng)直線交C于兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由18．（12分）已知函數(shù)（a為非零常數(shù)）（1）若f（x）在處的切線經(jīng)過點(diǎn)（2，ln2），求實(shí)數(shù)a的值；（2）有兩個(gè)極值點(diǎn)，.①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若，證明：.19．（12分）設(shè)集合（1）若，求；（2）設(shè)，若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，與軸垂直，且（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上，且，求的面積21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B，C為E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中B點(diǎn)在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】A.將直線方程的一般式化為斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直線m斜率即可判斷；D.設(shè)要求直線的方程為，將代入即可.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，直線l：，即，其斜率，則傾斜角是，A錯(cuò)誤；對于B，直線l：，令y＝0，可得，l在x軸上的截距為，B錯(cuò)誤；對于C，直線m：，其斜率，，故直線m與直線l不垂直，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)要求直線的方程為，將代入，可得t＝0，即要求直線為，D正確；故選：D2、D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式可得或，進(jìn)而求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳A與直線相切，所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于一般題3、A【詳解】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}，，所以為，.故選：B.5、B【解析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進(jìn)一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進(jìn)而通過余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因?yàn)?，所以，又，所以是該二面角的一個(gè)平面角，即，由余弦定理.因?yàn)?，，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.6、D【解析】因?yàn)閽佄锞€方程可化為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選D.考點(diǎn)：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的幾何性質(zhì).7、B【解析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B8、D【解析】設(shè)公比為，然后由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D9、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點(diǎn)為，則為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，則在三角形中，為中點(diǎn)，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.10、A【解析】根據(jù)直線平移的規(guī)律，由直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位得到平移后直線的方程，然后因?yàn)榇酥本€與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑為，直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位后所得的直線方程為2（x+1）﹣y+λ=0，因?yàn)樵撝本€與圓相切，則圓心（﹣1，2）到直線的距離d==r=，化簡得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故選A考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系11、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.12、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，往往結(jié)合平面幾何知識（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程）可減小運(yùn)算量.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,3).14、9【解析】先根據(jù)點(diǎn)數(shù)求解概率,再結(jié)合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設(shè)可估計(jì)落入黑色部分概率設(shè)黑色部分的面積為,由幾何概型計(jì)算公式可得解得故答案為:915、【解析】推導(dǎo)出極化恒等式，即，結(jié)合最小值為，求出最小值.【詳解】由題意，取線段AB中點(diǎn)，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因?yàn)閳A心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：16、①.②.【解析】首先根據(jù)題意得到，再計(jì)算即可；根據(jù)題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?.故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式用N的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設(shè)存在，設(shè)M為(m，0)，設(shè)直線l斜率為k，表示其方程，l方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)關(guān)系，由，得，代入根與系數(shù)的關(guān)系求k與m關(guān)系即可判斷.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，，又P點(diǎn)在圓上，，即C軌跡方程為；【小問2詳解】不存在滿足條件的點(diǎn)M，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直線的斜率為k，則直線的方程為，由消去y并整理，得，設(shè)，則由，得，即，將代入上式并化簡，得將式代入上式，有，解得，而，求得點(diǎn)M在橢圓外，若與橢圓無交點(diǎn)不滿足條件，所以不存在這樣的點(diǎn)M【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是由得，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.18、（1）（2）①（0，1）；②證明見解析【解析】小問1先求出切線方程，再將點(diǎn)（2，ln2），代入即可求出a的值；小問2的①通過求導(dǎo)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍；②結(jié)合已知條件，構(gòu)造新函數(shù)即可得到證明.【小問1詳解】，∴切線方程為，將點(diǎn)代入解得：【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；f（x）無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得，，故f（x）在（-1，-）上單調(diào)遞增，在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)；.當(dāng)時(shí)，由得，，f（x）（，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞此時(shí)，f（x）有1個(gè)極值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即，即a的范圍是（0，1）②由（2）可知，又由可知，可得.要證，即證，即證，即證即證令函數(shù)，x（0，1），故t（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，又所以在上恒成立，即所以.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)不等式的解答求得，當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解；（2）由題意得到是的真子集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由，解得，即，當(dāng)時(shí)，可得，所以.【小問2詳解】解：由集合，因?yàn)?，且是成立的必要不充分條件，是的真子集，所以且等號不能同時(shí)成立，解得，其中當(dāng)和是滿足題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）；（2）【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)求出，進(jìn)而得出方程；（2）由，結(jié)合余弦定理求出，再由面積公式得出三角形的面積.【詳解】解：（1），與軸垂直，，∴∴橢圓的方程為（2）由（1）知，∵，∴∴，∴的面積為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二的關(guān)鍵在于利用余弦定理結(jié)合完全平方和公式求出，進(jìn)而得出面積.21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，【小問2詳解】解：，.22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意