專題13尺規(guī)作圖篇(原卷版+解析)

專題13尺規(guī)作圖知識回顧知識回顧尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．基本要求它使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質(zhì)，跟現(xiàn)實中的并非完全相同．①直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè)．只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度．②圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度．它只可以拉開成你之前構(gòu)造過的長度基本作圖有：

（1）作一條線段等于已知線段．

（2）作一個角等于已知角．

（3）作已知線段的垂直平分線．具體步驟：①以線段兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②

（4）作已知角的角平分線．具體步驟：①以角的頂點O為圓心，一定長度為半徑畫圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點M、N。如圖①。②分別以點M與點N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點P。如圖②。③連接OP，OP即為角的平分線。

（5）過一點作已知直線的垂線．復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．

解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作。設(shè)計作圖：應(yīng)用與設(shè)計作圖主要把簡單作圖放入實際問題中．首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖。專題練習專題練習1．尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．（1）作∠ACB的角平分線，交AB于點E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：AD＝AE．3．如圖，已知線段AC和線段a．（1）用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖．（請保留作圖痕跡，并標明相應(yīng)的字母，不寫作法）①作線段AC的垂直平分線l，交線段AC于點O；②以線段AC為對角線，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且點B在線段AC的上方．（2）當AC＝4，a＝2時，求（1）中所作矩形ABCD的面積．4．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于點D．（1）用尺規(guī)作∠ABC的角平分線，交CD于點E；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．5．如圖，在4×4的方格紙中，點A，B在格點上．請按要求畫出格點線段（線段的端點在格點上），并寫出結(jié)論．（1）在圖1中畫一條線段垂直AB．（2）在圖2中畫一條線段平分AB．6．“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風”的風景，引來市民和游客爭相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請在水城河與南環(huán)路之間設(shè)計一條停車帶，使得每個停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等．（1）利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在圖中格點處標出三個符合條件的停車位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐標系，設(shè)M（0，2），N（2，0），停車位P（x，y），請寫出y與x之間的關(guān)系式，在圖中畫出停車帶，并判斷點P（4，﹣4）是否在停車帶上．7．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）網(wǎng)格中△ABC的形狀是；（2）在圖①中確定一點D，連結(jié)DB、DC，使△DBC與△ABC全等；（3）在圖②中△ABC的邊BC上確定一點E，連結(jié)AE，使△ABE∽△CBA；（4）在圖③中△ABC的邊AB上確定一點P，在邊BC上確定一點Q，連結(jié)PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比為1：2．8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．（1）請用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．9．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以點A，D為圓心，大于AD的長為半徑作弧，兩弧交于點M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）由作圖可知，直線MN是線段AD的．（2）求證：四邊形AEDF是菱形．10．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分線，分別交AB、BC于點D、H；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，連接CD，求△BCD的周長．11．已知：△ABC．（1）尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出△ABC內(nèi)切圓的圓心O．（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）如果△ABC的周長為14cm，內(nèi)切圓的半徑為1.3cm，求△ABC的面積．12．已知四邊形ABCD為矩形，點E是邊AD的中點，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（1）在圖1中作出矩形ABCD的對稱軸m，使m∥AB；（2）在圖2中作出矩形ABCD的對稱軸n，使n∥AD．13．如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中△ABC為格點三角形．請按要求作圖，不需證明．（1）在圖1中，作出與△ABC全等的所有格點三角形，要求所作格點三角形與△ABC有一條公共邊，且不與△ABC重疊；（2）在圖2中，作出以BC為對角線的所有格點菱形．14．【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）15．如圖，在6×6的方格紙中，點A，B，C均在格點上，試按要求畫出相應(yīng)格點圖形．（1）如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；（2）如圖2，作一個軸對稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；（3）如圖3，作一個與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．專題13尺規(guī)作圖知識回顧知識回顧尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．基本要求它使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質(zhì)，跟現(xiàn)實中的并非完全相同．①直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè)．只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度．②圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度．它只可以拉開成你之前構(gòu)造過的長度基本作圖有：

（1）作一條線段等于已知線段．

（2）作一個角等于已知角．

（3）作已知線段的垂直平分線．具體步驟：①以線段兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②

（4）作已知角的角平分線．具體步驟：①以角的頂點O為圓心，一定長度為半徑畫圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點M、N。如圖①。②分別以點M與點N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點P。如圖②。③連接OP，OP即為角的平分線。

（5）過一點作已知直線的垂線．復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．

解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作。設(shè)計作圖：應(yīng)用與設(shè)計作圖主要把簡單作圖放入實際問題中．首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖。專題練習專題練習1．尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直線l上取點A，過A點作AD⊥l，再在直線l上截取AB＝m，然后以B點為圓心，n為半徑畫弧交AD于C，則△ABC滿足條件．【解答】解：如圖，△ABC為所作．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．（1）作∠ACB的角平分線，交AB于點E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如圖，已知線段AC和線段a．（1）用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖．（請保留作圖痕跡，并標明相應(yīng)的字母，不寫作法）①作線段AC的垂直平分線l，交線段AC于點O；②以線段AC為對角線，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且點B在線段AC的上方．（2）當AC＝4，a＝2時，求（1）中所作矩形ABCD的面積．【分析】（1）①按照線段垂直平分線的作圖步驟作圖即可．②以點O為圓心，OA的長為半徑畫弧，再以點A為圓心，線段a的長為半徑畫弧，兩弧在線段AC上方交于點B，同理，以點O為圓心，OC的長為半徑畫弧，再以點C為圓心，線段a的長為半徑畫弧，兩弧在線段AC下方交于點D，連接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面積公式求解即可．【解答】解：（1）①如圖，直線l即為所求．②如圖，矩形ABCD即為所求．（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面積為AB?BC＝2×＝．4．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于點D．（1）用尺規(guī)作∠ABC的角平分線，交CD于點E；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖步驟作圖即可．（2）由角平分線的定義和平行四邊形的判定定理，可得四邊形ABCE為平行四邊形，再結(jié)合AB＝BC，可證得四邊形ABCE為菱形．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCE為菱形．5．如圖，在4×4的方格紙中，點A，B在格點上．請按要求畫出格點線段（線段的端點在格點上），并寫出結(jié)論．（1）在圖1中畫一條線段垂直AB．（2）在圖2中畫一條線段平分AB．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想作出圖形即可；（2）利用矩形的對角線互相平分解決問題即可．【解答】解：（1）如圖1中，線段EF即為所求（答案不唯一）；（2）如圖2中，線段EF即為所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風”的風景，引來市民和游客爭相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請在水城河與南環(huán)路之間設(shè)計一條停車帶，使得每個停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等．（1）利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在圖中格點處標出三個符合條件的停車位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐標系，設(shè)M（0，2），N（2，0），停車位P（x，y），請寫出y與x之間的關(guān)系式，在圖中畫出停車帶，并判斷點P（4，﹣4）是否在停車帶上．【分析】（1）利用過直線外一點作垂線的方法作圖即可；（2）根據(jù)停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等，可得點P1，P2，P3；（3）根據(jù)停車位P（x，y）到點F（0，﹣1）和直線y＝1的距離相等，得1﹣y＝，從而解決問題．【解答】解：（1）如圖，線段FA的長即為所求；（2）如圖，點P1，P2，P3即為所求；（3）∵停車位P（x，y）到點F（0，﹣1）和直線y＝1的距離相等，∴1﹣y＝，化簡得y＝﹣，當x＝4時，y＝﹣4，∴點P（4，﹣4）在停車帶上．7．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）網(wǎng)格中△ABC的形狀是；（2）在圖①中確定一點D，連結(jié)DB、DC，使△DBC與△ABC全等；（3）在圖②中△ABC的邊BC上確定一點E，連結(jié)AE，使△ABE∽△CBA；（4）在圖③中△ABC的邊AB上確定一點P，在邊BC上確定一點Q，連結(jié)PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比為1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定，作出圖形即可；（3）根據(jù)相似三角形的判定作出圖形即可；（4）作出AB，BC的中點P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案為：直角三角形；（2）如圖①中，點D，點D′，點D″即為所求；（3）如圖②中，點E即為所求；（4）如圖③，點P，點Q即為所求．8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．（1）請用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．【分析】（1）過點A作AD⊥AO即可；（2）連接OB，OC．證明∠ACB＝75°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，切線AD即為所求；（2）過點O作OH⊥BC于H，連接OB，OC．∵AD是切線，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∴∠BCA＝∠AOB＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC?cos30°＝，∴BC＝2．9．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以點A，D為圓心，大于AD的長為半徑作弧，兩弧交于點M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）由作圖可知，直線MN是線段AD的．（2）求證：四邊形AEDF是菱形．【分析】（1）根據(jù)作法得到MN是線段AD的垂直平分線；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)則AF＝DF，AE＝DE，進而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判斷四邊形AEDF是平行四邊形，加上FA＝FD，則可判斷四邊形AEDF為菱形．【解答】（1）解：根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線；故答案為：垂直平分線；（2）證明：∵MN是AD的垂直平分線，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵FA＝FD，∴四邊形AEDF為菱形．10．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分線，分別交AB、BC于點D、H；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，連接CD，求△BCD的周長．【分析】（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DC＝DB，則利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，則DC＝DA，然后利用等線段代換得到△BCD的周長＝AB+BC．【解答】解：（1）如圖，DH為所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周長＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出△ABC內(nèi)切圓的圓心O．（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）如果△ABC的周長為14cm，內(nèi)切圓的半徑為1.3cm，求△ABC的面積．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分線交于點O，點O即為所求；（2）△ABC的面積＝（a+b+c）?r計算即可．【解答】解：（1）如圖，點O即為所求；（2）由題意，△ABC的面積＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四邊形ABCD為矩形，點E是邊AD的中點，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（1）在圖1中作出矩形ABCD的對稱軸m，使m∥AB；（2）在圖2中作出矩形ABCD的對稱軸n，使n∥AD．【分析】（1）如圖1中，連接AC，BD交于點O，作直線OE即可；（2）如圖2中，同法作出點O，連接BE交AC于點T，連接DT，延長TD交AB于點R，作直線OR即可．【解答】解：（1）如圖1中，直線m即為所求；（2）如圖2中，直線n即為所求；13．如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中△ABC為格點三角形．請按要求作圖，不需證明．（1）在圖1中，作出與△ABC全等的所有格點三角形，要求所作格點三角形與△ABC有一條公共邊，且不與△ABC重疊；（2）在圖2中，作出以BC為對角線的所有格點菱形．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定畫出圖形即可；（2）根據(jù)菱形的定義畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1中，△ABD1，△ABD2，△A