重難點(diǎn)03探究動態(tài)幾何問題-2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練(江蘇專用)(原卷版+解析)

2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（江蘇專用）重難點(diǎn)03探究動態(tài)幾何問題【命題趨勢】數(shù)學(xué)因運(yùn)動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化面精彩紛呈。動態(tài)幾何問題是近年來中考的一個重難點(diǎn)問題，以運(yùn)動的觀點(diǎn)探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問題。隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！緷M分技巧】1）動態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動態(tài)幾何也有直線型的和曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動態(tài)幾何問題，也有圓中的動態(tài)問題。有點(diǎn)動、線動、面動，就其運(yùn)動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等。根據(jù)其運(yùn)動的特點(diǎn)，又可分為(1)動點(diǎn)類(點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動)也包括一個動點(diǎn)或兩個動點(diǎn)；(2)動直線類；(3)動圖形問題。2）解決動態(tài)幾何題，通過觀察，對幾何圖形運(yùn)動變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的‘變量”和“定量”動中求靜，即在運(yùn)動變化中探索問題中的不變性;動靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動與靜”的關(guān)系;這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動特點(diǎn)和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動。解決運(yùn)動型試題需要用運(yùn)動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運(yùn)動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注--些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系。3）動態(tài)幾何形成的存在性問題，重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，包括等腰(邊)三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等三角形存在問題，相似三角形存在問題等。A卷（真題過關(guān)卷）一、單選題1．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=10，點(diǎn)C、D在AB上，AC=BD=1．已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動，在點(diǎn)P移動過程中作如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA、PB的長為半徑分別作兩個圓心角均為60°的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的側(cè)面．設(shè)點(diǎn)P的移動時間為（秒）．兩個圓錐的底面面積之和為S．則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A．2 B．2 C．22 D．3．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC,BC=4,∠ABC=60°，若EF過點(diǎn)O且與邊AB,CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)BE=x,OE2=y，則y關(guān)于xA． B． C． D．4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,2，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為m,3，則m的值為（

）A．433 B．2213 C．5．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ΔABC中，AB<AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①△AFE～△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號是（

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④7．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，AB＝5，射線AM∥BN，點(diǎn)C在射線BN上，將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，點(diǎn)P，Q分別在射線AM、BN上，PQ∥AB．設(shè)AP＝x，QD＝y(tǒng)．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過點(diǎn)E(9，2)，則cosB的值等于（）A．25 B．12 C．358．（2020·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中AB>CD，∠ABC=∠BCD=90°，AB=3，BC=3，把RtΔABC沿著AC翻折得到RtΔAEC，若tan∠AED=32，則線段A．63 B．73 C．32二、填空題9．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個邊長為20cm的正方形活動框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動成四邊形ABCD，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到36cm時才會斷裂．若∠BAD=60°，則橡皮筋A(yù)C_____斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：10．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B′處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB′于點(diǎn)P．若BC=1211．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，O在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，O，將△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的對應(yīng)點(diǎn)，再將這兩個三角形沿l翻折，P，Q分別是A，M的對應(yīng)點(diǎn)．已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都等于1，則PQ的長為__．12．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=1，D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時，13．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分別是邊BC、CD上一點(diǎn)，EF⊥AE，將△ECF沿EF翻折得△EC′F，連接AC′，當(dāng)BE=14．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C15．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），△ABC和△A′B′C′是兩個邊長不相等的等邊三角形，點(diǎn)B′、C′、B、C都在直線l上，△ABC固定不動，將△A′B′C′在直線l上自左向右平移．開始時，點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B′移動到與點(diǎn)C重合時停止．設(shè)△A′B′C′移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，則△ABC的邊長是___．16．（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠MON=30°，在OM上截取OA1=3．過點(diǎn)A1作A1B1⊥OM，交ON于點(diǎn)B1，以點(diǎn)B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A2；過點(diǎn)A2作A

三、解答題17．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD?AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙18．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時，延長DE交BC于點(diǎn)F，求BF的長．(2)若點(diǎn)C、E、D在同一條直線上，求點(diǎn)D到直線BC的距離．(3)連接DC，取DC的中點(diǎn)G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長．(4)如圖4，G為DC的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值是_____．19．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P在邊AD上（P不與A,D重合），連接PB,PC．將線段PB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，將線段PC繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PF．連接EF,EA,FD．（1）求證：①ΔPDF的面積S=1②EA=FD；（2）如圖2，EA.FD的延長線交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，求MN的取值范圍．20．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求CFBG(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．21．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1，求CF的長；（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點(diǎn)，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形BFGH，其中點(diǎn)F、G都在直線AE上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．22．（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果BCAB=ABAC．那么稱點(diǎn)B為線段（1）在圖①中，若AC=20cm，則AB的長為_____cm；（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)EAE>DE，連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．23．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；【思考說理】（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6，AB=10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求AMBM【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM①求線段AC的長；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個動點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′【限時檢測】B卷（模擬提升卷）一．選擇題（共10小題）1．等邊△ABC邊長為4，D為BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADP＝60°，DP交AB于P，設(shè)BD＝y(tǒng)，BP＝x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，動點(diǎn)P沿折線CA﹣AB運(yùn)動，到點(diǎn)B停止，動點(diǎn)Q沿BA﹣AC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，點(diǎn)P運(yùn)動速度為2cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為2.5cm/s，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），△APQ的面積為S，則S與t（0≤t≤4.5）對應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．3．如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B﹣﹣﹣E﹣﹣﹣D運(yùn)動到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動速度都是0.5cm/s，現(xiàn)P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為x（s），△BPQ的面積為ycm2，y與x的對應(yīng)關(guān)系如圖②所示矩形ABCD的面積為（）A．18 B．12 C．20 D．164．如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)P是AB邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC（或BC）于點(diǎn)Q．設(shè)AP＝x，△APQ的面積為y，如圖②是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則BC的長為（）A．2 B．4 C． D．5．如圖①，在△ABC中，∠B＝108°，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C→A勻速運(yùn)動一周．若點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s），AP的長度為v（cm），v與t的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)BP恰好是∠ABC的一條三等分線時，t的值為（）A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或66．如圖，已知直線l是線段AB的中垂線，l與AB相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是位于直線AB下方的l上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與C重合），連接AD，BD．過點(diǎn)A作AE∥BD，過點(diǎn)B作BE⊥AE，AE與BE相交于點(diǎn)E．若AB＝6，設(shè)AD＝x，AE＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象可以大致表示為（）A． B． C． D．7．如圖（1），在△ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，設(shè)x表示線段AP的長，y表示線段BP的長，y與x之間的關(guān)系如圖（2）所示，則邊BC的長是（）A． B． C． D．68．如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿路徑A→B→C→M運(yùn)動，則△AMP的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（）A． B． C． D．9．在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一個動點(diǎn)P，從A出發(fā)沿折線ABCD移動一周，回到A點(diǎn)后繼續(xù)周而復(fù)始．設(shè)點(diǎn)P移動的路程為x，△PAC的面積為y．請結(jié)合右側(cè)函數(shù)圖象分析當(dāng)x＝2022時，y的值為（）A．2 B．4 C．6 D．810．如圖①，將長方形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，其中AD邊在x軸上，AB＝2．將直線l沿x軸負(fù)方向以每秒1個單位長度的速度平移．已知直線l在起始位置時的表達(dá)式為y＝x﹣4．設(shè)在平移過程中該直線被長方形ABCD的邊截得的線段長度為m，平移時間為t，m關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示，則下列說法中：①點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）；②長方形ABCD的面積是8；③a的值為2，正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二．填空題（共6小題）11．如圖1，在等邊△ABC中，D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)，如果y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，那么AB＝．12．如圖1，E為矩形ABCD的邊AD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B﹣E﹣D運(yùn)動到點(diǎn)D停止，將點(diǎn)P運(yùn)動的路程記為x，AP的長記為y，若y與x的對應(yīng)函數(shù)關(guān)系如圖2所示，點(diǎn)M是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則a﹣b的值是．13．如圖①，點(diǎn)P為矩形ABCD邊上的一個動點(diǎn)，運(yùn)動路線是A→B→C→D→A．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為x，△ABP的面積S△ABP＝y(tǒng)，圖②是y隨x變化的函數(shù)圖象，則矩形ABCD的對角線BD的長是．14．如圖1，Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)180°，在此過程中B、C的對應(yīng)點(diǎn)依次為B'、C'，連接B'C，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為x°（0≤x≤180），y＝B'C2，y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2，當(dāng)x＝150時，y的值為．15．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，定長線段EF的端點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動點(diǎn)，O是EF的中點(diǎn)，連接OB．設(shè)AE＝x，CF2＝y(tǒng)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖2所示（最高點(diǎn)為（b，4）），當(dāng)x＝a時，∠OBC最大，則a的值為．16．如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，∠AEB＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→E→B的路徑勻速運(yùn)動到點(diǎn)B停止，作PQ⊥CD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，PQ長為y，若y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2，則BC的長為；當(dāng)x＝6時，PQ的長為．三．解答題（共10小題）17．如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣3，0），C（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD向終點(diǎn)D做勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t，過點(diǎn)P作PM⊥BD，交BC于點(diǎn)M，以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ，邊QN交BC于點(diǎn)R，延長NM交AC于點(diǎn)E．①當(dāng)t為何值時，點(diǎn)N落在拋物線上；②在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時刻的t值；若不存在，請說明理由．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，D（4﹣4，0）．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B移動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動．（1）求該拋物線的解析式；（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；（3）在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)G，使得S△GCB＝S△GCA，再在拋物線上找點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．19．如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時運(yùn)動停止．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；（3）當(dāng)t＝1時，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．20．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB＝4，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸是直線x＝1．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）連接BC，E是線段OC上一點(diǎn)，E關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)F正好落在BC上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）動點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，交線段BC于點(diǎn)Q．設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．①若△AOC與△BMN相似，請直接寫出t的值；②△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．21．已知：如圖，四邊形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿DA邊勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊勻速運(yùn)動，它們的運(yùn)動速度均為2cm/s．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE，設(shè)運(yùn)動的時間為t（s），0＜t＜5．根據(jù)題意解答下列問題：（1）用含t的代數(shù)式表示AP；（2）設(shè)四邊形CPQB的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)QP⊥BD時，求t的值；（4）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使點(diǎn)E在∠ABD的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．22．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．過點(diǎn)P作PE⊥AB，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF∥AC，分別交AD，OD于點(diǎn)F，G．連接OP，EG．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)E在∠BAC的平分線上？（2）設(shè)四邊形PEGO的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）連接OE，OQ，在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．23．已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點(diǎn)C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．過點(diǎn)P作GH⊥AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時，求t的值；（3）連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（4）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使點(diǎn)P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．24．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點(diǎn)P與點(diǎn)B重合），點(diǎn)F，B（P），C在同一直線上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°．如圖②，△EFP從圖①的位置出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，EP與AB交于點(diǎn)G；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．過點(diǎn)Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于點(diǎn)M，連接AF，PQ，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動時，△EFP也停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥BD？（2）設(shè)五邊形AFPQM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（4）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使點(diǎn)M在線段PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．25．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．連接PO并延長，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF∥AC，交BD于點(diǎn)F．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△AOP是等腰三角形？（2）設(shè)五邊形OECQF的面積為S（cm2），試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．26．已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＝12cm，BD＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動時，點(diǎn)P也停止運(yùn)動．連接PF，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此時P，E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請說明理由．

2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（江蘇專用）重難點(diǎn)03探究動態(tài)幾何問題【命題趨勢】數(shù)學(xué)因運(yùn)動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化面精彩紛呈。動態(tài)幾何問題是近年來中考的一個重難點(diǎn)問題，以運(yùn)動的觀點(diǎn)探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問題。隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！緷M分技巧】1）動態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動態(tài)幾何也有直線型的和曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動態(tài)幾何問題，也有圓中的動態(tài)問題。有點(diǎn)動、線動、面動，就其運(yùn)動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等。根據(jù)其運(yùn)動的特點(diǎn)，又可分為(1)動點(diǎn)類(點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動)也包括一個動點(diǎn)或兩個動點(diǎn)；(2)動直線類；(3)動圖形問題。2）解決動態(tài)幾何題，通過觀察，對幾何圖形運(yùn)動變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的‘變量”和“定量”動中求靜，即在運(yùn)動變化中探索問題中的不變性;動靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動與靜”的關(guān)系;這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動特點(diǎn)和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動。解決運(yùn)動型試題需要用運(yùn)動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運(yùn)動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注--些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系。3）動態(tài)幾何形成的存在性問題，重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，包括等腰(邊)三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等三角形存在問題，相似三角形存在問題等。A卷（真題過關(guān)卷）一、單選題1．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=10，點(diǎn)C、D在AB上，AC=BD=1．已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動，在點(diǎn)P移動過程中作如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA、PB的長為半徑分別作兩個圓心角均為60°的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的側(cè)面．設(shè)點(diǎn)P的移動時間為（秒）．兩個圓錐的底面面積之和為S．則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是（

）B．C． D．【答案】D【分析】由題意，先求出PA=t+1，PB=9?t，然后利用再求出圓錐的底面積進(jìn)行計(jì)算，即可求出函數(shù)表達(dá)式，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵AB=10，AC=BD=1，且已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動，則0≤t≤8，∴PA=t+1，∴PB=10?(t+1)=9?t，由PA的長為半徑的扇形的弧長為：60π(t+1)∴用PA的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為t+1∴其底面的面積為π由PB的長為半徑的扇形的弧長為：60π(9∴用PB的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為9∴其底面的面積為π∴兩者的面積和S=∴圖像為開后向上的拋物線，且當(dāng)t=4時有最小值；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇所學(xué)的知識，正確的求出函數(shù)的表達(dá)式．2．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A．2 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】連接CF、CG、AE，證ΔADE?ΔCDGSAS可得AE=CG，當(dāng)A、E、【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∠ADC=∠EDG=90°∴∠ADE=∠CDG在ΔADE和Δ∵AD=CD∴Δ∴AE=CG∴DE+CF+CG=EF+CF+AE當(dāng)EF+CF+AE=AC時，最小，AC=∴d1＋d2＋d3的最小值為22故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC,BC=4,∠ABC=60°，若EF過點(diǎn)O且與邊AB,CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)BE=x,OE2=y，則y關(guān)于xA． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)O向AB作垂線，交AB于點(diǎn)M，根據(jù)含有30°角的直角三角形性質(zhì)以及勾股定理可得AB、AC的長，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得AO的長，進(jìn)而求出OM、AM的長，設(shè)BE=x，則EM=5?x，然后利用勾股定理可求出y與x的關(guān)系式，最后根據(jù)自變量的取值范圍求出函數(shù)值的范圍，即可做出判斷．【詳解】解：如圖過點(diǎn)O向AB作垂線，交AB于點(diǎn)M，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∵BC＝4，∴AB＝8，AC＝43∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=1∴OM=1∴AM=A設(shè)BE=x,OE2=y∵OE∴y=x?5當(dāng)0≤x<3時，3<y≤28,當(dāng)3≤x≤8時，3≤y≤12．且圖像是二次函數(shù)的一部分故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象等知識，解題關(guān)鍵是求解函數(shù)解析式和函數(shù)值的范圍．4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,2，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為m,3，則m的值為（

）A．433 B．2213 C．【答案】C【分析】過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，根據(jù)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，可得△ABC是等邊三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC=m2+1=BC=AB，可得BD=BC2【詳解】解：過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，如圖所示：∵CD⊥x軸，CE⊥y軸，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四邊形EODC是矩形，∵將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE?OA＝CD?OA＝1，∴AC=A在Rt△BCD中，BD=B在Rt△AOB中，OB=A∵OB＋BD＝OD＝m，∴m2化簡變形得：3m4?22m2?25＝0，解得：m=533∴m=5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度．5．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ΔABC中，AB<AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①△AFE～△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號是（

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴△ADE≌△ABC，∴∠E=∠C，∵∠AFE=∠DFC，∴△AFE～△DFC，故①正確；∵△ADE≌△ABC，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ADE=∠ABC，∴∠ADB=∠ADE，∴DA平分∠BDE，故②正確；∵△ADE≌△ABC，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵△AFE～△DFC，∴∠CAE=∠CDF，∴∠CDF=∠BAD，故③正確故選D【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，同理可得點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a∴AB=22a=2AD設(shè)DF=FO=x，則FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x=b2?a2b=a2，即GE=a2+∴GEDF∴GE=6DF；故③正確；∴OCOF∴OC=22OF；故④正確；∵∠FCO與∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；綜上，正確的有①③④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．7．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，AB＝5，射線AM∥BN，點(diǎn)C在射線BN上，將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，點(diǎn)P，Q分別在射線AM、BN上，PQ∥AB．設(shè)AP＝x，QD＝y(tǒng)．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過點(diǎn)E(9，2)，則cosB的值等于（）A．25 B．12 C．35【答案】D【分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得AP＝BQ＝x，由圖象②可得當(dāng)x＝9時，y＝2，此時點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時，y＝2，如圖①所示，可求BD＝7，由折疊的性質(zhì)可求BC的長，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP＝BQ＝x，由圖②可得當(dāng)x＝9時，y＝2，此時點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時，y＝2，如圖①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，∴BC＝CD＝12BD＝72，AC⊥∴cosB＝BCAB＝725故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識．理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的具體含義是解題的關(guān)鍵．8．（2020·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中AB>CD，∠ABC=∠BCD=90°，AB=3，BC=3，把RtΔABC沿著AC翻折得到RtΔAEC，若tan∠AED=32，則線段A．63 B．73 C．32【答案】B【分析】根據(jù)已知，易求得AC=23，延長CD交AE于F，可得AF=CF=2，則EF=1，再過點(diǎn)D作DG⊥EF，設(shè)DG=3x，則GE=2x，ED=7x【詳解】解：如圖∵∠B=90°，BC=3，AB=3∴∠BAC=30°，∴AC=23∵∠DCB=90°，∴CD//AB∴∠DCA=30°，延長CD交AE于F，∴AF=CF=2，則EF=1，過點(diǎn)D作DG⊥EF，設(shè)DG=3x，則GE=2x，ED=∴FG=1?2x，∴在Rt△FGD中，3FG=GD解得：x=∴ED=7故選B．【點(diǎn)睛】本題目考查三角形的綜合，涉及的知識點(diǎn)有銳角三角函數(shù)、折疊等，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)，正確設(shè)出未知數(shù)是順利解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個邊長為20cm的正方形活動框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動成四邊形ABCD，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到36cm時才會斷裂．若∠BAD=60°，則橡皮筋A(yù)C_____斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：【答案】不會【分析】設(shè)扭動后對角線的交點(diǎn)為O，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動后的四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)及條件，得出△ABD為等邊三角形，利用勾股定理算出AO=103，從而得到AC【詳解】解：設(shè)扭動后對角線的交點(diǎn)為O，如下圖：∵∠BAD=60°，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，得出扭動后的四邊形四邊相等為菱形，AD=AB=20cm，∴△ABD為等邊三角形，∴BD=20cm，∴BO=1∴AO=A根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)：AC=2AO=203∵34.64<36，∴AC不會斷裂，故答案為：不會．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定及性質(zhì)．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B′處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB′于點(diǎn)P．若BC=12【答案】6【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得BD=DB′=12BB′和AD⊥BC，由第二次折疊得到AM=DM，【詳解】解：∵已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B′處，折痕AD交BC于點(diǎn)D∴BD=DB′=∵第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB′于點(diǎn)∴AM=DM，AN=ND，∴MN⊥AD，∴MN∥BC．∵AM=DM，∴MN是△ADC的中位線，∴MP=12D∵BC=12，BD+DC=CB∴MP+MN=1故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．11．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，O在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，O，將△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的對應(yīng)點(diǎn)，再將這兩個三角形沿l翻折，P，Q分別是A，M的對應(yīng)點(diǎn)．已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都等于1，則PQ的長為__．【答案】10【分析】連接PQ，AM，根據(jù)PQ＝AM即可解答．【詳解】解：連接PQ，AM，由圖形變換可知：PQ＝AM，由勾股定理得：AM＝12∴PQ＝10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=1，D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時，【答案】2【分析】過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，由折疊的性質(zhì)得FG=AB=22，∠EFG=∠BAC=90°，EF=AE=1，再證明△FME∽△GFE，得EM=13，【詳解】解：過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，∵將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上，∴FG=AB=22，∠EFG=∠BAC=90°，EF=AE∴EG=12∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，∴△FME∽△GFE，∴EMEF∴EM=13EF=1∴AM=AE+EM=43∴AF=AM故答案是：23【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”母子相似三角形“是解題的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分別是邊BC、CD上一點(diǎn)，EF⊥AE，將△ECF沿EF翻折得△EC′F，連接AC′，當(dāng)BE=【答案】78或【分析】對△AEC′是以AE為腰的等腰三角形分類討論，當(dāng)AE=EC′時，設(shè)BE=x，可得到EC=4?x，再根據(jù)折疊可得到EC=EC′=4?x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程計(jì)算即可；當(dāng)AE=AC′時，過A作AH垂直于EC′于點(diǎn)H，然后根據(jù)折疊可得到【詳解】解：當(dāng)AE=EC′時，設(shè)∵△ECF沿EF翻折得△EC∴EC=EC在Rt△ABE中由勾股定理可得：AE2=B解得：x=當(dāng)AE=AC′時，如圖所示，過A作AH垂直于∵AH⊥EC′，∴EH=C∵EF⊥AE，∴∠C′∵△ECF沿EF翻折得△EC∴∠C∴∠BEA=∠AEH，在△ABE和△AHE中∠B=∠AHE∠AEB=∠AEH∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE=HE，∴BE=HE=∴BE=∵EC=EC∴BE=1∴BE=1綜上所述，BE=7故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理和折疊性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論等腰三角形的腰，然后結(jié)合勾股定理計(jì)算即可．14．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C【答案】9【分析】過點(diǎn)C作CM//C′D′交B′C′于點(diǎn)M，證明ΔABB′∽ΔADD′求得C′D=【詳解】解：過點(diǎn)C作CM//C′D′交B∵平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形AB∴AB=AB′，AD=AD′,∴∠BAB′∴ΔAB∴B∵B∴D∴C=CD?D=AB?D=3?=∵∠A∴∠C∵B∴B∵AB=A∴∠AB∵AB′∴A∴∠A∴∠A在ΔABB′和∠BA∴ΔAB∴B∵CM//C∴△CME∽ΔD∴CM∴CE∴CE=故答案為：98【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），△ABC和△A′B′C′是兩個邊長不相等的等邊三角形，點(diǎn)B′、C′、B、C都在直線l上，△ABC固定不動，將△A′B′C′在直線l上自左向右平移．開始時，點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B′移動到與點(diǎn)C重合時停止．設(shè)△A′B′C′移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，則△ABC的邊長是___．【答案】5【分析】在點(diǎn)B'到達(dá)B之前，重疊部分的面積在增大，當(dāng)點(diǎn)B'到達(dá)B點(diǎn)以后，且點(diǎn)C'到達(dá)C以前，重疊部分的面積不變，之后在B'到達(dá)C之前，重疊部分的面積開始變小，由此可得出B'C'的長度為a，BC的長度為a＋3，再根據(jù)△ABC的面積即可列出關(guān)于a的方程，求出a即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)B'移動到點(diǎn)B時，重疊部分的面積不再變化，根據(jù)圖象可知B'C'＝a，SΔ過點(diǎn)A'作A'H⊥B'C'，則A'H為△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等邊三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝A′∴A'H＝32∴SΔA′解得a＝﹣2（舍）或a＝2，當(dāng)點(diǎn)C'移動到點(diǎn)C時，重疊部分的面積開始變小，根據(jù)圖像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的邊長是5，故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象和三角函數(shù)，關(guān)鍵是要分析清楚移動過程可分為哪幾個階段，每個階段都是如何變化的，先是點(diǎn)B'到達(dá)B之前是一個階段，然后點(diǎn)C'到達(dá)C是一個階段，最后B'到達(dá)C又是一個階段，分清楚階段，根據(jù)圖象信息列出方程即可．16．（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠MON=30°，在OM上截取OA1=3．過點(diǎn)A1作A1B1⊥OM，交ON于點(diǎn)B1，以點(diǎn)B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A2；過點(diǎn)A2作A

【答案】2【分析】根據(jù)已知條件先求出A1B1【詳解】∵A1B1⊥OM∴B∵O∴∠∴∠∵A∴∠∴△B1∴A∴ΔB∴A同理可得ΔB∴A【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形計(jì)算，等腰三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)線段之間的規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題17．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD?AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙【答案】(1)2(2)圖見詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解【分析】（1）由題意易得CDBD=2（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出S△CFB=S△CFR=【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∵AB=5，BD=9，DC=6，∴DE5∴DE=2；（2）解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長線于點(diǎn)R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴AB=FR，∵△FBC的面積等于12∴S△CFB∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時，延長DE交BC于點(diǎn)F，求BF的長．(2)若點(diǎn)C、E、D在同一條直線上，求點(diǎn)D到直線BC的距離．(3)連接DC，取DC的中點(diǎn)G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長．(4)如圖4，G為DC的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值是_____．【答案】(1)2(2)6(3)5(4)7【分析】（1）在Rt△BEF中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（2）分點(diǎn)E在BC上方和下方兩種情況討論求解即可；（3）取BC的中點(diǎn)O，連接GO，從而求出OG=3，得出點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長公式即可求解；（4）由（3）知，點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，過O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長線上時，GH最大，即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大，在Rt△BOH中求出OH，進(jìn)而可求GH.【詳解】（1）解：由題意得，∠BEF=∠BED=90°，∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cos∠ABC=∴BF=BE（2）①當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時，如圖一，過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，∴tan∠ABC=∴BC=AC∵在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，BE=3，tan∠DBE=∴DE=BE?tan∵點(diǎn)C、E、D在同一直線上，且∠DEB=90°，∴∠CEB=180°?∠DEB=90°．又∵在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3∴CE=B∴CD=CE+DE=32∵在△BCD中，S△BCD∴DH=CD?BE②當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時，如圖二，在△BCE中，∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33∴CE=B∴CD=CE?DE=32過點(diǎn)D作DM⊥BC，垂足為M．在△BDC中，S△BDC∴DM=6綜上，點(diǎn)D到直線BC的距離為6±1（3）解：如圖三，取BC的中點(diǎn)O，連接GO，則GO=1∴點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)三角板DEB繞點(diǎn)B順時針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上時，點(diǎn)G所經(jīng)過的軌跡為150°所對的圓弧，圓弧長為150360∴點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為53（4）解：由（3）知，點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，如圖四，過O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長線上時，GH最大，即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大，在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，BO=1∴OH=BO?sin∴GH=OG+OH=3即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值為73【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，解直角三角形等知識，分點(diǎn)E在BC上方和下方是解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵.19．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P在邊AD上（P不與A,D重合），連接PB,PC．將線段PB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，將線段PC繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PF．連接EF,EA,FD．（1）求證：①ΔPDF的面積S=1②EA=FD；（2）如圖2，EA.FD的延長線交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，求MN的取值范圍．【答案】（1）①見詳解；②見詳解；（2）4≤MN＜2【分析】（1）①過點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，證明△PFG≌△CPD，即可得到結(jié)論；②過點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H，證明△PEH≌△BPA，結(jié)合△PFG≌△CPD，可得GD=EH，同理：FG=AH，從而得△AHE≌△FGD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H，可得∠AMD=90°，MN=12EF，HG=2AD=8，EH+FG=AD=4，然后求出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，EF最大值=45，當(dāng)點(diǎn)P與AD的中點(diǎn)重合時，EF最小值=【詳解】（1）①證明：過點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴△PFG≌△CPD（AAS），∴FG=PD，∴ΔPDF的面積S=1②過點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H，∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH+∠BPA=90°，∴∠PEH=∠BPA，又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴△PEH≌△BPA（AAS），∴EH=PA，由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：△PFG≌△CPD，∴PG=CD，∴PD+GD=CD=EH+FG，∴FG+GD=EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，又∵∠AHE=∠FGD，∴△AHE≌△FGD，∴EA=FD；（2）過點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H，由（1）得：△AHE≌△FGD，∴∠HAE=∠GFD，∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∵點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，∴MN=12EF∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，F(xiàn)G=0，EH=4，HG=8，此時EF最大值=42當(dāng)點(diǎn)P與AD的中點(diǎn)重合時，F(xiàn)G=2，EH=2，HG=8，此時EF最小值=HG=8，∴MN的取值范圍是：4≤MN＜25【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造直角全等的直角三角形，是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求CFBG(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．【答案】（1）2；（2）MN⊥BE;MN=12【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接AF、AC，證明ΔCAF∽ΔBAG即可求解；（2）由M、N分別是CF、BE的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線，故想到連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH，則可證ΔBMC≌ΔHMF即可得到HF=BC=BA，再由四邊形BEFC內(nèi)角和為360°可得∠BAC=∠HFE，則可證明ΔBAE≌ΔHFE，即ΔBHE是等腰直角三角形，最后利用中位線的性質(zhì)即可求解；（3）Q、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又Q、N兩點(diǎn)分別是BF、BE中點(diǎn)，所以想到取AB的中點(diǎn)O，結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答．【詳解】解：（1）連接AF、AC∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形∴AB=BC,AG=FG,∠BAD=∠GAE=∠CBA=∠AGF=90°∵AF、AC分別平分∠EAG,∠BAD∴∠BAC=∠GAF=45°∴∠BAC+∠CAG=∠GAF+∠CAG即∠BAG=∠CAF且ΔABC,ΔAGF都是等腰直角三角形∴∴ΔCAF∽ΔBAG∴（2）連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH∵M(jìn)是CF的中點(diǎn)∴CM=MF又∠CMB=∠FMH∴ΔCMB≌ΔFMH∴BC=HF,∠BCM=∠HFM在四邊形BEFC中∠BCM+∠CBE+∠BEF+∠EFC=360°又∠CBA=∠AEF=90°∴∠BCM+∠ABE+∠AEB+∠EFC=360°?90°?90°=180°即∠HFM+∠EFC+∠ABE+∠AEB=180°即∠HFE+∠ABE+∠AEB=180°∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°∴∠HFE=∠BAE又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形∴BC=AB=FH,EA=EF∴ΔBAE≌ΔHFE∴BE=HE.∠BEA=∠HEF∵∠HEF+∠HEA=∠AEF=90°∴∠BEA+∠HEA=90°=∠BEH∴三角形BEH是等腰直角三角形∵M(jìn)、N分別是BH、BE的中點(diǎn)∴MN//HE,MN=∴∠MNB=∠HEB=90°,MN=∴MN⊥BE,MN=（3）取AB的中點(diǎn)O，連接OQ、ON，連接AF在ΔABF中，O、Q分別是AB、BF的中點(diǎn)∴OQ=同理可得ON=∵AF=∴OQ=3所以QN掃過的面積是以O(shè)為圓心，32和3∴S=(3【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、三角形全等、正方形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)與應(yīng)用和動點(diǎn)問題，屬于幾何綜合題，難度較大．解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)圖形的性質(zhì)做出輔助線．21．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1，求CF的長；（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點(diǎn)，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形BFGH，其中點(diǎn)F、G都在直線AE上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．【答案】（1）1；（2）3；（3）323；（4）3【分析】（1）由ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，BA=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，可證ΔABE≌ΔCBF即可；（2）連接CF，ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，可證ΔABE≌ΔCBF，可得∠BCF=∠ABC，又點(diǎn)E在C處時，CF=AC，點(diǎn)E在A處時，點(diǎn)F與C重合．可得點(diǎn)F運(yùn)動的路徑的長=AC=3；（3）取BC中點(diǎn)H，連接HN，由ΔABC、ΔBMN是等邊三角形，可證ΔDBM≌ΔHBN，可得NH⊥BC．又點(diǎn)M在C處時，HN=CD=332，點(diǎn)M在D處時，點(diǎn)N與H重合．可求點(diǎn)N（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的BC上運(yùn)動，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2+BO2=BC2即，可求x=322，點(diǎn)G【詳解】解:（1）∵ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE=1；（2）連接CF，∵ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE，∠BCF=∠BAE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BCF=∠ABC，∴CF//AB，又點(diǎn)E在C處時，CF=AC，點(diǎn)E在A處時，點(diǎn)F與C重合．∴點(diǎn)F運(yùn)動的路徑的長=AC=3；（3）取BC中點(diǎn)H，連接HN，∴BH=1∴BH=1∵CD⊥AB，∴BD=1∴BH=BD，∵ΔABC、ΔBMN是等邊三角形，∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH，∴∠DBM=∠HBN，∴ΔDBM≌ΔHBN，∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°，∴NH⊥BC，又點(diǎn)M在C處時，HN=CD=332，點(diǎn)M在D處時，點(diǎn)N∴點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑的長=CD=3（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的BC上運(yùn)動，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2+B∴x=3點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為BC長=14點(diǎn)H在以BC中點(diǎn)為圓心，BC長為直徑的弧BN上運(yùn)動，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為BN的長度，∵點(diǎn)G運(yùn)動圓周的四分之一，∴點(diǎn)H也運(yùn)動圓周的四分一，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為BN的長=14故答案為34π；【點(diǎn)睛本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵．22．（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果BCAB=ABAC．那么稱點(diǎn)B為線段（1）在圖①中，若AC=20cm，則AB的長為_____cm；（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)EAE>DE，連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．【答案】（1）105?10；（2）見解析；（3）當(dāng)PB=BC時，E、F恰好分別是AD、【分析】（1）由黃金比值直接計(jì)算即可；（2）如圖，連接GE，設(shè)BG=x，則AG=20-x，易證得四邊形EFCD是矩形，可求得CE，由折疊知GH=BG=x，CH=BC=20，進(jìn)而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得關(guān)于x的方程，解之即可證得結(jié)論；（3）當(dāng)PB=BC時，證得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,則有BF=AE，設(shè)BF=x，則AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）AB=5?12×20=（故答案為：105（2）如圖，連接GE，設(shè)BG=x，則GA=20-x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠D=90o，由折疊性質(zhì)得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90o，AE=ED=10，在Rt△CDE中，CE=ED∴EH=105在Rt△GHE中，G在Rt△GAE中，GE∴x2解得：x=105即BGAB∴G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）當(dāng)PB=BC時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．理由：∵CF⊥BE，∴∠BCF+∠CBE=90o，又∠CBE+∠ABE=90o，∴∠ABE=∠BCF，∵∠A=∠ABC=90o，AB=BC，∴△BAE≌△CBF（ASA），∴AE=BF，設(shè)AE=BF=x，則AF=a-x，∵AD∥BC即AE∥PB，∴AEBP=AF∴x2解得：x=5a?a2即BF=AE=5a?a∴AEAD∴E、F分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、解一元二次方程等知識，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)信息的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．23．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；【思考說理】（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6，AB=10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求AMBM【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM①求線段AC的長；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個動點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′【答案】（1）AM=BM；（2）169；（3）①152；②【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CN=BN,∠CNM=∠BNM=90°，再根據(jù)平行線的判定可得AC//（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠A，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠B=∠MCN，從而可得∠MCN=∠A，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得BMBC（3）①先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BCM=∠ACM=12∠ACB，從而可得∠BCM=∠ACM=∠A，再根據(jù)等腰三角形的定義可得AM=CM②先根據(jù)折疊的性質(zhì)、線段的和差求出AB′，OB′的長，設(shè)B′【詳解】（1）AM=BM，理由如下：由折疊的性質(zhì)得：CN=BN,∠CNM=∠BNM=90°∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠BNM=90°∴AC∴MN是△ABC的中位線∴點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)則AM=BM故答案為：AM=BM；（2）∵AC=BC=6∴∠B=∠A由折疊的性質(zhì)得：∠B=∠MCN∴∠MCN=∠A，即∠MCB=∠A在△BCM和△BAC中，∠MCB=∠A∴△BCM～△BAC∴BMBC解得BM=∴AM=AB?BM=10?∴AM（3）①由折疊的性質(zhì)得：∠BCM=∠ACM=∵∠ACB=2∠A，即∠A=∴∠BCM=∠ACM=∠A∴AM=CM在△BCM和△BAC中，∠BCM=∠A∴△BCM～△BAC∴BMBC解得BM=4∴AM=AB?BM=9?4=5∴CM=AM=5∴解得AC=15②如圖，由折疊的性質(zhì)可知，B′C=BC=6，A∴A∵點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)∴OA=∴O設(shè)B′P=x∵點(diǎn)P為線段OB∴0≤B′P≤OB′，其中當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)∴0≤x≤∵∠∴∠A′在△A′FP和∴△∴∵0≤x≤∴則310【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰三角形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（3）②，正確設(shè)立未知數(shù)，并找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．【限時檢測】B卷（模擬提升卷）一．選擇題（共10小題）1．等邊△ABC邊長為4，D為BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADP＝60°，DP交AB于P，設(shè)BD＝y(tǒng)，BP＝x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD＝60°，可證得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BPD+∠APD＝∠C+∠CAP，∠APD＝60°，∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC＝BD：PC，∵正△ABC的邊長為4，BP＝x，BD＝y(tǒng)，∴x：4＝y(tǒng)：（4﹣x），∴y＝﹣x2+x（0＜x＜4）．故選：D．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，動點(diǎn)P沿折線CA﹣AB運(yùn)動，到點(diǎn)B停止，動點(diǎn)Q沿BA﹣AC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，點(diǎn)P運(yùn)動速度為2cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為2.5cm/s，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），△APQ的面積為S，則S與t（0≤t≤4.5）對應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】分三種情況：當(dāng)0≤t＜2時；當(dāng)2≤t≤3.6時；當(dāng)3.6＜t≤4.5時．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式分別求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)表達(dá)式確定函數(shù)圖象便可．【解答】解：AB＝，當(dāng)0≤t＜2時，如圖，AP＝4﹣2t，AQ＝5﹣2.5t，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△A