第十三講角、相交線與平行線(原卷版+解析)

第十三講角、相交線與平行線命題點(diǎn)1直線和線段1．（2022?柳州）如圖，從學(xué)校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④2．（2022?桂林）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，若AC＝2cm，則AB＝cm．命題點(diǎn)2角與角平分線3．（2022?舟山）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．4．（2022?甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°5．（2022?連云港）已知∠A的補(bǔ)角為60°，則∠A＝°．命題點(diǎn)3角的平分線6．（2021?福建）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點(diǎn)D到AC的距離是．7．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝．8．（2022?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．9．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2命題點(diǎn)4類型一角的辨識(shí)10．（2022?青海）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對頂角 C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角11．（2022?賀州）如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的是（）A．∠1與∠2 B．∠1與∠3 C．∠2與∠3 D．∠3與∠4類型二相交線求角度12．（2022?北京）如圖，利用工具測量角，則∠1的大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°13．（2022?自貢）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．60° D．150°類型三垂線與垂線段最短14．（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行15．（2022?臺(tái)州）如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°16．（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)17．（2022?河南）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（）A．26° B．36° C．44° D．54°類型四線段垂直平分線18．（2022?鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是．19．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是．命題點(diǎn)5平行線性質(zhì)求角度或證明類型一平行線性質(zhì)20．（2022?六盤水）如圖，a∥b，∠1＝43°，則∠2的度數(shù)是（）A．137° B．53° C．47° D．43°21．（2022?南通）如圖，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．80°22．（2022?蘭州）如圖，直線a∥b，直線c與直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，AC⊥b，垂足為C．若∠1＝52°，則∠2＝（）A．52° B．45° C．38° D．26°23．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，截線c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，則∠2的度數(shù)是（）A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′24．（2022?菏澤）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知∠ABC＝36°，則∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°類型二平行線性質(zhì)與判定結(jié)合25．（2022?吉林）如圖，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依據(jù)可以簡單說成（）A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．同位角相等，兩直線平行26．（2022?郴州）如圖，直線a∥b，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠427．（2022?新疆）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，則∠D＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°28．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝．29．（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠BCD＝50°．求證：AE∥DC．類型三直角三角板結(jié)合30．（2022?東營）如圖，直線a∥b，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，兩直角邊均與直線b相交，∠1＝40°，則∠2＝（）A．40° B．50° C．60° D．65°31．（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為°．命題點(diǎn)6命題32．（2022?上海）下列說法正確的是（）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題33．（2022?盤錦）下列命題不正確的是（）A．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 B．負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù) C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．五邊形的外角和是360°34．（2022?梧州）下列命題中，假命題是（）A．﹣2的絕對值是﹣2 B．對頂角相等 C．平行四邊形是中心對稱圖形 D．如果直線a∥c，b∥c，那么直線a∥b35．（2022?岳陽）下列命題是真命題的是（）A．對頂角相等 B．平行四邊形的對角線互相垂直 C．三角形的內(nèi)心是它的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三角分別相等的兩個(gè)三角形是全等三角形36．（2022?無錫）請寫出命題“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命題：．第十三講角、相交線與平行線命題點(diǎn)1直線和線段1．（2022?柳州）如圖，從學(xué)校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解答】解：根據(jù)題意可得，從學(xué)校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是②．故選：B．2．（2022?桂林）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，若AC＝2cm，則AB＝cm．【答案】4【解答】解：根據(jù)中點(diǎn)的定義可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案為：4命題點(diǎn)2角與角平分線3．（2022?舟山）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由圖可知，選項(xiàng)A、B、C中的線都可以作為角平分線；選項(xiàng)D中的圖作出的是平行四邊形，不能保證角中間的線是角平分線，故選：D．4．（2022?甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】A【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角為：90°﹣40°＝50°，故選：A5．（2022?連云港）已知∠A的補(bǔ)角為60°，則∠A＝°．【答案】120【解答】解：∵∠A的補(bǔ)角為60°，∴∠A＝180°﹣60°＝120°，故答案為：120．命題點(diǎn)3角的平分線6．（2021?福建）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點(diǎn)D到AC的距離是．【答案】【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，∵AD是△ABC的角平分線．∠B＝90°，DE⊥AC，∴DE＝BD＝，∴點(diǎn)D到AC的距離為，故答案為．7．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝．【答案】1【解答】解：過D點(diǎn)作DH⊥AC于H，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案為：1．8．（2022?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【答案】3【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC?CD+AB?DE＝AC?BC，即×6?CD+×10?CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案為：3．9．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【解答】解：過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C命題點(diǎn)4類型一角的辨識(shí)10．（2022?青海）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對頂角 C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【答案】D【解答】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．故選：D．11．（2022?賀州）如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的是（）A．∠1與∠2 B．∠1與∠3 C．∠2與∠3 D．∠3與∠4【答案】B【解答】解：根據(jù)同位角、鄰補(bǔ)角、對頂角的定義進(jìn)行判斷，A、∠1和∠2是對頂角，故A錯(cuò)誤；B、∠1和∠3是同位角，故B正確；C、∠2和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，故C錯(cuò)誤；D、∠3和∠4是鄰補(bǔ)角，故D錯(cuò)誤．故選：B．類型二相交線求角度12．（2022?北京）如圖，利用工具測量角，則∠1的大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解答】解：根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)，可得：∠1＝30°，故選：A．13．（2022?自貢）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．60° D．150°【答案】A【解答】解：∵∠1＝30°，∠1與∠2是對頂角，∴∠2＝∠1＝30°．故選：A．類型三垂線與垂線段最短14．（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【解答】解：小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．15．（2022?臺(tái)州）如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°【答案】C【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)不符合題意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定兩枕木平行，故該選項(xiàng)不符合題意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)符合題意；D．由∠5＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．16．（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】B【解答】解：根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK，如下圖所示：根據(jù)圖形可以看出OB是反射光線，故選：B．17．（2022?河南）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故選：B．類型四線段垂直平分線18．（2022?鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是．【答案】6【解答】解：∵邊BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周長為AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案為：6．19．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是．【答案】40°【解答】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案為：40°命題點(diǎn)5平行線性質(zhì)求角度或證明類型一平行線性質(zhì)20．（2022?六盤水）如圖，a∥b，∠1＝43°，則∠2的度數(shù)是（）A．137° B．53° C．47° D．43°【答案】D【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故選：D．21．（2022?南通）如圖，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】C【解答】解：如圖：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一個(gè)外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故選：C．22．（2022?蘭州）如圖，直線a∥b，直線c與直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，AC⊥b，垂足為C．若∠1＝52°，則∠2＝（）A．52° B．45° C．38° D．26°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故選：C．23．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，截線c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，則∠2的度數(shù)是（）A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′【答案】A【解答】解：如圖，∵∠1＝146°33′，∴∠3＝180°﹣∠1＝33°27'，∵a∥b，∴∠4＝∠3＝33°27'，∵∠A＝30°，∠2＝∠4+∠A，∴∠2＝33°27'+30°＝63°27'．故選：A．24．（2022?菏澤）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知∠ABC＝36°，則∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°【答案】C【解答】解：根據(jù)題意可得：∠BAD＝∠BAD1，∵矩形紙片的對邊平行，即ED∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝36°，∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°，∴∠BAD1＝∠BAD＝144°，∴∠D1AD＝360°﹣∠BAD1﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°．故選：C．類型二平行線性質(zhì)與判定結(jié)合25．（2022?吉林）如圖，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依據(jù)可以簡單說成（）A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．同位角相等，兩直線平行【答案】D【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），故選：D．26．（2022?郴州）如圖，直線a∥b，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【答案】C【解答】解：A、若∠3＝∠4時(shí)，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可以判定c∥d，不符合題意；B、若∠1+∠5＝180°時(shí)，由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可以判定c∥d，不符合題意；C、若∠1＝∠2時(shí)，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合題意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4時(shí)，則∠1+∠5＝180°，由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可以判定c∥d，不符合題意．故選：C．27．（2022?新疆）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，則∠D＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】D【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故選：D．28．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝．【答案】40°【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案為：40°．29．（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠BCD＝50°．求證：AE∥DC．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC類型三直角三角板結(jié)合30．（2022?東營）如圖，直線a∥b，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，兩直角邊均與直線b相交，∠1＝40°，則∠2＝（）A．40° B．50° C．60° D．65°【答案】B【解答】解：如圖：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直線a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故選：B．31．（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為°．【答案】135【解答】解：根據(jù)題意可得，∠BAC＝90°+45°＝135°．故答案為：135命題點(diǎn)6命題32．（2022?上海）下列說法正確的是（）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【解答】解：A、命題一定有逆命題，本選項(xiàng)說法正確，符合題意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的對應(yīng)角相等，沒有逆定理，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合