福建省福清市?？阪?zhèn)高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角差的余弦公式教案 新人教A版必修4

福建省福清市海口鎮(zhèn)高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.1兩角差的余弦公式教案新人教A版必修4課題：科目：班級：課時：計劃3課時教師：單位：一、教學內(nèi)容本節(jié)課的教學內(nèi)容源自福建省福清市海口鎮(zhèn)高中數(shù)學新人教A版必修4第三章《三角恒等變換》的3.1節(jié)《兩角差的余弦公式》。該章節(jié)主要介紹兩角差的余弦公式的概念、推導過程及其應(yīng)用。學生需要掌握以下幾個方面的內(nèi)容：

1.兩角差的余弦公式的定義與表達式；

2.兩角差的余弦公式的推導過程；

3.兩角差的余弦公式的應(yīng)用，包括解決三角函數(shù)求值、證明等題目。

在本節(jié)課中，教師需要通過講解、示范、練習等方式，幫助學生理解并掌握兩角差的余弦公式，提高他們在實際問題中的應(yīng)用能力。同時，教師還需關(guān)注學生的學習情況，針對不同學生的掌握程度進行有針對性的輔導，確保教學效果的達成。二、核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標為：

1.邏輯推理：通過推導兩角差的余弦公式，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，使他們能夠理解并運用公式解決實際問題。

2.數(shù)學建模：培養(yǎng)學生運用兩角差的余弦公式解決三角函數(shù)求值、證明等問題的能力，提高他們的數(shù)學建模素養(yǎng)。

3.直觀想象：通過圖形演示和實際例子，幫助學生建立直觀的數(shù)學想象，加深對兩角差的余弦公式的理解。

4.數(shù)學運算：訓練學生運用兩角差的余弦公式進行數(shù)學運算，提高他們的數(shù)學運算能力。

5.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學生分析三角函數(shù)問題，運用兩角差的余弦公式進行數(shù)據(jù)處理和分析的能力。三、教學難點與重點1.教學重點：

（1）兩角差的余弦公式的定義與表達式：本節(jié)課的核心內(nèi)容是兩角差的余弦公式，學生需要掌握公式的定義和表達式。公式如下：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（2）兩角差的余弦公式的推導過程：學生需要理解并掌握兩角差的余弦公式的推導過程，推導過程如下：

以直角三角形ABC為例，設(shè)∠A=α，∠B=β，則∠C=α-β。根據(jù)余弦定理，有：

cosC=cos(α-β)=(AB2+BC2-AC2)/(2AB·BC)

同時，根據(jù)正弦定理，有：

sinC=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

將cosC和sinC的表達式相加，得到：

cos(α-β)+sin(α-β)=(AB2+BC2-AC2)/(2AB·BC)+(AB·sinβ-BC·cosβ)/(AB·BC)

化簡上式，得到兩角差的余弦公式：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（3）兩角差的余弦公式的應(yīng)用：學生需要能夠運用兩角差的余弦公式解決三角函數(shù)求值、證明等題目。

2.教學難點：

（1）兩角差的余弦公式的推導過程：學生可能對推導過程中使用的直角三角形和三角函數(shù)的概念理解不深刻，導致難以理解推導過程。

（2）兩角差的余弦公式的應(yīng)用：學生可能對如何運用兩角差的余弦公式解決實際問題感到困惑，特別是在解決復雜題目時，難以找到解題切入點。

（3）理解并掌握兩角差的余弦公式中的符號“α-β”：學生可能對兩個角差的概念理解不清晰，導致在書寫和理解公式時出現(xiàn)錯誤。

針對以上難點，教師在教學過程中應(yīng)采取以下措施：

1.通過圖形演示和實際例子，幫助學生建立直觀的數(shù)學想象，加深對兩角差的余弦公式的理解。

2.分步驟講解兩角差的余弦公式的推導過程，引導學生跟隨步驟，理解每一步的邏輯推理。

3.提供豐富的練習題目，引導學生運用兩角差的余弦公式解決實際問題，鞏固所學知識。

4.強調(diào)兩角差的余弦公式中的符號“α-β”，讓學生明確表示兩個角差時應(yīng)使用該符號。

5.在教學過程中關(guān)注學生的學習情況，針對不同學生的掌握程度進行有針對性的輔導。四、教學方法與手段教學方法：

1.引導探究法：教師通過提出問題，引導學生主動探究兩角差的余弦公式的推導過程，激發(fā)學生的思考和探索能力。

2.案例教學法：教師通過提供具體的例題，讓學生運用兩角差的余弦公式解決問題，培養(yǎng)學生的實際應(yīng)用能力。

3.小組合作法：教師組織學生進行小組討論和合作，促進學生之間的交流和合作，提高他們的團隊協(xié)作能力。

教學手段：

1.多媒體演示：教師利用多媒體設(shè)備，通過動畫演示和圖形展示，直觀地呈現(xiàn)兩角差的余弦公式的推導過程，增強學生的直觀想象力。

2.教學軟件輔助：教師運用教學軟件，設(shè)計互動性和趣味性的教學活動，激發(fā)學生的學習興趣，提高教學效果。

3.在線學習平臺：教師利用在線學習平臺，提供豐富的學習資源和學習任務(wù)，方便學生進行自主學習和鞏固知識。

4.練習與評價系統(tǒng)：教師使用練習與評價系統(tǒng)，發(fā)布練習題目，及時了解學生的學習情況，給予針對性的反饋和指導。五、教學流程1.導入新課（用時：5分鐘）

教師通過提出一個問題：“如何求解cos(30°-45°)的值？”引導學生思考和回憶起之前學過的知識，激發(fā)學生對兩角差的余弦公式的興趣。然后，教師簡要介紹本節(jié)課的教學目標和內(nèi)容，引導學生進入新課的學習。

2.新課講授（用時：20分鐘）

（1）教師首先講解兩角差的余弦公式的定義與表達式，明確公式中各個符號的含義和用法。舉例說明公式在不同角度情況下的應(yīng)用，如cos(α-β)、cos(α+β)等。

（2）接著，教師通過圖形演示和實際例子，引導學生理解和掌握兩角差的余弦公式的推導過程。以直角三角形ABC為例，設(shè)∠A=α，∠B=β，則∠C=α-β。根據(jù)余弦定理和正弦定理，推導出兩角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

（3）最后，教師講解兩角差的余弦公式的應(yīng)用，包括解決三角函數(shù)求值、證明等題目。舉例說明如何運用公式解決實際問題，如求解cos(30°-45°)的值。

3.實踐活動（用時：10分鐘）

（1）教師布置一道練習題目，要求學生運用兩角差的余弦公式求解。例如：求解cos(60°-30°)的值。

（2）學生獨立完成練習題目，教師巡回指導，及時解答學生的問題并提供幫助。

（3）教師選取幾位學生的解答進行點評和講解，指出其中的錯誤和不足之處，并給予正確的解答和解釋。

4.學生小組討論（用時：10分鐘）

（1）教師提出一個問題，要求學生小組討論并回答：“兩角差的余弦公式在實際問題中的應(yīng)用有哪些？”

（2）學生分組討論，分享各自的想法和例子，進行交流和合作。

（3）各小組派代表進行回答，教師對各組的回答進行點評和講解，指出其中的優(yōu)點和不足之處，并進行總結(jié)和歸納。

5.總結(jié)回顧（用時：5分鐘）

教師對本節(jié)課的學習內(nèi)容進行總結(jié)回顧，強調(diào)兩角差的余弦公式的定義、推導過程和應(yīng)用。提醒學生注意公式中各個符號的含義和用法，以及如何在實際問題中運用公式。鼓勵學生在課后進行自主學習，鞏固所學知識。

總用時：40分鐘六、學生學習效果1.知識掌握：學生能夠理解并掌握兩角差的余弦公式的定義與表達式，知道如何運用該公式解決三角函數(shù)求值、證明等實際問題。

2.能力提升：學生通過實踐活動和小組討論，運用兩角差的余弦公式解決實際問題，提高了他們的數(shù)學運算能力和問題解決能力。

3.思維發(fā)展：學生通過推導兩角差的余弦公式，培養(yǎng)了邏輯推理和數(shù)學建模的思維能力，能夠運用數(shù)學知識分析和解決實際問題。

4.自主學習：學生在課后能夠自主學習，通過在線學習平臺和練習與評價系統(tǒng)，進一步鞏固所學知識，提高自主學習的能力。

5.合作交流：學生在小組討論中能夠積極發(fā)表自己的想法和例子，與同伴進行交流和合作，提高了團隊協(xié)作和溝通交流的能力。

6.學習興趣：通過導入新課、實踐活動和總結(jié)回顧等環(huán)節(jié)，激發(fā)學生的學習興趣，使他們更加主動地參與數(shù)學學習。七、作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置：

(1)請學生運用兩角差的余弦公式解決以下三角函數(shù)求值問題：

-cos(30°-45°)

-sin(60°-30°)

-cos(π/3-π/6)

(2)請學生運用兩角差的余弦公式證明以下三角等式：

-cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

-sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

(3)請學生選擇一個實際問題，運用兩角差的余弦公式進行解決，并將解題過程和答案寫下來。

2.作業(yè)反饋：

(1)教師應(yīng)及時批改學生的作業(yè)，并對每個學生的作業(yè)給出具體的反饋。

(2)在批改作業(yè)時，教師應(yīng)關(guān)注學生的掌握情況，指出學生在解答過程中存在的問題，如公式使用錯誤、計算錯誤等。

(3)對于學生作業(yè)中的正確解答，教師應(yīng)給予肯定和鼓勵，以增強學生的學習信心。

(4)對于學生作業(yè)中的錯誤解答，教師應(yīng)指出錯誤所在，并給出正確的解答方法和思路。

(5)教師還可以通過作業(yè)反饋，了解學生的學習困難和學習需求，為后續(xù)的教學提供參考和調(diào)整。

(6)教師應(yīng)鼓勵學生通過作業(yè)反饋，主動發(fā)現(xiàn)和糾正自己的錯誤，提高自我學習和改進的能力。八、板書設(shè)計1.兩角差的余弦公式：

①cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

②cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

③sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

2.推導過程：

①以直角三角形ABC為例，設(shè)∠A=α，∠B=β，則∠C=α-β。

②根據(jù)余弦定理，有：cosC=(AB2+BC2-AC2)/(2AB·BC)

③根據(jù)正弦定理，有：sinC=sinαcosβ-cosαsinβ

④化簡得到兩角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

3.應(yīng)用示例：

①求解cos(30°-45°)的值。

②證明cos(α-